pobierz

WYKŁAD 10
3.5. Zastosowania pochodnych: monotoniczność funkcji, ekstrema funkcji,
wklęsłość, wypukłość, styczna do krywej.
Pochodna funkcji zawiera informacje o zachowaniu się tej funkcji, w
szczególności informacje dotyczące monotoniczności.
3A+B106 (Twierdzenie: warunki monotoniczności funkcji). Jeżeli funkcja f jest
różniczkowalna na przedziale (a, b) , to:
106.1. Funkcja f jest niemalejąca (albo nierosnąca) na (a, b) wtedy i tylko
wtedy gdy f '( x)  0 (odpowiednio f '( x)  0 ) dla x  (a, b) .
106.2. Jeżeli f '( x)  0 (albo f '( x)  0 ) dla x  (a, b) to funkcja f jest
rosnąca (odpowiednio malejąca) na (a, b) ;
106.3. Jeżeli f '( x)  0 dla x  (a, b) to funkcja f jest stała na (a, b) .
Dowód wynika z 3A+B101.
Uwaga. Jeżeli f '( x)  0 dla x  (a, b) , przy czym f '( x)  0 tylko dla
skonczonej liczby punktów x  (a, b) , to f jest rosnąca na (a, b)
(przykład: y  f ( x)  x3 , x  (1,1); f '( x)  3x 2 , f '(0)  0 ).
Ćwiczenie (B). Podać warunek konieczny i wystarczający ścisłej
monotoniczności.
3A107 (Definicja: ekstrema funkcji). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0
maksimum (albo minimum) lokalne jeżeli istnieje otoczenie O( x0 , ) takie, że
f ( x)  f ( x0 ) (odpowiednio f ( x)  f ( x0 ) ) dla x  S ( x0 , ) . Jeżeli zamiast
powyższych nierówności słabych spełnione są odpowiednio nierówności mocne
f ( x)  f ( x0 ) (albo f ( x)  f ( x0 ) ), to maksimum (minimum) lokalne nazywamy
właściwym. Maksima i minima nazywamy ekstremami (lokalnymi).
Określonego tu ekstremum (lokalnego) nie należy mylić z ekstremum
absolutnym czyli globalnym, tzn. maksimum (minimum) globalnym, co oznacza
po prostu największą (albo odpowiednio najmniejszą) wartość funkcji w
podanym zbiorze.
Uwaga (B). Funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, jeżeli istnieje
otoczenie tego punktu, w którym przyrost f funkcji nie zmienia znaku.
f(x)
a min max
max
min
b
x0
x
3A+B108 (Twierdzenie Fermata). Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna i ma
ekstremum lokalne w punkcie x0 , to f '( x0 )  0 .
f(x)
0
x
x0
Uwaga. Implikacja odwrotna jest fałszywa (prz.: f ( x)  x3 , x0  0 ).
3A109 (Wniosek: warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeżeli funkcja f ma
ekstremum w punkcie x0 , to f '( x0 )  0 lub nie istnieje (to jest funkcja może
mieć ekstrema lokalne tylko w takich punktach).
3A+B110 (Warunek wystarczający ekstremum). Jeżeli funkcja f ciagla w
otoczeniu O( x0 ) i f '( x)  0 dla x  O( x0 ), x  x0 , oraz f ( x)  0 dla
x  O( x0 ), x  x0 , to w punkcie x0 funkcja f ma własciwe maksimum lokalne.
Jeżeli f '( x)  0 dla x  O( x0 ), x  x0 , i f '( x)  0 dla x  O( x0 ), x  x0 , to w
punkcie x0 funkcja f ma (własciwe) minimum lokalne.
3A+B111 ( II warunek istnienia ekstremum). Jeżeli funkcja f spełnia warunek
f '( x0 )  f ''( x0 )  ...  f ( n1) ( x0 )  0, f ( n ) ( x0 )  0 , to jeżeli
111.1) n jest liczbą parzystą, gdzie n  2 , to
1) dla f ( n ) ( x0 )  0 funkcja f w punkcie x0 ma minimum lokalne (własciwe),
2) dla f ( n ) ( x0 )  0 funkcja f w punkcie x0 ma maksimum lokalne (własciwe);
111.2) n jest liczbą nieparzystą, to funkcja w punkcie x0 nie ma ekstremum
lokalnego.
