)( ),( min sup )( yµxµ z µ =

II. Niezawodność elementów i systemów – wykład 4
Wykorzystanie liczb rozmytych w modelach niezawodności elementów i systemów
W przypadku zbioru zwykłego A element x albo do niego naleŜy (funkcja charakterystyczna
µA(x) równa 1), albo nie naleŜy (µA(x) = 0). W systemach rozmytych element moŜe naleŜeć do
~
zbioru częściowo. Stopień przynaleŜności do zbioru rozmytego A , będący uogólnieniem funkcji
charakterystycznej, jest nazywany funkcją przynaleŜności, przy czym µ A~ ( x) ∈ [0, 1]. Wartości
funkcji przynaleŜności są liczbami rzeczywistymi z przedziału [0, 1] i noszą nazwę stopnia
przynaleŜności. Zwykły zbiór A zawierający wszystkie elementy przestrzeni U, które mają stopień
~
przynaleŜności do A większy lub równy α jest α-przekrojem (zbiór na poziomie α) rozmytego
~
zbioru A :
Aα = {x ∈ U µ A~ ( x ) ≥ α, α ∈ [0, 1]}
(2.84)
Na zbiorach rozmytych moŜna zdefiniować szereg operacji matematycznych, będących
uogólnieniem operacji obowiązujących dla zbiorów nierozmytych. Zbiory rozmyte zdefiniowane w
zbiorze ℜ, czyli na osi liczb rzeczywistych, nazywa się liczbami rozmytymi.
Niech (*) będzie operacją matematyczną na liczbach rozmytych: dodawanie (+),
odejmowanie (-), mnoŜenie (•), dzielenie (/). Wykorzystując zasadę rozszerzania,
~
~
A (*) B moŜna otrzymać następująco:
µ A~ (∗) B~ ( z ) = sup min{µ A~ ( x), µ B~ ( y )}
(2.85)
z = x∗ y
Wykorzystując definicję α-przekroju i stosując zapis Aα ≡ [ a 1α , a α2 ] do reprezentacji
~
zamkniętego przedziału A na poziomie α, zaleŜność (2.85) staje się:
( A(∗) B )α = Aα (∗) Bα , ∀α ∈ [0, 1]
(2.86)
~
~
Prawa strona równania (2.86) oznacza operację arytmetyczną na α-przekrojach A i B
wykorzystującą arytmetykę przedziałów:
Aα (+ ) Bα = [a 1α + b1α , a α2 + b α2 ], Aα (−) Bα = [a 1α − b1α , a α2 − b α2 ],
Aα (⋅) Bα = [min(a iα ⋅ b αj ), max(a iα ⋅ b αj )],
(2.87)
Aα ( / ) Bα = [min(a αi / b αj ), max(a iα / b αj )]; 0 ∉ Bα
gdzie i, j = 1, 2.
Łącznikiem między informacją dokładną (zbiór nierozmyty) a rozmytą (zbiór rozmyty) są
procedury fuzyfikacji (fuzyfikator, układ rozmywania), pozwalajace na przekształcenie
nierozmytego zbioru danych wejściowych w zbiór rozmyty, zdefiniowany za pomocą wartości
funkcji przynaleŜności; oraz procedury defuzyfikacji (defuzyfikator, układ wyostrzania), o
działaniu odwrotnym.
Mianem - rozmyta niezawodność (fuzzy reliability - FR) określono analizy
niezawodnościowe w przypadku, gdy przynajmniej jedna wielkość ze zbioru danych jest opisana
modelem rozmytym. Jeśli jest to tylko rozmyty opis zapotrzebowania (obciąŜenia) (ani
deterministyczny ani probabilistyczny), to mamy do czynienia z rozmytą niezawodnością rodzaju I
(FR I). Przy FR rodzaju II mamy do czynienia z rozmytymi wartościami wskaźników
niezawodnościowych elementów, zamiast dokładnych. MoŜemy równieŜ mówić o FR rodzaju III,
w przypadku modeli które zajmują się niezawodnością rozmytą w środowisku decyzyjnym, tj. gdy
rozmyte wielkości (w tym niezawodnościowe) muszą być porównywane aŜeby wyciągnąć jakieś
wnioski lub podjąć decyzje.
