Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 20 (27.03.2010)
Okrąg dziewięciu punktów
1. Udowodnić, że w trójkącie ABC prosta przechodząca przez środek boku AC,
równoległa do boku AB, przecina bok BC w jego środku.
Rozwiązanie. Korzystając z twierdzenia Talesa dla kąta ACB otrzymujemy
natychmiast tezę zadania.
2. Udowodnić, że w każdym trójkącie:
(a) środki boków trójkąta,
(b) spodki wysokości,
(c) środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z jego wierzchołkami
leżą na jednym okręgu. Okrąg ten nazywamy okręgiem dziewięciu punktów.
Rozwiązanie. Wiadomo, że przez środki boków trójkąta przechodzi jeden
okrąg. Ponieważ trójkąt ABC i trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta ABC, są jednokładne w skali − 12 , więc promień okręgu opisanego na trójkącie, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta ABC, jest
równy 21 R, gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Pokażemy, że punkty, o których mowa w (b) i (c), leżą na okręgu przechodzącym przez środki boków trójkąta ABC. W dalszej części rozwiązania wprowadzamy następujące oznaczenia:
MA , MB , MC – środki boków △ABC,
HA , HB , HC – spodki wysokości,
EA , EB , EC – punkty Eulera,
O – środek okręgu opisanego na △ABC,
H – ortocentrum.
1
C
MB
MA
O
A
HC
B
MC
Niech o9 będzie okręgiem opisanym na △MA MB MC . Z trójkąta prostokątnego
AHC C, |∠AHC C| = 90◦ , mamy |HC MB | = 12 |AC|, gdyż MB jest środkiem przeciwprostokątnej AC. Z faktu, że MA , MC są środkami boków BC i AB mamy
|MA MC | = 21 |AC|. Ponieważ odcinki MA MB i MC HC są równoległe do siebie i
1
|MA MC | = |MB HC | = |AC|,
2
więc punkty MA , MB , MC , HC są wierzchołkami trapezu równoramiennego.
Na tym trapezie można opisać okrąg. Okręgiem tym jest oczywiście o9 , gdyż
tylko jeden okrąg przechodzi przez punkty MA , MB , MC . Zatem punkt HC
(spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka C) leży na okręgu o9 . Podobnie
uzasadniamy, że punkty HA i HB leża na okręgu o9 .
Rozważmy następującą sytuację.
C
MB
MA
H
EA
A
HC
MC
B
Punkty EA i MB są odpowiednio środkami boków AH i AC w trójkącie AHC.
Zatem EA MB k CH. Ponieważ CH ⊥ AB i MB MA k AB, więc CH ⊥ MB MA .
Skąd wnosimy, że EA MB ⊥ MB MA . Otrzymujemy więc, że |∠EA MB MA | = 90◦ .
Podobnie w △ABH punkty EA i MC są środkami boków AH i AB. Zatem
EA MC k BH. Ponieważ BH ⊥ AC (prosta BH zawiera wysokość BHB ) i
MA MB k AC (MA , MC – środki boków), więc BH ⊥ MA MC i dalej EA MC ⊥
MA MC . Otrzymaliśmy więc, że |∠EA MC MA | = 90◦ . Skoro kąty EA MB MA i
EA MC MA są proste, więc punkty MB i MC leżą na okręgu o średnicy EA MA .
2
Oznacza to, że punkt EA leży na okręgu przechodzącym przez punkty MA ,
MB , MC . Podobne rozumowanie prowadzimy dla punktów EB , EC . Uwaga ta
kończy rozwiązanie zadania.
3. Wyznaczyć promień okręgu dziewięciu punktów i położenie środka tego okręgu.
Uwaga. Jeśli mamy cięciwę okręgu, to środek tego okręgu leży na symetralnej
tej cięciwy.
Rozwiązanie. Wiadomo, że na okręgu dziewięciu punktów leżą punkty HC –
spodek wysokości i MC – środek boku AB. Podobnie na okręgu dziewięciu
punktów leżą punkty MA i HA .
C
HA
MA
O
H
A
HC
MC
B
Zatem środek okręgu dziewięciu punktów leży na symetralnych odcinków
HC MC i HA MA , a właściwie jest punktem przecięcia tych symetralnych. Z drugiej strony symetralna odcinka HC MC jest równoległa do prostej OMC i do
prostej CH (zawierającej wysokość) i skoro przechodzi ona przez środek odcinka HC MC , to symetralna ta przecina odcinek OH w jego środku. Podobnie
symetralna odcinka MA HA przechodzi przez środek odcinka OH. Zatem symetralne odcinków MC HC i MA HA przecinają się w środku odcinka OH, który
jest środkiem okręgu dziewięciu punktów.
Promień okręgu dziewięciu punktów został wyznaczony przy okazji opisu
okręgu przechodzącego przez środki boków trójkąta i jest równy 21 R, gdzie
R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie.
4. (Zadanie domowe.) W trójkącie ABC punkt H jest ortocentrum, punkty K i L
są spodkami wysokości opuszczonych odpowiednio z punktów A i B, a punkt
R jest środkiem odcinka CH. Dowieść, że w okręgu dziewięciu punktów tego
trójkąta punkt R jest środkiem łuku KL.
3