x - Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

Opracowanie danych
doświadczalnych
część 3
Jan Kurzyk
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
wersja z 26.11.2010
Niepewności pomiarów pośrednich
Większości wielkości fizycznych nie jesteśmy w stanie zmierzyć
metodami bezpośrednimi, gdyŜ nie istnieją przyrządy pomiarowe
przeznaczone do pomiaru tych wielkości. Musimy wówczas
posługiwać się metodami pośrednimi. Pośrednia metoda pomiaru
polega na pomiarze bezpośrednim innych wielkości fizycznych
takich, które z naszą wielkością są powiązane znaną nam
zaleŜnością funkcyjną.
Przykłady
• Wyznaczenie objętości V kuli poprzez pomiar jej średnicy d – mierzymy
średnicę kuli, a jej objętość wyliczamy z wzoru
π 3
V =
6
d .
• Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego g za pomocą wahadła
prostego – mierzymy długość wahadła l i jego okres wahań T,
następnie korzystając z przybliŜonego wzoru na okres drgań wahadła
matematycznego wyliczamy przyśpieszenie ziemskie
g = 4π 2
l
.
2
T
2
Wartość średnia wielkości mierzonej pośrednio
Dla uproszczenia zapisu załóŜmy, Ŝe wielkość z, która
wyznaczamy pośrednio zaleŜy tylko od dwóch wielkości
oznaczonych symbolami x i y. Niech zaleŜność między tymi trzema
wielkościami jest dana za pomocą wzoru
z = f ( x, y )
Wielkości x i y zostały zmierzone bezpośrednio, przy czym dla
wielkości x otrzymano wyniki x1 , x2 ,..., xnx , a dla wielkości y
y1 , y 2 ,..., y n y . Liczby pomiarów obu wielkości, czyli nx i ny nie
muszą być sobie równe. Średnie wartości obu wielkości
wynoszą odpowiednio
1
x=
nx
nx
∑x
i =1
i
oraz
1
y=
ny
ny
∑y .
i =1
i
3
Dla kaŜdej pary wyników xi i yk moŜemy wyliczyć wielkość
mierzoną pośrednio zik
z ik = f ( xi , y k )
Średnia wartość wielkości z wynosi
1
z=
nx ⋅ n y
nx
ny
∑∑ f ( x , y
i =1 k =1
i
k
).
Dla kaŜdego pomiaru moŜemy wyliczyć odchylenie od wartości
średniej
ε ix ≡ xi − x oraz ε iy ≡ y i − y.
Wówczas
z ik = f ( xi , y k ) = f ( x + ε ix , y + ε iy ).
4
Szereg Taylora funkcji jednej zmiennej (dygresja matematyczna)
Dowolną, nieskończenie wiele razy róŜniczkowalną funkcję f
zmiennej rzeczywistej x moŜna przedstawić w postaci szeregu
(zwanego szeregiem Taylora)
f ( x) =
∞
∑
n=0
1
f
n!
(n)
( x 0 )(x − x 0 ) ,
n
gdzie x0 naleŜy do dziedziny funkcji, a f (n)(x0) jest wartością n-tej
pochodnej funkcji f w punkcie x = x0. Wzór (szereg) Taylora jest
często wykorzystywany do aproksymacji funkcji przez wzięcie
odpowiedniej (zaleŜnej od Ŝądanej dokładności) liczby pierwszych
wyrazów szeregu Taylora
N
1
f
n = 0 n!
f ( x) ≈ ∑
(n)
( x 0 )( x − x 0 )
n
5
Przykład
PrzybliŜmy sumą pierwszych dwóch, trzech i czterech wyrazów
szeregu Taylora funkcję f ( x ) = x w pobliŜu wartości x0 = 1.
Kolejne przybliŜenia przyjmują postać:
a)
b)
c)
1
f ( x) = x ≈ 1 + ( x − 1)
2
1
1
f ( x) = x ≈ 1 + ( x − 1) − ( x − 1) 2
2
8
1
1
1
2
f ( x) = x ≈ 1 + ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) 3
2
8
16
6
Przykładowe wartości przybliŜeń i ich błędy
7
Porównanie wykresów funkcji f ( x) = x i jej trzech przybliŜeń
8
W przypadku funkcji wielu zmiennych róŜniczkowalnych
odpowiednio wiele razy względem kaŜdej ze zmiennych moŜemy
zastosować analogiczne przybliŜenie funkcji za pomocą sumy
pierwszych wyrazów szeregu Taylora. Zastosujmy tę metodę do
przybliŜenia wartości naszej funkcji z(x,y) w punkcie (xi,yk ).
Dokładna wartość naszej funkcji wynosi:
z ik = f ( xi , y k ) = f ( x + ε ix , y + ε iy ).
Rozwinięcie naszej funkcji w szereg Taylora wokół punktu x, y
y
wyrazów liniowych względem odchyleń
postać
ε ix , εma
k
do
z ik = f ( x , y ) + ε ix f x(1) ( x , y ) + ε iy f y(1) ( x , y ),
gdzie
f
(1)
x
∂f ( x, y )
( x, y) =
∂x
x= x , y = y
jest pierwszą pochodną
