Zestaw 4. zadań z matematyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w

Zestaw 4. zadań z matematyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
WFiU, Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia
Zestaw 4. zadań z matematyki1
Pochodne funkcji jednej zmiennej
Zadanie 1. Oblicz pochodne pierwszego rzędu następujących funkcji:
(1)
(3)
x
− 7,
2
√
√
2
f (x) = 8x4 − 3 x + x − √ + 5,
x
f (x) = 2x4 + x3 − 5x2 +
(5)
f (x) = ctg x − 2x + 11,
(7)
f (x) = (1 − 9x2 + 12x3 ) · ex ,
(9)
f (x) = x2 sin x + 2x cos x − 3 ctg x,
(11)
(13)
(15)
(17)
(19)
(21)
(23)
(25)
(27)
(29)
(31)
f (x) = (13 − 7 log2 x) · cos x,
2
f (x) = 3x2 ln x − 5x3 + ,
x
x+1
,
f (x) = 2
2x + x + 5
ln x
4
f (x) = 2 − √ ,
x
x x
2 sin x − 3 cos x
f (x) = x3 · ln x +
,
5x
6
1
f (x) = x3 + 2x + + 4 ,
x
5
f (x) = 3 − 6 (ex + 1)3 ,
x
f (x) = 4x − 8 sin(3x + 5),
√
f (x) = x3 − cos x3 + 2x2 + 3x − 7 ,
ln(1 + 4x)
,
x3
x−1 4
f (x) = x +
,
x+1
f (x) = 5 +
(33)
2
f (x) = tg
x+2
(35)
f (x) =
(37)
1
f (x) = 8 ln x + 5x−5 + 2x−3 − 6x− 3 + 1,
√
(8) f (x) = 2 + (5 + 4 x ) · tg x,
√
√
(10) f (x) = x x + 2x2 x + 3x,
(6)
(12) f (x) = 8 + x3 · 3x ,
√
3
(14) f (x) = 4x + 2 − 3 x · sin x,
x
1 − 7ex
(16) f (x) =
,
2 + 5x3
5
2 ln x
(18) f (x) = 11 −
+
,
ctg x 4x2 + 7x
√
√
3 x
x
(20) f (x) = 2 + 7 x · e − 2
x + 17
(22) f (x) = (1 + 6 tg x)2 ,
√
(24) f (x) = 11 + 4 cos x,
,
4
2
+ 3ex −2 ctg x−7 ,
x
sin(7x2 + 3)
(30) f (x) =
,
2 + x5
√
(32) f (x) = 1 − (2x3 − 3 x + 1)e−x ,
(28) f (x) =
(34) f (x) =
5 + cos(3 + x2 )
,
2 + x3
√
f (x) = x · e1−6 ln x ,
(41)
(43)
f (x) =
(45)
f (x) = 3 − (1 + x) · ln
(47)
√
f (x) = 4 − 2 x + 3 · e−x ,
sin(x2 + 3)
,
1 + cos x
1−x
,
3 + ex
4 + 5x
,
7x2
5 − ex
2
(38) f (x) = √
+
,
x
sin x
6
(40) f (x) = √
− 3 ln(cos x),
3
x
√
(42) f (x) = 7 + 3 x − (x2 + 2x + 7)ex ,
(36) f (x) = ln
2
+ (sin x + 1) · (4x − ln x),
x3
√
3
(46) f (x) = 7 x + − (x3 + 5x2 + 3)5 · ln x,
x
1
2 ln x + 5
(48) f (x) = 4x − 3 +
,
x
4x2 − x3
(44) f (x) = 5 −
2
,
2+x
(26) f (x) = 5 + 2x + ln x4 − x3 + 1 ,
s
√
1
(4)
2
3
− 3 + cos x,
x x
1
f (x) = 3 sin x − 5 cos x + ,
x
f (x) = x5 − x3 + 2x +
f (x) = 4 ln3 x − e x ,
√
f (x) = 2 − sin x − (2x4 − 3)7 ,
(39)
(2)
Zestaw dostępny na stronie: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/j zestaw4 101WL.pdf
(49)
(51)
sin x + 4 cos x
3
− 2,
2
2x + 1
x
1
2
,
f (x) = 3 − 6x − 2 cos
1 − 3x
p
(50) f (x) = 3x − 2 2ex + 3x2 − 1,
f (x) =
3 +2x+1
(52) f (x) = x2 · e−x
− 7x3 ,
s
4
x
2
(53)
f (x) = (x + 1) · ln(1 − x + 2x) + 5x ,
(55)
f (x) = 2x2 − 4 (2 cos x + 5 sin x − 7)6 .
(54) f (x) = 2e + 4x − 5
2
,
x3 + 2x
Zadanie 2. Oblicz pochodne rzędu drugiego i trzeciego funkcji:
a) f (x) = 3x ,
b)
f (x) =
x2 + 1
,
x
c) f (x) = 5 sin 2x.
Zadanie 3. Znajdź wszystkie pochodne funkcji f (x) = 5 − 3x + 2x2 + x3 − 2x5 .
Polecam również przećwiczenie obliczania pochodnych na (wybranych) przykładach z zadań 9.1.1 –
9.1.5 (do podpunktu 28) ze zbioru Elementy matematyki dla studentów ekonomii i zarządzania. Zbiór
zadań.
