Podstawy cyfrowej analizy sygnałów

Diagnostyka
i monitoring maszyn
część III
Podstawy cyfrowej
analizy sygnałów
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Układy akwizycji sygnałów pomiarowych
Zadaniem układu akwizycji sygnałów pomiarowych jest
zbieranie sygnałów i przetwarzanie ich na postać cyfrową.
.……………………….…….....
Najczęściej w układach pomiarowych stosuje się przetwarzanie napięcie-cyfra.
Czasami, gdy mierzona wielkość związana jest z czasem (np. pomiar odcinka
czasu, częstotliwości, okresu) stosowane jest przetwarzanie czas-cyfra.
……………………..………….
W strukturze konfiguracyjnej podstawowych układów
przeznaczonych do akwizycji sygnałów pomiarowych
znajdują się przeważanie następujące bloki:
a)
b)
c)
d)
………………………….……..
przełączniki kanałów
bloki formowania wstępnego oraz obróbki i normalizacji sygnału wejściowego
(przeważnie analogowego) (kondycjonowanie sygnału = wzmacniacze, filtry
dolnoprzepustowe)
układy próbkująco-pamietające
przetwornik analogowo-cyfrowy
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Podstawowe konfiguracje układu akwizycji sygnałów pomiarowych:
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
MUX
- przełącznik kanałów
A/A
- układ formujący (zadaniem tego układu jest wstępna obróbka
i normalizacja sygnału wejściowego = kondycjonowanie sygnału
[np.: wzmacniacze, filtry dolnoprzepustowe, itp..]
S&H
- układ próbkująco-pamiętający
A/C
- układ analogowo-cyfrowy (konwersja sygnału na kod cyfrowy)
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
Blok S&H – zasada działania układu próbkująco-pamiętającego
Bloki S&H służą do pobrania próbki napięcia wejściowego i zapamiętania jej na określony czas
Proces próbkowania
(kwantyzacji w dziedzinie
czasu) polega na pobieraniu
jego wartości w wybranych
chwilach czasu, zwykle co
pewien zadany, stały krok
czasowy ∆t.
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
Pobieranie danej próbki sygnału dokonywane jest w
skończonym przedziale czasu ∆ti, zwanym czasem
apertury, a nie dokładnie w czasie ti.
…………………………..…….
W praktyce dążymy do tego, aby funkcja próbkująca
realizowała jak najdokładniej oddziaływanie dystrybucji
delta-Diraca (ma to znaczenie z uwagi na błąd apertury –
zwanego błędem szczeliny).
……………………………..….
W szczególności ważne, aby czas apertury ∆ti był dużo mniejszy od czasu próbkowania ∆t.
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów-
multipleksowanie
W przypadku gdy
próbkowaniu poddanych jest
jednocześnie kilka sygnałów,
konieczne jest
multipleksowanie sygnałów z
podziałem czasu (rys a – z
zastosowaniem układu
próbkująco-pamiętającego)
W przypadku gdy nie zostanie
zastosowany układ próbkująco
pamiętający (rys b), powstaną
tzw. błędy zukosowania.
Spowodowane jest to
opóźnieniem czasowym
występującym pomiędzy
próbkami pobieranymi z
różnych kanałów, chociaż
sama analiza sygnałów
prowadzona jest przy
założeniu, że wszystkie próbki
były pobrane jednocześnie.
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów-
częstotliwość próbkowania ≥ częstotliwość Nyquista
Jeżeli analizowany sygnał należy do pasma częstotliwości
[0, fm], to minimalny czas zapisu Tz, umożliwiający jego odtworzenie z wartości
………………………….……..
Twierdzenie o próbkowaniu:
dyskretnych musi spełniać warunek Tz
≥ 1/(2 fm) {kryterium Rayleigha}.
Z twierdzenie o próbkowaniu wynika zależność pomiędzy
maksymalną częstotliwością występująca w sygnale fm a czasem
próbkowania w postaci 1/(2∆t) ≥ fm.