3A112 (Uwaga). Z twierdzenia Weierstrassa 3A+B81.1 wynika, że funkcja
ciągla na przedziale ograniczonym i domkniętym przyjmuje wartość
najmniejszą i największą, to jest ma ekstrema globalne. Zatem, aby znależć
ekstrema globalne funkcji w przedziale domkniętym i ograniczonym, wystarczy
obliczyć jej wartości w punktach krytycznych (tzn. tych, w których pochodna
funkcji jest równa zeru i w punktach, w których pochodna nie istnieje), zatem w
punktach brzegowych i wybrać z nich wartość największą i najmniejszą.
Przykłady. Znależć
1
4
1
2
1
4
1) wszystkie ekstrema funkcji f ( x)  x 4  x 2  ;
2) wartości najwększą i najmniejszą tej funkcji na przedziale domkniętym
[1,2].
3A+B113 (Definicja: wklęsłość i wypukłość). Funkcja f jest wypukła w
przedziale (a, b) , jesli dla każdych dwóch punktów x1 , x2  (a, b) i dla każdego
t [0,1] zachodzi nierówność f ( x1  t ( x2  x1 ))  f ( x1 )  t ( f ( x2 )  f ( x1 )) .
Oznacza to, że odcinek siecznej wykresu funkcji f łączący punkty
( x1 , f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )) leży nad wykresem. Jeżeli dla
x1 , x2  (a, b)  f ( xt )  f ( x1 )  t ( f ( x2 )  f ( x1 )) , gdzie xt  x1  t ( x2  x1 ),
t [0,1] , to funkcję nazwiemy wklęsłą (odcinek secznej leży pod wykresem
funkcji).
f(x2)
f(x1) + t(f(x2) - f(x1)
f(xt)
f(x1)
0
x1
xt
x2
Dla funkcji różniczkowalnej wypukłość i wklęsłość można opisać przy pomocy
stycznej do wykresu: jeśli styczna leży zawsze 1) pod wykresem, to funkcja jest
wypukła, 2) nad wykresem, to funkcja jest wklęsła. Dla funkcji dwukrotnie
różniczkowalnej mamy
113.1 (Twierdzenie). Jeśli dla każdego x  (a, b) zachodzi warunek f ''( x)  0 , to
funkcja f jest wypukła w tym przedziale (prz.: y  f ( x)  x 2 , x  ).
113.2 (Twierdzenie). Jeśli f ''( x)  0 dla x  (a, b) , to funkcja f jest wklęsła w
tym przedziale.
113.3 (Twierdzenie). Jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna i wypukła (albo
wklęsła) w przedziale (a, b) , to f ''( x)  0 (odpowiednio f ''( x)  0 ) dla
x  (a, b) .
113.4 (Definicja). Jeśli w punkcie x0 funkcja zmienia się z wypuklej we wklęsłą
lub na odwrót, punkt x0 (punkt ( x0 , f ( x0 )) nazywa się punktem przegięcia
funkcji ( wykresu funkcji ) f (przykład: y  x3 , x0  0 ).
3A+B114 (Twierdzenie). Warunki istnienia punktu przegięcia:
114.1) konieczny: jeśli ( x0 , f ( x0 )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji, to
f ''( x0 )  0 lub nie istnieje;
114.2) wystarczający: jeżeli funkcja ciągła f w punkcie x0 ma pochodną
(może niewłaściwą) i istnieje sąsiedztwo S ( x0 ) takie, że f ''( x0 )  0 (albo
f ''( x0 )  0 ) dla x  x0 , x  S ( x0 ) oraz f ''( x)  0 (odpowiednio f ''( x0 )  0 )
dla x  x0 , x  S ( x0 ) (mówimy, że druga pochodna zminia znak w
punkcie x0 ), to ( x0 , f ( x0 )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f.