Odpowiedzi
Ad 1. 8x3 +3x2 −10x+ 12 ; 2. 5x4 −3x2 +2− x22 + x94 −sin x; 3. 32x3 −
1
1
1
1
√
√
√
3 2 + 2 x + x x ; 4. 3 cos x+5 sin x− x2 ;
x
√
x
2√
tg x
2
3
2
2
3 x
5. − sin12 x − 2; 6. x8 − x256 − x64 + √
+ 5+4
3 4 ; 7. (1 − 18x + 27x + 12x )e ; 8.
cos2 x ; 9. (x + 2) cos x + sin2 x ;
x
x
√
√
2
cos x
2
3
x
2
10. 23 x + 5x x + 3; 11. −7x ln
2 − (13 − 7 log2 x) sin x; 12. (3x + x ln 3)3 ; 13. 6x ln x − 15x + 3x − x2 ;
2
x
√
x
15x (1−7e )
x
−7e
1−2 ln x
−5
√
+ x26√x ; 18. cos
14. 4 − x63 − sin
− 3 x · cos x; 15. (2x−2x+4
2 +x+5)2 ; 16. 2+5x3 −
2x +
3
(2+5x3 )2 ; 17.
x3
3 x2
√
√
8x(1−2 ln x)+14(1−ln x)
sin x
x
1
; 19. x2 (3 ln x+1)+ (2x+3) cos x+(3x−2)
; 20. 7 xex 1 + 2x
− 2√x(x32 +17) + (x6x
2 +17)2 ; 21.
(4x2 +7x)2
5x2
5
tg x)
√ sin x ; 25. 4−24 cos(3x+
6 3x2 + 2 − x12 x3 + 2x + x1 + 4 ; 22. 12(1+6
; 23. − x154 −18ex (ex +1)2 ; 24. −2
cos2 x
cos x √
2
3 x
4x3 −3x2
4
2
3
2
5); 26. 2 + x4 −x3 +1 ; 27. 2 + (3x + 4x + 3) · sin(x + 2x + 3x − 7); 28. − x2 + 6x + sin62 x · ex −2 ctg x−7 ; 29.
3 ln(1+4x)
14x·cos(7x2 +3)
5x4 ·sin(7x2 +3)
8(x−1)3
3
4
3 − 6x2 − 3√x + √
−
;
30.
−
;
32.
2x
+
1
·e−x ;
;
31.
1+
3
4
5
5
2
5
(1+4x)x
x
2+x
(2+x )
(x+1)
2 x
q
2
2 ·cos(3+x2 )
x
−2x·sin(3+x2 )
ln 5−2)−8
−2
2
−3−2ex +xex
3+ex
−2
33. (x+2)
− 15x +3x
; 36. 5 (x
; 37.
2 · cos
3
3 )2
x+2 ; 34.
1−x ; 35.
x·(4+5x )
2(3+ex )2 ·
2+x
(2+x
√
√
2
x
x
x
−11 x
−e
5−e
2
cos
x
12
ln
x
e
2
3
sin
x
−
cos
x
1−6 ln x ; 38. √ − √ −
√
; 39. x − 2√x ; 40. − √
− 56x3 (2x4 − 3)6 ;
3 4 + cos x ; 41.
2x · e
x
2x x
sin2 x
2 2−sin x
x
2
2
+3)+sin x·sin(x +3)
x+1)
; 44. x64 + (4x − ln x) cos x + (4x−1)(sin
;
42. 2√3 x − (x2 + 4x + 9)ex ; 43. 2x(1+cos x)·cos(x
x
(1+cos x)2
−x
3
2
5
(x +5x +3)
2
7
3
2
3
2
4
√
√
45. 1+x
; 47. (2x+5)e
; 48.
2+x − ln 2+x ; 46. 2 x − x2 − (15x + 50x)(x + 5x + 3) ln x −
x
x+3
2
2
x
)(2 ln x+5)
x+4 cos x)
x−4 sin x
+6x
4 + x34 + 8x−2x −(8x−3x
; 49. cos2x
− 4x(sin
+ x63 ; 50. 3 − √2e2ex +3x
; 51. −12x +
2
3 2
2 +1
2 −1
(4x
(2x2 +1)2
−x )
4
3
6
1
4
2
−x +2x+1 − 21x2 ; 53. ln(1 − x4 + 2x) + −4x −4x3 +2x+2 + 10x;
(1−3x)2 · sin 1−3x ; 52. (−3x + 2x + 2x)e
1−x4 +2x
2 +2)
5(3x
54. 2ex + 4 + √ 3
; 55. 4x − 24(5 cos x − 2 sin x)(2 cos x + 5 sin x − 7)5 ; Ad 2a. f 00 (x) = 3x (ln 3)2 ,
2(x +2x)3
00
000
f 000 (x) = 3x (ln 3)2 ; 2b. f 00 (x) = x23 , f 000 (x) = −6
x4 ; 2c. f (x) = −20 sin(2x), f (x) = −40 cos(2x); Ad 3.
f 0 (x) = −3 + 4x + 3x2 − 10x4 , f 00 (x) = 4 + 6x − 40x3 , f 000 (x) = 6 − 120x2 , f (4) (x) = −240x, f (5) (x) = −240,
f (n) (x) = 0 dla n ­ 6.
c 2016 Joanna i Michał Trzęsiok
Copyright 3