cząstkową funkcji f względem zmiennej x wziętą w punkcie x , y.
9
Wstawiając to wyraŜenie do wyraŜenia na średnią wartość z
1
z=
nx ⋅ n y
nx
ny
∑∑ f ( x , y
i =1 k =1
i
k
),
dostajemy (po prostych przekształceniach)
n
nx
y
1 (1)
1 (1)
x
z = f (x, y) +
f x ( x , y )∑ ε i +
f y ( x , y )∑ ε ky .
nx
ny
k =1
i =1
ZauwaŜmy jednak, Ŝe
1
nx
nx
1
x
ε
=
∑
i
nx
i =1
nx
1
(
x
−
x
)
=
∑
i
nx
i =1
nx
∑x
i =1
i
− x = x − x = 0.
Podobnie jest z analogicznym wyrazem dotyczącym zmiennej y.
Czyli ostatecznie...
10
Średnia wartość wielkości z jest równa
z = f ( x , y ).
Aby wyprowadzić wzór na odchylenie standardowe wielkości z
wprowadźmy wielkość
wik = z ik − z
oznaczającą odchylenie wyniku pomiaru pośredniego zik od
wartości średniej. PrzybliŜając tak jak poprzednio wynik pomiaru zik
dostaniemy
wik = ε ix f x(1) ( x , y ) + ε ky f y(1) ( x , y ).
Po wprowadzeniu odchylenia od wartości średniej w powyŜszej
postaci do wyraŜenia na odchylenie standardowe i prostych
przekształceniach dostajemy, Ŝe ...
11
Odchylenie standardowe wielkości z ma postać
Sz =
(f
(1)
x
)
2
(
( x, y) S + f
2
x
(1)
y
)
2
( x , y ) S y2
Jeśli odchylenia standardowe pojedynczego pomiaru w
powyŜszym wzorze zastąpimy odchyleniami standardowymi
średnich arytmetycznych, to dostaniemy odchylenie
standardowe średniej wielkości z.
12
Wykres ilustrujący przenoszenie się niepewności z
wielkości x na wielkość f(x).
13
PowyŜsze wzory moŜna uogólnić na przypadek, w którym wielkość
mierzona pośrednio zaleŜy od dowolnie wielu wielkości fizycznych
xl mierzonych bezpośrednio
z = f ( x1 , x2 ,..., xL ).
W takim przypadku wartość średnią wielkości z liczymy według
wzoru
z = f ( x1 , x2 ,..., xL ).
Odchylenie standardowe średniej ma postać
Sz =
∑(f
L
i =1
(1)
xi
)
2
( x1 , x 2 ,..., x L S x2i ,
gdzie f x(i1) ( x1 , x 2 ,..., x L ) oznacza pierwszą pochodną cząstkową
liczoną po zmiennej xi wziętą w punkcie ( x1 , x 2 ,..., x L ).
14
Obliczanie niepewności maksymalnej wielkości mierzonej
pośrednio.
ZałóŜmy, Ŝe niepewności maksymalne wielkości x1,x2,...,xL
mierzonych bezpośrednio wynoszą odpowiednio ∆x1, ∆ x2,..., ∆ xL
Wówczas niepewność maksymalną ∆z moŜemy wyliczyć ze
wzoru
∆ z = f ( x1 ± ∆x1 , x2 ± ∆x2 ,..., xL ± ∆x L ) − f ( x1 , x2 ,..., xL ),
gdzie znak + lub – wybieramy tak, Ŝeby otrzymany wynik był
maksymalny. Rozwijając pierwsze wyraŜenie po prawej stronie
równania w szereg Taylora do wyrazów liniowych ze względu na
niepewności maksymalne ∆xi dostaniemy
∆ z = ± f x(11) ( x1 , x2 ,..., x L )∆x1 ± f x(21) ( x1 , x2 ,..., x L )∆x2 ± ... ± f x(L1) ( x1 , x2 ,..., x L )∆x L
W najmniej korzystnym przypadku poszczególne przyczynki do
niepewności będą się sumowały, więc ostatecznie niepewność
maksymalna będziemy liczyć sumując wartości bezwzględne
poszczególnych wyrazów.
15
Podsumowanie
Dla wielkości z mierzonej pośrednio i danej wzorem:
z = f ( x1 , x2 ,..., x L )
Wartość średnią liczymy według wzoru
z = f ( x1 , x2 ,..., xL ).
Odchylenie standardowe tej wielkości wynosi
Sz =
∑(f
L
i =1
(1)
xi
)
2
( x1 , x 2 ,..., x L S x2i ,
a niepewność maksymalną liczymy następująco:
L
∆ z max = ∑ f x(i1) ( x1 , x2 ,..., x L ) ∆xi .
i =1
16
Przypadek szczególny
W przypadku, gdy zaleŜność pomiędzy wielkością z, a wielkościami
x1, x2,...,xLma charakter multiplikatywny, czyli ma postać
L
(
)
z = A∏ xiwi ≡ A x1w1 ⋅ x2w2 ⋅ ... ⋅ x LwL .
i =1
4π 2 l
g = 2 = 4π 2 l 1T −2 .
T
(
Na przykład
)
Pochodne cząstkowe moŜna zapisać następująco
f
(1)
xi
wi
∂z
=
=A
∂xi
xi
L
∏x
i =1
wi
i
wi
=
z.
xi
Dzięki temu wzory na odchylenie standardowe i niepewność
maksymalną bardzo się upraszczają.
17
Ostatecznie, jeśli
L
z = A∏ xiwi ,
i =1
to niepewność maksymalną moŜna zapisać w postaci
L
∆ z max = z ∑
i =1
wi
∆xi .
xi
a odchylenie standardowe w postaci
2
 wi

