Definicje Pochodna w punkcie: f (x0) = |x=x0 = lim Różniczka: df(x
Transkrypt
Definicje Pochodna w punkcie: f (x0) = |x=x0 = lim Różniczka: df(x
Definicje df (x) dx |x=x0 f (x0 +∆x)−f (x0 ) ∆x Pochodna w punkcie: f 0 (x0 ) = Różniczka: df (x) = f 0 (x)dx Całka nieoznaczona: R f (x)dx = F (x) + C, gdzie F 0 (x) = f (x), C = const Całka oznaczona: Rb f (x)dx = F (b) − F (a) = lim ∆x→0 a f (x) = f (a) + Szereg Taylora: Własności pochodnych x−a 0 1! f (a) + (x−a)2 00 2! f (a) + ... + (x−a)n (n) (a) n! f + ... Funkcja Pochodna Funkcja Pochodna (af )0 = af 0 xn nxn−1 arc sin x (f + g)0 = f 0 + g 0 ex ex arc cos x (f g)0 = f 0 g + f g 0 ax ax ln a arc tg x √ 1 1−x2 1 − √1−x 2 1 1+x2 (f gh)0 = f 0 gh + f g 0 h + f gh0 ln x 1 x arc ctg x 1 − 1+x 2 sin x cos x sinh x cosh x cos x − sin x cosh x sinh x tg x 1 cos2 x tgh x ctg x − sin12 x ctgh x 1 cosh2 x − sinh12 x 0 f 0 g0 = f g−f g g2 df (g(x)) df dg = dg dx dx f , g, h - funkcje zmiennej x, a - stała Własności całek R R Całki (z dokładnością do stałej) R R af (x) = a f (x)dx (f + g)dx = R R f dx + gdx Podstawianie: u = g(x), du = g 0 (x)dx R R f g(x) g 0 (x)dx = f (u)du Przez części: R R f dg = f g − gdf R f 0 (x) f (x) dx = ln |f (x)| + C Funkcje trygonometryczne sin2 x + cos2 x = 1 xn dx = n+1 ln a sin xdx = − cos x R sinh xdx = cosh x cos xdx = sin x R cosh xdx = sinh x tgh xdx = ln cosh x tg xdx = − ln | cos x| R R ctg xdx = ln | sin x| R ctgh xdx = ln | sinh x| R dx cos2 x = tg x R R dx = − ctg x sin2 x 1 dx x a2 +x2 = a arc tg a R dx = tgh x cosh2 x dx = − ctgh x sinh2 x √ dx = arc sin xa , a2 −x2 √ dx = ar sinh xa a2 +x2 R ar tgh xa , |x| < a dx a2 −x2 = R dx x2 −a2 = − a1 ar ctgh xa , |x| > a 1 a Funkcje hiperboliczne sinh x = ex −e−x cos 2x = cos2 x − sin2 x ar sinh x = ln(x + sin x2 = cos x2 = 2 tg x 1−cos x 2 q 1+cos x 2 2 R R √ dx x2 −a2 a > |x| = ar cosh xa Wektory Iloczyn skalarny 2 ex +e−x cosh x = 1−tg2 x q R R sin 2x = 2 sin x cos x tg 2x = R x e dx = ex R x x a dx = a , n 6= −1 R dx x = ln |x| R R R xn+1 √ ~a • ~b = ax bx + ay by + az bz x2 + 1) √ ar cosh x = ± ln(x + x2 − 1) ~a • ~b = |~a||~b| cos ](~a, ~b) cosh2 x − sinh2 x = 1 ~a × ~b = [ay bz − az by , az bx − ax bz , ax by − ay bx ] Iloczyn wektorowy |~a × ~b| = |~a||~b| sin ](~a, ~b)