Jeśli dana jest niepewna krzywa obciąŜenia Z = f(τ), to rozmyta krzywa obciąŜenia na
poziomie α moŜe być zdefiniowana jako:
Z α = (1 − ∆−α ) ⋅ f (τ); (1 − ∆+α ) ⋅ f (τ)
(2.88)
[
]
z ∆+α i ∆-α będącymi niezupełnie monotonicznie malejącymi funkcjami α; moŜemy równieŜ
otrzymać rozmyty opis czasu względnego τ poprzez f-1 (rys. 2.15). Taka reprezentacja liczb
rozmytych (FN) zwana jest „przedziałem ufności” (opartym na α ∈ [0, 1]).
1
II. Niezawodność elementów i systemów – wykład 4
Przykład 2.4: Dane niezawodnościowe
dla elementów to najczęściej częstość
1
MW
(intensywność) zakłóceń λ i średni czas
1
α
Z
naprawy r. Zamiast wartości λ równej
α
„ostrej” liczbie np. 0,1 zakłóceń na rok,
mamy opis rozmyty, taki jak: najlepsze
oszacowanie 0,1 z przedziałem ufności
[0,08; 0,12] zakłóceń na rok. Stąd λα =
[0,1 – (0,02(1 - α)), 0,1 + (0,02(1 - α))]
będzie
reprezentowało
trójkątną
rozmytą
częstość
zakłóceń,
z
−
+
λα = λα , λα
będącym przedziałem
ufności na poziomie α ∈ [0, 1].
RozwaŜmy dla przykładu rozmytą
1
0
Dystrybuanta obciąŜenia uporządkowanego τ
funkcję niezawodności R(t) elementu o
wykładniczym rozkładzie czasu pracy
Rys. 2.15. Rozmyty opis uporządkowanej krzywej obciąŜenia
bezawaryjnej.
Dla
kaŜdego
t
ograniczenia dla λ określają:
+
-λ
t
-λ − t
Rα (t ) =  Rα+ = e α ; Rα− = e α 


Dla kaŜdego α mamy więc przedział ufności ograniczony przez niŜsze wartości funkcji
bezawaryjnej pracy Rα+ i wyŜsze wartości funkcji Rα− . Definiuje to rozmytą funkcję niezawodności
Rα(t), tak jak to pokazano na rys. 2.16.
[
1
0
α
]
1
Funkcja niezawodności
0,9
0,8
0,7
R α−
0,6
0,5
R α+
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Czas, lata
Rys. 2.16. Rozmyta funkcja niezawodności elementu i ilustracja jej funkcji przynaleŜności dla ustalonego t
Ogólne zasady budowy modelu niezawodnościowego
Rodzaj struktury niezawodnościowej systemu (obiektu złoŜonego) zaleŜy od:
a) struktury funkcjonalnej obiektu, tzn. od sposobu konstrukcyjnego połączenia elementów
i od wzajemnego oddziaływania tych elementów na siebie;
b) zadania, jakie ma dany obiekt wykonać.
W związku z powyŜszym podstawą tworzenia struktur niezawodnościowych są odpowiednie
schematy technologiczne obiektów złoŜonych. Ze względu na specyfikę problemu oraz róŜnice w
rozwiązaniach projektowych róŜnych obiektów naleŜy określać strukturę niezawodnościową
indywidualnie dla kaŜdego analizowanego obiektu.
Strukturę niezawodnościową analizowanego obiektu moŜna przedstawić między innymi w
postaci stabelaryzowanej lub analitycznej, np. przez funkcję strukturalną systemu. Jednak
najprostszym i najbardziej obrazowym sposobem przedstawienia struktury niezawodnościowej
2
II. Niezawodność elementów i systemów – wykład 4
obiektu jest sposób graficzny. W tym wypadku struktura niezawodnościowa jest pokazana jako graf
lub teŜ jako schemat blokowy niezawodności lub po prostu schemat niezawodnościowy obiektu.