Jeżeli przyjąć czas próbkowania za znany, to wynikająca z tej
nierówności częstotliwość graniczna fN = 1/(2∆t) nazywana jest
częstotliwością Nyquista. Jest to najwyższa częstotliwość sygnału,
którą można analizować przy zadanym czasie próbkowania ∆t.
Dla składowej o częstotliwości fN na jeden okres przypadają dwie próbki (a dla każdej
częstotliwości poniżej częstotliwości Nyqusta więcej niż dwie próbki). Powoduje to, że
jakościowy przebieg funkcji sinus, to znaczy zmiana znaku w trakcie okresu, zostaje
uwzględniony w dyskretnej postaci sygnału (w granicznym przypadku jako dwa punkty
o wartościach przeciwnego znaku).
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów-
efekt aliasingu – efekt przesuwania składowych o częstotliwościach
powyżej częstotliwości Nyquista w zakres poniżej jej wartości
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
Jeżeli częstotliwość próbkowania fp jest mniejsza od częstotliwości Nyquista, to
ten sam zbiór próbek może opisywać różne przebiegi czasowe. Reprezentacja
sygnału rzeczywistego staje się wówczas niejednoznaczna.
Składowe sygnału o częstotliwości większej niż częstotliwość Nyquista występują
wtedy w jego widmie częstotliwościowym jako składowe o częstotliwości równej
różnicy pomiędzy częstotliwością rzeczywistą i częstotliwością próbkowania.
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów-
efekt aliasingu – (cd)
W celu wyeliminowania wspomnianego wyżej, niekorzystnego efektu aliasingu
(przemieszczania się składowych o wysokich częstotliwościach do niższego zakresu
częstotliwości) stosuje się w praktyce jedną z dwóch następujących metod:
1.
2.
Pierwsza z nich polega na wybraniu tak małego odstępu czasowego pomiędzy
próbkami, aby spełniony był warunek fp =1/∆t ≥ 2fN, tzn. aby odwrotność
tego przedziału czasowego była większa od podwojonej maksymalnej
częstotliwości zawartej w analizowanym sygnale. Oczywiście należy przy tym
pamiętać, ze przyjęcie zbyt małego odstępu czasowego prowadzi do zbędnego
nadmiaru danych nie wnoszących żadnych dodatkowych informacji o przebiegu.
W praktyce przyjmuje się najczęściej jako najwłaściwszą częstotliwość
próbkowania wartość, która jest 2,5 do 4 razy większa od najwyższej częstotliwości
zawartej w badanym sygnale.
Druga metoda eliminacji efektu przesunięcia składowych o wysokich
częstotliwościach do zakresu niskich częstotliwości polega na przepuszczeniu
sygnału
przed jego próbkowaniem przez filtr dolnoprzepustowy
(antyaliasingowy), dzięki czemu usunięte zostają z przebiegu wszystkie składowe
o częstotliwościach leżących powyżej interesującej nas częstotliwości maksymalnej.
Zastosowanie filtru zmniejsza ponadto niekorzystny wpływ na zdyskretyzowane
dane składowych szumowych o wyższych częstotliwościach, które przy braku
filtracji mogłyby być uważane za składowe szumowe należące do rozpatrywanego
pasma częstotliwości.
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów-
dobór czasu próbkowania ∆t ⇔ proces kwantowania
Wpływ czasu próbkowania na
dokładność odtworzenia sygnału.
Drugi etap przekształcania przebiegu
polega na jego kwantowaniu w skali
amplitudy. Proces ten jest podobny do
procesu próbkowania z tym, ze zamiast
równych przedziałów czasowych
przyjmuje się dla przedziału równe
przedziały (skoki) amplitudy.
Błąd kwantowania ∆q wyraża się zależnością:
∆q = xg(t) – x(t)
Istota kwantowania polega na
przyporządkowywaniu kolejnym
próbkom przebiegu określonych
wartości poziomów, zwanych poziomami
kwantowania. Podobnie jak w przebiegu
próbkowania również i w odniesieniu do
kwantowania istnieje tzw. twierdzenie o
kwantowaniu, z którego wynika, że jeżeli
dynamika sygnału wejściowego rozciąga
się na kilka przedziałów to można
wówczas odtworzyć właściwości
statystyczne sygnału.
