1 u + 3

Całka nieoznaczona
1. Oblicz
!
a)
Z
2x − 3x + 5x − 4 dx
d)
Z
1
3
1
− +
du
3
2u
u 1 + u2
f)
Z
3
5
4
+ − √ − 5 · 2x dx
2
sin x x 2 x
5
2
!
!
!
b)
Z
√
√
1
3
−
2
x
+
3
x dx
2
x
e)
Z
2
3
√ −√
+ ex dx
2
5x
1−x
g)
Z
3
3 sin x − 2 cos x + 2 dx
x
e)
3 · 2x − 2 · 3x
dx
5 · 7x
f)
Z
!
√
3
1
3
√ − 5 t2 + √ dt
t2 t
t
!
!
2. Wykonując proste przekształcenia oblicz
√
Z √
3
Z √
y y − y 3 2y
x2 − 2x4 + 1
√
√
a)
dy
dx
b)
x
3y
Z
c)
Z
1 + 5x2
dx
x2 (1 + x2 )
c)
Z
g)
Z
u2 − 1
du
u+1
2
ctg x dx
d)
Z
3x2 + 2
dx
x2 + 1
h)
Z
dx
.
sin x cos2 x
2
3. Stosując metodę podstawiania oblicz
dx
3x + 2
a)
Z
e)
Z
e
dx
f)
Z
i)
Z
tg x dx
j)
m)
Z
x
r)
Z
e2/x
dx
x2
w)
Z
−x
2
√
5
x3
+ 1 dx
tg(5 − 3x) dx
b)
Z
(2x + 6) dx
c)
x
√
dx
2
x −3
g)
Z
xe
dx
h)
Z
Z
sin xecos x dx
k)
Z
ex
dx
3ex + 2
l)
Z
dx
x ln x
n)
Z
√
o)
Z
tg u
du
cos2 u
p)
Z
(arcsin x)2
√
dx
1 − x2
s)
Z
ln3 z
dz
2z
t)
Z
u)
Z
xe−3x dx
z)
Z
x cos(2x2 + 1) dx.
Z
arctg x dx
3x
dx
2 − 5x2
4. Stosując wzór na całkowanie przez części
a)
Z
x
xe dx
ln2 x
√ dx
x
Z
x
i) arctg dx
2
Z
e)
m∗ )
Z
e−2x sin 3x dx
x
dx
2
x +4
Z
6
R
b)
x cos x dx
f)
Z
xarctg x dx
j)
n∗ )
Z
2
3
√
3 − 2 ln x
dx
x
x sin(x2 ) dx
ln x
dx
x
2
uv ′ = uv − u′ v obliczamy
Z
Z
x2
d)
Z
2
x (ln x) dx
sin ln x dx.
R
c)
Z
ln x dx
d)
g)
Z
x ln(x − 1) dx
h) (x2 + 1)e−2x dx
k)
Z
2
ln(1 + x ) dx
Z
∗
l )
Z
2
xex (x2 + 1) dx
5. Oblicz całki z funkcji wymiernych
a)
Z
dx
dx
3x2 + 4
b)
Z
dx
2
x + 4x + 6
c)
Z
2x2
d)
Z
dx
dx
2
x +x
e)
Z
dx
(x + 2)(x − 5)
f)
Z
x2
dx
+ 3x − 10
g)
Z
dx
4
x − x2
h)
Z
x3
dx
x+1
i)
Z
x2
3x + 2
dx
− 3x + 3
j)
Z
dx
2
x + 2x + 3
k)
Z
2x5 + 6x3 + 1
dx
x4 + x2
l)
Z
x4
dx
x2 + 1
m)
Z
dx
4x2 − 12x + 9
n)
Z
dx
x4 + 1
o)
Z
2x2 − 5x + 1
dx
x3 − 2x2 + x
p)
Z
x+5
dx
2
(x + 3)(x − 2)
r)
Z
3x2 + 2x + 1
dx.
(x2 + 5)(x − 1)2
b)
Z
dx
√
2
x + 3x + 1
e)
Z
3x + 2
√
dx
2
x − 5x + 19
h)
Z
√
k)
Z
dx
√
√
3
2
2 x + x
dx
+ 3x + 2
6. Oblicz całki z funkcji niewymiernych
a)
Z
dx
√
2x − x2
d)
Z
x2
√
dx
x2 + 2x + 2
g)
Z
x3 − x + 1
√
dx
x2 + 2x + 2
j)
Z
x2
√
dx
4 + 2x
x2 − 3x + 2 dx
c)
Z
√
6x + 5
dx
6 + x − x2
f)
Z
√
x−5
dx
5 + 4x − x2
i)
Z s
l)
Z
√
c)
Z
dx
sin x + 2 cos2 x
dx
1 + 2 cos2 x
x−3
dx
x+3
√
x
√ dx.
x+ 4x
7. Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych
b)
Z
1 + sin x
dx
1 + cos x
cos5 x
dx
1 + sin2 x
e)
Z
2 + sin x
dx
sin x(1 + cos x)
f)
Z
Z
3 + sin2 x
dx
2 cos2 x − cos4 x
h)
Z
sin4 x cos3 xdx
i)
Z
dx
sin x
Z
2 sin x + 3 cos x
dx
sin2 x cos x + 2 cos3 x
k)
Z
dx
2
sin x cos x
l)
Z
sin5 x
dx.
cos3 x
a)
Z
dx
1 + sin x + cos x
d)
Z
g)
j)
2