S z = z ∑  S xi  .
i =1  x i

L
18
Przykład
Wyprowadźmy wzory na odchylenie standardowe i niepewność
maksymalną dla pośredniego pomiaru przyspieszenie ziemskiego
wykonanego metodą wahadła matematycznego. Przypomnijmy,
podawany juŜ kilkukrotnie wzór łączący przyspieszenie ziemskie g
z okresem drgań T wahadła matematycznego o długości l:
4π 2 l
g= 2 .
T
Pochodne cząstkowe funkcji g względem l, i T wynoszą
∂g (l , T ) 4π 2
= 2 ,
∂l
T
∂g (l , T )
8π 2 l
=− 3 ,
∂T
T
a zatem
19
odchylenie standardowe wynosi
2
2
 4π 2   8π 2 l

4π 2 l
S g =  2 S l  +  − 3 S T  =
2
T
T
T

 

 Sl

 l
2
2
2
  2ST 
 S   2S 
 + 
 = g  l  +  T 
  T 
 l   T 
a niepewność maksymalna
∆ g max
4π 2
8π 2 l
4π 2 l
= 2 ∆l + − 3 ∆T = 2
T
T
T
 ∆l 2∆T
+

T
 l

 ∆l 2∆T
+
 = g 
T

 l



20
2
ZauwaŜmy, Ŝe powyŜsze wzory mogliśmy otrzymać szybciej
wykorzystując szczególną (multiplikatywną) postać wyraŜenia na
g. Wówczas mamy od razu
 Sl
1   − 2 
S g = g  Sl  + 
S T  = g 
l   T

 l
2
2



2
 2S T
+ 
 T



2
oraz
∆ g max
1
−2
= g  ∆l +
∆T
T
l

 =

 ∆l 2∆T
g 
+
T
 l

.