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
proces kwantowania
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
W procesie kwantowania wartość każdej próbki sygnału
musi być wyrażona za pomocą pewnej liczby cyfr,
najczęściej w systemie dwójkowym (liczby bitów)
przyporządkowanej
określonemu
poziomowi
kwantowania. Ponieważ jednak sygnał analogowy może
przyjmować nieskończoną liczbę poziomów, podczas gdy w
praktyce mamy do dyspozycji określony zbiór poziomów,
tak wiec w wyniku kwantowania otrzymuje się przybliżoną
postać sygnału, obarczoną pewnym błędem kwantowania.
Dokładność tego przybliżenia zależy od liczby poziomów
kwantowania, będących do dyspozycji. Stosowane
najczęściej kwantyzatory, tzn. urządzenia służące do
podziału sygnału wejściowego na ograniczoną liczbę
poziomów dzielą ten sygnał na zakres od 64 do 65536
poziomów, co odpowiada liczbie 6 do 16 bitów.
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
rozdzielczość i zakres przetwornika A/C
Rozdzielczość przetwornika analogowo-cyfrowego jest to liczba stanów wyjściowych
wyrażona w bitach. Czym większa rozdzielczość, tym zakres przetwarzania podzielony jest
na więcej poziomów.
Liczba stanów wyjściowych wynosi 2n, gdzie n jest liczbą bitów. Stosowane w kartach
pomiarowych przetworniki analogowo-cyfrowe posiadają zwykle rozdzielczość od 12 do 16
bitów. Przetwornik 12-bitowy dzieli zakres pomiarowy na 212 = 4096 poziomów (słowa
kodowe od 000000000000 do 111111111111).
Zakres przetwornika określa minimalne i maksymalne napięcie, jakie może być przetworzone.
Karty pomiarowe dają zwykle możliwość wyboru zakresu, np.: -5...+5V (bipolarne), -10..+10V,
0...+10V (unipolarne). Zmianę zakresu wykonuje się przełączając przełączniki lub zwory na
karcie, lub w nowszych typach kart posługując się programem.
Od zakresu i rozdzielczości zależy przedział kwantowania, tzn. różnica między dwoma sąsiednimi
poziomami progowymi. Dla przetwornika 12-bitowego na zakresie 0...+10V lub -5...+5V przedział
kwantowania wynosi 10[V]/ 212 =2,44[mV], a na zakresie 0..5V lub -2,5..+2,5V wynosi 5[V]/ 212
=1,22[mV]. Z zakresu kwantowania wynika błąd kwantowania, którego wartość bezwzględna jest
nie większa niż połowa przedziału kwantowania. Zakres powinien być tak dobrany, by zmiany
mierzonej wielkości nie były większe od zakresu, ale z drugiej strony, ze względu na błąd
kwantowania [powinien być możliwie mały. Wybór zakresu zależy też od tego, czy mierzymy
sygnał unipolarny (np. 0...+5B) czy bipolarny (np. -5...+5V).
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
błędy przetwornika A/C
Błędy przetwornika A/C można podzielić na trzy grupy:
a) błędy przesunięcia zera (odpowiada wartości sygnału na wejściu przy zerowym
sygnale wyjściowym)
b) błędy skalowania (wzmocnienia) (odpowiada nachyleniu charakterystyki
rzeczywistej względem idealnej)
c) błędy nieliniowości (określa się jako maksymalną różnicę między charakterystyką
rzeczywistą i idealną, przy założeniu że błędy przesunięcia i skalowania są równe zero)
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Analiza Fouriera
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
Sygnały pomiarowe analizowane są zwykle w dziedzinie czasu lub w dziedzinie
częstotliwości. W przypadkach, gdy sygnał składa się z wielu składowych o różnych
częstotliwościach, użyteczniejszą jest analiza w dziedzinie częstotliwości.