Ze względu na specyfikę problemu oraz róŜnice w rozwiązaniach projektowych róŜnych
systemów (np. zasilania obiektów) naleŜy określać strukturę niezawodnościową indywidualnie dla
kaŜdego analizowanego systemu. Tworzenie schematu niezawodnościowego powinno zawierać:
analizę schematu topologicznego funkcjonowania systemu;
wyróŜnienie w systemie elementów, których niezawodność ma wpływ na niezawodność
systemu;
odwzorowanie wyróŜnionych elementów w postaci bloków;
graficzne odwzorowanie zaleŜności między stanami niezawodnościowymi elementów, a
stanem niezawodnościowym systemu.
W celu ułatwienia graficznego odwzorowania struktury niezawodnościowej systemu moŜna
wykorzystać następujące wskazówki:
1) elementy niepowtarzalne przedstawia się w postaci oddzielnych i róŜnych bloków,
2) elementy powtarzalne przedstawia się w postaci jednego typu bloku;
3) jeŜeli niesprawność danego elementu powoduje niezdatność całego systemu, to element
ten wchodzi w skład podsystemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej;
4) jeŜeli niesprawność systemu jest spowodowana jednoczesną niezdatnością kilku
elementów, to elementy te wchodzą w skład podsystemu o równoległej strukturze
niezawodnościowej.
WyróŜnienia elementów w badanym systemie dokonuje się w procesie dekompozycji.
Dekompozycja systemu polega na stopniowym podziale obiektu na mniejsze części (podsystemy),
które z kolei dzieli się na podsystemy prostsze. Na danym stopniu podziału wyróŜnione podsystemy
traktuje się jako niepodzielne elementy. Podział jest wykonywany ze względu na funkcje (wg
kryteriów technologicznych), jakie pełni dany podsystem podczas realizacji zadania obiektu.
Dekompozycji dokonuje się do takiego stopnia szczegółowości, jaki narzuca cel i zakres oceny
niezawodności analizowanego systemu. Oznacza to, iŜ z punktu widzenia potrzeb oceny
niezawodności dalszy podział na elementy nie jest celowy.
W niektórych wypadkach struktura funkcjonalna obiektu złoŜonego odpowiada wprost jego
strukturze niezawodnościowej. W większości wypadków jednak tak nie jest. Związane jest to z
wpływem postawionego zadania, które ma wykonać obiekt, na jego strukturę niezawodnościową.
Model procesu eksploatacji systemu jako podstawa modelu niezawodnościowego
Obiekty elektroenergetyczne typu „układy (systemy)” są rozpatrywane jako systemy,
w których wyodrębnia się zbiory urządzeń oraz relacji topologicznych i eksploatacyjnych między
nimi.
Relacje eksploatacyjne są określone jako oddziaływania stanów eksploatacyjnych jednego
urządzenia na stany innych urządzeń.
Relacje topologiczne między urządzeniami rzeczywistymi są określone jako bezpośrednie
połączenia geometryczne (elektryczne) elementów.
Układ (system) będziemy więc dalej rozumieć jako zbiór elementów obliczeniowych (dalej
elementów) oraz relacji eksploatacyjnych między nimi. Proces eksploatacji systemu zaś będzie
opisany przez zbiór stanów jego eksploatacji oraz relacji eksploatacyjnych między nimi. ZaleŜy on
od procesów eksploatacyjnych elementów składowych oraz relacji eksploatacyjnych między
elementami.
NaleŜy tu rozróŜnić relacje eksploatacyjne między stanami określone jako bezpośrednie
przejście między dwoma stanami eksploatacyjnymi oraz relacje eksploatacyjne między elementami,
określone jako oddziaływanie stanów jednego elementu na stany innych.
Zbiory relacji eksploatacyjnych między elementami w systemie mogą być określone przez
uogólnione pojęcia konfiguracji lub struktury.
Konfigurację relacji w systemie stanowi konkretny zbiór relacji eksploatacyjnych nie
zmieniających się w rozpatrywanym okresie czasu.