1 4 1 2 1
1
x  x   f ''( x)  3x 2  1  0  x0  
 punkty
4
2
4
3
1
1
x0  
, x0 
są punktami przegięcia funkcji f.
3
3
Przykład: f ( x) 
3A+B115 (Badanie funkcji). Celem badania przebiegu zmienności danej funkcji
jest podanie jej podstawowych własności i naszkisowanie wykresu. Badanie
obejmuje zwykle następujące czynności:
115.1. Wstępne badanie funkcji:
1) ustalenie dziedziny funkcji;
2) wskazanie podstawowych własności funkcji: parzystość, nieparzystość,
okresowość, miejsca zerowe, ciągłość (szukamy punktów niciągłości i badamy
granice jednostronne w tych punktach) i t.d.;
3) znalezienie asymptot pionowych i ukośnych;
4) obliczenie granic lub wartości funkcji na «krańcach» dziedziny itd.
115.2. Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:
1) wyznaczenie dziedziny pochodnej funkcji i jej obliczenie;
2) wyznaczenie punktów (krytycznych), w których funkcja może mieć ekstrema;
3) ustalenie predziałów monotoniczności funkcji;
4) ustalenie ekstremów funkcji;
5) obliczenie granic lub wartości pochodnej na «krańcach» jej dziedziny.
115.3. Zbadanie drugiej pochodnej funkcji:
1) wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej i jej obliczenie;
2) wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć punkty przegięcia tzn.
punktów w których druga pochodna zeruje się ( f ''( x)  0) lub nie istnije;
3) ustalenie przedziałów wypukłości i wklęsłości;
4) wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji;
5) obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegięcia.
115.4. Sporządzenie wykresu funkcji.
x3  1
Ćwiczenie (A). Zbadać funkcję f ( x)  3
.
x x
3B+C116 (Rozwinięcie Taylora funkcji). Niech funkcja f ma w pewnym
otoczeniu O( x0 ) punktu x0 pochodną rzędu n+1. Wtedy mamy
116.1. Wzór Taylora z resztą Lagrange’a:
f ''( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f ( x )  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )2  ... 
( x  x0 )n  Rn ( x )
n!
2!
f ( n1) (c)
( x  x0 )n1 jest
dla pewnego punktu c między x i x0 , gdzie Rn ( x) 
(n  1)!
resztą Lagrange’a, x  O( x0 ) .
116.2. Jeżeli x0  0 otrzymamy wzór Maclaurina ( c   x ):
f ( n ) (0) n f ( n1) ( x) n1
f ( x)  f (0)  f '(0) x  ... 
x 
x
n!
(n  1)!
 , 0    1.
Mamy zatem
1 n
e x
x
1) f ( x)  e  f ( x)  1  x  ...  x 
x n1 ;
n!
(n  1)!
dla pewnej liczby
2)
1 3
(1)n 2 n1 (1)n1 x 2 n3

f ( x)  sin x  x  x  ... 
x

sin ( x  (2n  3) ) ,
3!
(2n  1)!
(2n  3)!
2
0    1;
1 2
(1)n 2 n
x  R2 n1 ( x) ;
3) f ( x)  cos x  1  x  ... 
2!
(2n)!
1 2
(1)n1 n
4) f ( x)  ln (1  x)  x  x  ... 
x  Rn ( x) ;
2
n
 (  1) 2
 (  1)  ...  (  n  1) n
5) f ( x)  (1  x)  1   x 
x  ... 
x  Rn ( x) .
1 2
n!
3A+B117 (Kąt przecięcia wykresów funkcji). Jeżeli wykresy funkcji f i g mają
punkt wspólny ( x0 , y0 ) i funkcje są różniczkowalne w punkcie x0 , to kątem
przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy kąt ostry  między stycznymi
wystawionymi do wykresów tych funkcji w punkcie ( x0 , y0 ) .
