Estymacja jest to szacowanie nieznanych paramentrów, które

Estymacja jest to szacowanie nieznanych paramentrów, które charakteryzują rozkład badanej cechy
populacji (wychodzimy od wyników próby i na ich podstawie formułujemy wnioski o populacji).
1. Estymacja punktowa - polega na wyznaczeniu pojedynczej wartości, która stanowi przybliżenie poszukiwanego parametru
2. Estymacja przedziałowa - polega na konstruowaniu przedziału liczbowego, który z określonym z
góry prawdopodobieństwem (bliskim jedności) będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru. Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności.
• najpierw określamy prawdopodobieństwo 1 − α tzw. poziom ufności (współczynnik ufności)
• potem wyznaczamy przedział, do którego z prawdopodobieństwem 1 − α należy szacowany parametr θ, czyli wyznaczamy takie a, b, że
P (a ¬ θ ¬ b) = 1 − α
Zadania. Estymacja przedziałowa.
1. W pewnym zakładzie zbadano staż pracy pracowników. W tym celu z populacji pracowników wylosowano próbę o liczebności n = 196 pracowników, z której obliczono x = 6, 9 lat. Dotychczasowe
doświadczenie wskazuje, że rozkład stażu pracy pracowników jest normalny z odchyleniem standardowym σ = 2, 8 lat. Przyjmując poziom ufności 1 − α = 0, 95, zbudować przedział ufności dla nieznanego
średniego stażu pracy w populacji pracowników.
2. W celu ustalenia nowych norm pracy konieczne było oszacowanie średniego czasu potrzebnego do
wykonania pewnego detalu na określonym typie obrabiarki. W tym celu z populacji wszystkich robotników wylosowano próbę n = 17 robotników i u każdego z nich dokonano pomiaru czasu wykonania
detalu. Okazało się, że średni czas wykonania detalu wynosił 15 minut, odchylenie standardowe zaś 2
minuty. Przyjmując poziom ufności 1 − α = 0, 95, oszacować średni czas potrzebny do wykonania tego
detalu w całej populacji robotników. Wiadomo ponadto, że rozkład czasu wykonania tego detalu jest
w przybliżeniu normalny N (µ, σ).
3. W losowo wybranej grupie samochodów osobowych pewnej marki przeprowadzono badanie zużycia
benzyny na trasie 100 km. Okazało się, że odchylenie standardowe zużycia benzyny dla tej grupy samochodów wynosiło 0,8 litra na 100 km. Zakładając, że badana cecha na rozkład normalny, wyznaczyć
przedział ufności dla odchylenia standardowego zużycia benzyny przez wszystkie samochody tej marki
na takiej trasie. Przyjąć poziom ufności 0, 99.
4. Spośród 120 wylosowanych pracowników pewnego zakładu, 12 nie wykonało normy wydajności. Przyjmując poziom ufności 0,9, wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury pracowników w tym
zakładzie, którzy nie wykonują normy.
1
5. Analizując wydajność pracy w pewnym zakładzie otrzymano dane:
wydajność pracy
liczba pracowników
w szt/h
ni
0-4
4
4-8
6
8-12
7
12-16
5
22
Wiadomo, że wydajność pracy w tym zakładzie ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności
1 − α = 0, 95, wyznaczyć przedział ufności dla:
(a) przeciętnej wydajności,
(b) odchylenia standardowego.
6. Dla 200 pracowników wylosowanych niezależnie w pewnym przedsiębiorstwie otrzymano następujący
rozkład empiryczny wieku (w latach):
wiek
liczba pracowników
ni
15-19
6
20-24
40
25-29
24
30-34
25
35-39
18
40-44
28
45-49
25
50-54
10
55-59
24
200
Wiadomo, że wiek pracowników ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1 − α = 0, 99,
oszacować przedziałowo:
(a) przeciętny wiek pracowników w badanym przedsiębiorstwie,
(b) odchylenie standardowe wieku pracowników w badanym przedsiębiorstwie,
(c) odsetek pracowników w wieku poniżej 35 lat.
2
7. Wśród studentów palących papierosy przeprowadzono ankietę na temat ilości wypalanych dziennie
papierosów. Uzyskano następujące odpowiedzi:
liczba
liczba studentów
papierosów
ni
1-3
10
3-5
20
5-7
25
7-9
40
9-11
35
11-13
10
140
Przyjmując poziom ufności 1 − α = 0, 9, zbudować oszacować przedziałowo:
(a) średnią ilości papierosów wypalanych dziennie przez studentów,
(b) odsetek osób, które palą mniej niż 5 papierosów dziennie.
8. W celu oszacowania średniego kosztu oraz rozrzutu kosztu produkcji pewnego artykułu produkowanego
przez różne zakłady, wylosowano niezależnie do próby 150 zakładów i otrzymano wyniki:
koszt jednostkowy
liczba zakładów
w zł
ni
20-40
20
40-60
30
60-80
50
80-100
30
100-120
20
150
Wiadomo, że koszt produkcji ma rozkład normalny. Przyjmując poziom ufności 1−α = 0, 95, oszacować
metodą przedziałową:
(a) nieznany średni koszt tego artykułu we wszystkich zakładach produkujących go w Polsce,
(b) odchylenie standardowe jednostkowego kosztu tego artykułu we wszystkich zakładach.
9. W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów chorych na pewną chorobę. Zmierzono czas snu u n = 16 wylosowanych niezależnie pacjentów i otrzymano wyniki (w minutach): 436,
533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553, 500, 488. Zakładając, że czas snu ma rozkład N (µ, 70), oszacować średnią µ czasu snu pacjenta metodą przedziałową przyjmując 1 − α = 0, 99.
3