21
Przykład: Pomiar przyśpieszenia ziemskiego metodą
wahadła prostego
Przyśpieszenie ziemskie jest to przyśpieszenie z jakim poruszają się
ciała spadające swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi. Spadek
swobodny oznacza, Ŝe na ciało nie działają Ŝadne inne siły
zewnętrzne (w tym równieŜ opory powietrza) poza siłą grawitacji.
Wahadło proste jest to niewielka metalowa kulka zawieszona na
bardzo lekkiej (w porównaniu z cięŜarem kulki) i jak najmniej
rozciągliwej nici. Średnica kulki powinna być mała w porównaniu z
długością nici, na której kulka jest zawieszona. Wahadło proste jest
zatem przybliŜeniem abstrakcyjnego tworu jakim jest wahadło
matematyczne definiowane jako punkt materialny zawieszony na
niewaŜkiej i nierozciągliwej nici. Ruch wahadła (zarówno prostego,
jaki matematycznego) wychylonego z połoŜenia równowagi i
puszczonego swobodnie jest ruchem okresowym, który przy
dostatecznie małych wychyleniach moŜemy w przybliŜeniu traktować
jak ruch harmoniczny.
22
Okres drgań harmonicznych T wahadła matematycznego wynosi
T = 2π
l
,
g
gdzie l jest długością wahadła, a g wartością przyśpieszenia
ziemskiego (cel naszego pomiaru). Zwróćmy uwagę, Ŝe powyŜszy
wzór nie zawiera informacji o wielkości amplitudy drgań. Wynika to
z bardzo waŜnej cechy ruchu harmonicznego zwanej izochronizmem drgań, czyli niezaleŜnością okresu drgań (harmonicznych) od
amplitudy. Ruch harmoniczny odbywa się pod wpływem siły
proporcjonalnej do wychylenia i przeciwnie do wychylenia
skierowanej. W przypadku ruchu wahadła ruch wywołany jest
składową siły cięŜkości prostopadłą do nici (styczną do toru ruchu,
który jest okręgiem o promieniu l) o wartości mg sin(ϕ ) , gdzie m
jest masą kulki i φ wychyleniem (kątem jaki nić tworzy z pionem).
23
α
l
l
N
FS
FN
mg
Rozkład sił dla wahadła prostego.
24
PrzybliŜenie funkcji sin(φ) wokół wartości φ0 = 0 do czterech
pierwszych wyrazów szeregu Taylora ma postać
sin(ϕ ) ≈ ϕ −
ϕ3
6
+
ϕ5
120
−
ϕ7
5040
Jak widzimy, najprostszym przybliŜeniem funkcji sin(φ) wokół zera
jest przybliŜenie sin(ϕ ) ≈ ϕ . Dlatego dla odpowiednio małych
amplitud moŜemy przybliŜyć ruch wahadła ruchem
harmonicznym. Musimy jednak zdawać sobie sprawę z
zastosowanego przybliŜenia i umieć oszacować błąd jaki w
związku z tym przybliŜeniem popełniamy. Rozwiązanie problemu
ruchu wahadła pod wpływem siły mg sin(ϕ ) nie jest prostym
problemem (zainteresowanych odsyłam np. do podręcznika
C.Kittel, W.D.Knight, M.A.Ruderman Mechanika, wyd. PWN).
25
26
Porównanie funkcji f(α)=sin(α) i funkcji liniowej f(α)=α dla kątów z zakresu 0 º-35º.
27
Pierwsza poprawka do wzoru na okres anharmonicznych drgań
wahadła matematycznego wychodząca poza przybliŜenie drgań
harmoniczncyh ma postać
 1 2