3
II. Niezawodność elementów i systemów – wykład 4
Strukturę relacji w systemie stanowi uogólniony (zagregowany) uporządkowany zbiór
relacji. Struktura relacji zawiera zbiory wszystkich moŜliwych konfiguracji. Wielorakość
konfiguracji jest cechą obiektów złoŜonych (systemów).
WspółzaleŜność stanów eksploatacji elementów wynika ze współzaleŜności ich
odpowiedników fizycznych, relacji topologicznych między elementami, wyposaŜenia układu w
urządzenia komutacyjne, SPZ, SZR oraz przyjętej strategii remontowej.
Stany eksploatacyjne systemu otrzymuje się przez agregację moŜliwych stanów elementów.
Określa to operator przekształcający przestrzeń stanów elementów w stany podstawowe systemu:
HS : SEM → SU
(2.92)
gdzie: SEM – zbiór moŜliwych stanów elementów, SU – zbiór stanów systemu (układu),
HS – operator przekształcający, określony przez poziom oddziaływania elementu na
wielkości charakteryzujące system (moc generowana przez elektrownię, moc przesyłana za
pośrednictwem układu sieciowego itp.).
SEM = S 1 × S 2 × K × S i × K × S n
(2.93)
gdzie: Si – zbiór stanów i – tego elementu, n – liczba elementów w systemie.
Model procesu eksploatacji systemu, traktowanego jako zbiór elementów, jest określony
przez zbiór procesów eksploatacyjnych {Pfi(t)} elementów ze zbioru U oraz zbiór relacji
eksploatacyjnych EU między elementami:
U = {U i , i = 1, n}
(2.94)
EU : SEM → SEM
(2.95)
Proces eksploatacji systemu moŜna zilustrować za pomocą poniŜszego ciągu kołowego:
〈Ut0, SEMt0〉
〈Ut(3k+3), SEMt(3k+3)〉
〈Rt(3k+1) 〉
EU
〈Ut(3k+1), SEMt(3k+1) 〉
RU
〈Ut(3k+2), SEMt(3k+2) 〉
EU
k = 0, 1, 2, 3 …
W chwili t0 naleŜy znać zbiór elementów Ut0 oraz zbiory ich stanów eksploatacyjnych SEMt0.
Dla elementów z Ut0 określa się za pomocą EU konfigurację relacji eksploatacyjnych między
elementami. W wyniku otrzymuje się zbiory Ut(3k+1) oraz SEMt(3k+1). Najczęściej róŜnią się one od
zbiorów określonych w momencie t0 (np. stany awarii elementów do remontów awaryjnych).
RU określa odwzorowanie remontowe (stanowiące podzbiór EU), które przy strategii
remontów profilaktycznych Rt(3k+1) powoduje przejście do podzbiorów Ut(3k+2) oraz SEMt(3k+2).
Odwzorowanie EU przekształca te zbiory w zbiory Ut(3k+3) oraz SEMt(3k+3). Dalej proces powtarza
się przy zmiennym k.
KaŜdy element ze zbioru U, w danej chwili, moŜe znajdować się w jednym ze stanów
naleŜących do zbioru Si. Część ze stanów eksploatacyjnych elementu moŜe oddziaływać na stany
pozostałych elementów.
Oznaczając przez relację eksploatacyjną j-tego stanu i-tego elementu oddziaływującego na
stany k-tego elementu, otrzymuje się:
eu ik ( j ) : S j → S k
(2.96)
Zatem odwzorowanie EU jest zbiorem funkcji eksploatacyjnych:
k
(2.97)
∧ EU = eui ( j )
i , k∈1, n
k ≠i
j∈SEM
{
}
Strategia remontów profilaktycznych Rt(3k+1) jest określona przez rodzaj remontów planowych
oraz momenty rozpoczęcia i zakończenia kaŜdego remontu planowego dla elementów. Rodzaj
remontów wynika z ustaleń praktyki eksploatacyjnej. Ogólnie mogą to być remonty kapitalne i
bieŜące. Momenty rozpoczęcia i zakończenia remontów zaś mogą być losowe albo zdeterminowane
(losowa bądź deterministyczna strategia remontowa).
4