………………………….……..
.……………………….…….....
Do przejścia z funkcji czasu na funkcję częstotliwości można wykorzystać przekształcenie Fouriera.
Przekształcenie Fouriera opiera się na założeniu, że każdy sygnał w dziedzinie czasu można
przedstawić jako sumę szeregu sygnałów o różnych częstotliwościach (szereg Fouriera):
……………………..………….
∞
1
x(t ) = ⋅ Ao + Σ [ An ⋅ cos(n ⋅ ω o ⋅ t ) + Bn ⋅ cos(n ⋅ ω o ⋅ t )]
2
n =1
…………………….…………..
Innymi słowy - można udowodnić, że:
……………………….……......
dowolny, nieskończenie długi w czasie sygnał można rozłożyć na szereg
nieskończenie długich w czasie sygnałów składowych sinusoidalnych o
określonych amplitudach, częstotliwościach i fazach.
…………………………..…….
Oczywiście można udowodnić odwrotną relację, iż:
……………………………..….
dowolny sygnał można zsyntetyzować ze składowych sinusoidalnych o odpowiednich
amplitudach, częstotliwościach i fazach.
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
Analiza Fouriera (cd)
Zatem transformata Fouriera jest równaniem, które pozwala wyznaczyć wspomniane
parametry dla dowolnego sygnału na podstawie jego przebiegu czasowego.
Klasyczna transformata Fouriera opiera się na przekształceniu całkowym ciągłego sygnału
(analogowego).
Sygnały dyskretne (spróbkowane) przeprowadza się z dziedziny czasu do dziedziny
częstotliwości za pomocą tzw. dyskretnej transformaty Fouriera, w której operacje
całkowania są zastąpione operacjami sumowania.
Współczynniki składowych harmonicznych wyznacza
się dokonując przekształcenia funkcji czasu w funkcję
częstotliwości (transformacja Fouriera) zgodnie z
zależnością:
+∞
X( f ) =
∫ x(t ) ⋅ e
.……………………….…….....
− j 2πft
dt
−∞
gdzie x(t) – analizowany sygnał w reprezentacji czasu; a X(f) – transformata Fouriera sygnału x(t)
W przypadku, gdy wykorzystywane są sygnały
dyskretne, dla ciągu x(kTs) złożonego z N
próbek odległych między sobą o okres
próbkowania Ts, transformata Fouriera ma
postać:
 nf  N −1
X  s  = ∑ x( kTs )dt ⋅ e − j 2πnk / N
 N  k =0
gdzie: n=0,1,2,...N-1; fs=1/Ts
N – całkowita liczba próbek.
………………………….……..
Transformata Fouriera jest zawsze zespolona, stąd
zawiera dwa rodzaje informacji: amplitudę oraz fazę.
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
Transformata Fouriera DFT
Dyskretna transformata Fouriera DFT (Discrete Fourier Transform) transformuje
N punktowy ciąg dyskretny w dziedzinie czasu:
x(kTs ) = x(0), x(Ts ), x(2Ts ),......., x(( N − 1)Ts )
Na N punktowy ciąg dyskretny w dziedzinie częstotliwości:
 nf 
 f  2f 
 ( N − 1) f s 
X  s  = X (0), X  s , X  s ,...., X 

N
 N 
N  N 


………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
W latach sześćdziesiątych pojawił się algorytm szybkiej transformaty Fouriera FFT.
W stosunku do dyskretnej transformaty Fouriera DFT, szybka transformata FFT jest
algorytmem umożliwiającym znaczne zmniejszenie liczby wykonywanych działań
arytmetycznych, a więc skrócenie czasu obliczeń. Realizuje się to poprzez podział
ciągu N próbek na krótsze ciągi, dla których obliczana jest dysktertna transformata.