T = T0 1 + sin (θ 0 ) ,
 4

gdzie T0 jest okresem drgań harmonicznych, a θ0 amplitudą drgań
tego wahadła. A zatem błąd względny wynikający z zaniedbania
efektów anharmoniczności jest rzędu
δ T anh.
2
1
sin
(θ 0 )
T − T0
4
=
=
T
1 + 14 sin 2 (θ 0 )
Jeśli niepewność względna pomiaru okresu wahadła będzie co
najmniej dziesięciokrotnie większa od wartości powyŜszego
wyraŜenia, to efekt anaharmoniczności drgań będziemy mogli
zaniedbać
28
Błąd względny wynikający z róŜnicy między wzorami na okres drgań
harmonicznych i nieharmonicznych wahadła matematycznego w funkcji
29
amplitudy drgań
Drugim przybliŜeniem jakiego dokonujemy korzystając ze wzoru na
okres drgań harmonicznych wahadła matematycznego jest
zaniedbanie skończonych rozmiarów kulki i związanym z tym innym
momentem bezwładności (przypomnijmy, Ŝe w definicji wahadła
matematycznego jest mowa o punkcie materialnym).
Uwzględnienie tego faktu prowadzi do wzoru (przy załoŜeniu drgań
harmonicznych)

l
D2 
1 D2 
1 +
 ≈ T0 1 +
,
T = 2π
2 
2 
g  10 l 
 20 l 
gdzie D jest średnicą kulki. PrzybliŜenie w powyŜszym wyraŜeniu
jest tym lepsze im mniejszy jest stosunek średnicy kulki do
długości wahadła. Błąd względny jaki popełniamy zaniedbując
rozmiary kulki jest rzędu
D2
δ T D kulki
T − T0
=
=
T
20 l 2
D2
1+
20 l 2
co musimy skonfrontować z niepewnością pomiaru okresu.
30
Błąd względny wynikający z róŜnicy między wzorami na okres drgań
harmonicznych wahadła prostego i matematycznego w funkcji stosunku
31
średnicy kulki do długości wahadła.
Z przedstawionej powyŜej analizy wynika, Ŝe dla wychyleń rzędu
kilku stopni oraz średnicy kulki rzędu setnych części długości
wahadła uŜycie wzoru na okres drgań harmonicznych wahadła
matematycznego wydaje się być rozsądne. Pozostałe błędy jakie
popełniamy uŜywając tak prostego wzoru, jak np. zaniedbanie
oporu powietrza, czy siły wyporu powietrza są jeszcze mniejsze.
Ostatecznie zakładamy, Ŝe wartość przyśpieszenia grawitacyjnego
moŜemy zmierzyć metodą pośrednią, mierząc długość i okres
drgań wahadła prostego i posługując się wzorem
4π 2 l
g= 2
T
Niepewność maksymalną tego pomiaru oraz niepewność
standardową moŜemy wyliczyć ze wzorów (patrz wcześniejsze
wyprowadzenia)
∆ g max
 ∆l 2∆T
= g 
+
T
 l

,

 Sl
S g = g 
 l



2
 2S T
+ 
 T
2

 .

32
Pomiar okresu wahadła wykonano mierząc dziesięciokrotnie czas
10 wychyleń. Wahadło wprawiano w ruch odchylając je od pionu o
mniej niŜ 5º. Do pomiaru uŜyto stopera mechanicznego o
dokładności 0,2 s. Wyniki pomiarów pokazuje poniŜsza tabela:
33
Ostatnia kolumna powyŜszej tabeli ma na celu pobieŜne
skontrolowanie, czy obserwator nie pomylił, w którymś z pomiarów
liczby wahnięć wahadła. Gdyby wartość w tej kolumnie odbiegała,
dla jakiegoś pomiaru za bardzo od wartości 10 pomiar taki naleŜy
odrzucić i zastąpić go nowym. Wartość średnią okresu drgań
wahadła oraz niepewności przedstawiono w poniŜszej tabeli
(wartości podano przed zaokrągleniem).
Ostatecznie:
jeśli jako miarę niepewności przyjmiemy
niepewność maksymalną, to
T = (2,098 ± 0,039) [s],
a jeśli jako niepewność przyjmiemy całkowitą
niepewność standardową, to
T = (2,098 ± 0,023) [s]
lub
T = 2,098(23) [s]
34
Pomiar długości wahadła wykonano metodą pośrednią:
Za pomocą suwmiarki o dokładności 0,01mm zmierzono średnicę
kulki d oraz za pomocą taśmy mierniczej o działkach co 1mm
zmierzono długość nitki s, na której zawieszona jest kulka. Wyniki
tych pomiarów przedstawiają poniŜsze tabele
35
Wartości średnie pomiarów średnicy kulki i długości nici oraz
niepewności tych pomiarów zebrano poniŜej (przed zaokrągleniem)
Wyniki pomiarów obu wielkości:
z niepewnością maksymalną jako miarą niepewności
d = (19,03 ± 0,01) [mm]
s = (108,3 ± 0,8) [cm]
z niepewnością standardową jako miarą niepewności
d = (19,030 ± 0,006) [mm]
s = (108,34 ± 0,13) [cm]
36
Długość wahadła liczymy ze wzoru
1
l =s+ d
2
Niepewność maksymalna pomiaru l wynosi
∆l =
∂l
∂l
1
1
∆s +
∆ d = ∆ s + ∆ d = 0,782 cm + 0,001cm = 0,78205 cm
∂s
∂d
2
2
czyli
l = (109,3 ± 0,8) [cm]
Całkowita niepewność standardowa pomiaru l wynosi
2
S l calkowite
2
 ∂l   ∂l