Liczba próbek, dla których obliczana jest FFT, powinna być potęgą liczby 2. Do
…………………….…………..
dokonania DFT należy wykonać N2 mnożeń, w przypadku FFT tylko NLog2N.
…………………………..…….
……………………….……......
……………………………..….
……………………………..….
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
Okno wycinające
Dla obliczenia transformaty Fouriera konieczne jest ograniczenie długości ciągu x(kTs),
które jest realizowane przez wycinanie. Wycinanie to powoduje zniekształcenie widma, zwane
przenikaniem, ponieważ powoduje przenikanie części mocy z obszarów o oryginalnej
częstotliwości do obszarów sąsiednich.
W przypadku, gdy
próbkowany sygnał jest
okresowy, błąd związany
z przenikaniem zależy od
tego, czy wycięte próbki
zawierają całkowitą
liczbę okresów. Jeżeli
liczba wyciętych okresów
nie jest całkowita, błąd
przenikania powoduje
znaczne złagodzenie
ostrych przejść w
dziedzinie częstotliwości.
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
A – sygnał oryginalny
B – wycięty ciąg próbek
C – sygnał przyjęty w
obliczeniach
D – obliczone widmo
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
Okno wygładzające
Zmniejszenie przenikania widma można uzyskać przez zastosowanie
okna wygładzającego. Znanych jest wiele różnych okien, różniących
się charakterystyką. Wybór okna zależy od konkretnego
zastosowania, np.. Okno prostokątne, nadaje się do przebiegów
nieustalonych, okno Hanninga do sygnałów ciągłych.
Wpływ okna
wygładzającego na postać
widma:
A – sygnał oryginalny
B – wycięty ciąg próbek
C – funkcja okna
D – zmodyfikowany kształt
sygnału
E – widmo obliczone bez okna
wygładzającego
F – prawdziwe widmo
G – widmo obliczone z oknem
wygładzającym
Wybrane aspekty procesu przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów:
……………………………..….
……………………………..….
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….
Filtracja sygnałów
Proces filtracji sygnału związany jest przede wszystkim z procedurą usuwania
zakłóceń. Występujące w rzeczywistych sygnałach zakłócenia można podzielić na dwie
zasadnicze klasy: zakłócenia cykliczne (mające charakter wąskopasmowy) oraz
zakłócenia niecykliczne (o charakterze szerokopasmowym). Usuniecie tego typu
zakłóceń na drodze cyfrowego przetwarzania sygnałów pomiarowych wymaga
zastosowania takiego filtru „cyfrowego”, który wytnie z badanego sygnału składową o
ściśle określonej częstotliwości (np. filtr wąskopasmowy – zakłócenie częstotliwością 50Hz
– wpływ źródła sieciowego zasilania).
Zarówno filtry analogowe, jak i cyfrowe dzieli się ze względu na kształt ich
charakterystyki częstotliwościowej na cztery podstawowe klasy: dolnoprzepustowe;
………………………….……..
.……………………….…….....
……………………..………….
…………………….…………..
górnoprzepustowe, środkowoprzepustowe oraz środkowozaporowe.
Zakres częstotliwości przepuszczanych przez filtr nazywamy jego
pasmem przenoszenia, natomiast zakres częstotliwości blokowanych
przez filtr – jego pasmem zaporowym. W praktycznych realizacjach filtrów
pomiędzy pasmem przenoszenia i pasmem zaporowym znajduje się pasmo przejściowe.
Przy doborze lub w procesie projektowania filtrów dla większości przypadków, dążymy
aby filtry charakteryzowały się jak największym tłumieniem w paśmie zaporowym przy
jednocześnie minimalnej szerokości pasma przejściowego oraz minimalizacji falowania w
paśmie przenoszenia i paśmie zaporowym. Idealny filtr powinien posiadać stałe
wzmocnienie równe 1 w paśmie przenoszenia, stałe wzmocnienie równe 0 w paśmie
zaporowym oraz szerokość pasma przejściowego równa 0 Hz.
……………………….……......
…………………………..…….
……………………………..….
……………………………..….