1 2
2
=  S s  + 
S d  = S s + S d = 0,130 cm
4
∂s  ∂d

czyli
l = (109,29 ± 0,13) [cm]
37
Wartość przyśpieszenia ziemskiego wyliczamy ze wzoru
4π 2 l
m
g=
= 9,821 2 .
2
T
s
Niepewność maksymalna wynosi
∆ g max
czyli
 ∆l 2 ∆T
= g 
+
T
 l

 = 9,802 ⋅ (0,00716 + 0,0373) m/s 2 = 0,435 m/s 2 .

g = (9,8 ± 0,4) m/s 2 .
Całkowita niepewność standardowa wynosi
 Sl
S g = g 
 l
2
2
  2S T 
 + 
 = 0,132 m/s 2 .
  T 
czyli
g = (9,80 ± 0,13) m/s 2
lub
g = 9,80(13) m/s 2 .
38
Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego dla Krakowa wynosi
g = 9,8105 m/s 2 .
Zarówno zastosowanie niepewności standardowej jak i
maksymalnej daje nam przedział wartości, w której mieści się
wartość tablicowa, moŜna zatem sądzić, Ŝe nie popełniliśmy
Ŝadnych błędów.
Porównanie niepewności pomiarów długości wahadła i okresu
na niepewność wyznaczenia wartości przyśpieszenia
ziemskiego
Niepewność (maksymalna) związana z pomiarem
długości wahadła wyniosła:
okresu drgań wyniosła:
0,07 m/s2
0,19 m/s2,
czyli dla poprawienia dokładności pomiaru naleŜałoby przede
wszystkim zwiększyć dokładność pomiaru okresu drgań wahadła.
39
Porównanie błędów związanych z zaniedbanymi efektami z
niepewnościami pomiarów długości wahadła i okresu
Dla zastosowanego wahadła błąd związany z zaniedbaniem
skończonych wymiarów kulki wynosi: 0,0002 m/s2
W przypadku stosowanych podczas pomiaru amplitud drgań, błąd
związany z zaniedbaniem anharmoniczności był nie większy niŜ
0,005 m/s2.
Oba błędy są do zaniedbania w porównaniu z niepewnościami
wynikającymi z dokładności pomiarów zarówno długości wahadła,
jak i okresu. A zatem uŜycie przybliŜonego wzoru dla na okres
drgań harmonicznych wahadła matematycznego było uzasadnione.
40
Zestawienie wyników w przypadku uŜycia niepewności
maksymalnych
T = (2,098 ± 0,039) [s]
δ T % = 1,9%
d = (19,03 ± 0,01) [mm]
δ d % = 0,05%
s = (108,3 ± 0,8) [cm]
δ s % = 0,74%
l = (109,3 ± 0,8) [cm]
δ l % = 0,73%
g = (9,8 ± 0,4 ) [m/s 2 ]
δ g % = 4,1%
41
Zestawienie wyników w przypadku uŜycia niepewności
standardowych
T = (2,098 ± 0,023) [s]
d = (19,030 ± 0,006) [mm]
δ T % = 1,1%
δ d % = 0,03%
s = (108,34 ± 0,13) [cm]
δ s % = 0,12%
l = (109,29 ± 0,13) [cm]
δ l % = 0,12%
g = (9,80 ± 0,13) [m/s 2 ]
δ g % = 1,3%
42