Właściwości przekształcenia Fouriera - WEMiF

Politechnika Wrocławska
Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki
Przetwarzanie sygnałów – laboratorium
ETD5067L
Ćwiczenie 3.
Właściwości przekształcenia Fouriera
1. Podstawowe właściwości przekształcenia Fouriera
Omówione w ramach niniejszego ćwiczenia właściwości dotyczą m.in. DFT, DTFT i FFT.
Niech w dalszej części instrukcji zapis
X =FT{x }
−i
1
−1
x [n]e
oznacza przekształcenie Fouriera (np. X [m]= N ∑Nn=0
2  mn
N
), natomiast zapis
x =FT −1 {X }
−1
X [m]e
odwrotne przekształcenie Fouriera (np. x [n ]=∑Nm=0
i
2  mn
N
).
W niniejszym ćwiczeniu może być pomocne, że podczas wykonywania ćwiczenia 3. (FFT)
można było zauważyć symetrię wykresów części rzeczywistej i urojonej transformaty Fouriera,
rysowanych dla m∈〈0, N −1〉 . Wykres części rzeczywistej charakteryzował się symetrią osiową
względem prostej m= N2 , natomiast wykres części urojonej – symetrią środkową względem punktu
 m , Im {X }= N2 , 0  .
1.1. Homogeniczność
Przekształcenie Fouriera jest homogeniczne, tzn. k-krotna zmiana amplitudy sygnału
spowoduje k-krotną zmianę amplitudy transformaty:
k X =FT {k x } .
Podobną zależnością charakteryzuje się przekształcenie odwrotne:
k x =FT −1 {k X } .
1.2. Addytywność
Przekształcenie Fouriera jest addytywne, tzn. transformata sumy sygnałów jest równa sumie
transformat tych sygnałów:
1
FT {x 1 x 2 }=FT {x 1 }FT {x 2 } .
Addytywne jest również odwrotne przekształcenie Fouriera:
−1
−1
−1
FT {X 1 X 2 }=FT { X 1}FT { X 2 } .
Homogeniczność i addytywność świadczą o liniowości przekształcenia Fouriera, a można je
udowodnić, korzystając bezpośrednio z definicji, pamiętając przy tym m.in. o tym,
że ∑  kan =k ∑ an dla k =const∈ℂ oraz że ∑ a nbn =∑ an ∑ bn .
1.3. Kompresja i ekspansja sygnału
Kompresja sygnału w jednej dziedzinie powoduje jego ekspansję w drugiej dziedzinie,
np. zwężenie sygnału w dziedzinie czasu („przyspieszenie”) spowoduje poszerzenie widma
częstotliwościowego (wystąpienie większych częstotliwości). Dla k =const∈ℂ możemy zapisać:
FT { x [kn] }=
[ ]
1
m
X
.
k
k
1.4. Właściwości fazowe przekształcenia Fouriera
1.4.1. Wpływ przesunięcia sygnału w dziedzinie czasu na fazę transformaty
Przesunięcie sygnału w czasie nie zmienia amplitudy jego transformaty. Ma natomiast wpływ
na jej fazę – jeśli sygnał zostanie w dziedzinie czasu przesunięty o s próbek, faza transformaty
zmieni się o 2  s f :
x 2 [n]= x 1 [ns ] ⇔  {X 2 }={X 1 }2  s f ,
gdzie
f ∈〈0 ; 0,5〉 jest częstotliwością podaną jako ułamek częstotliwości próbkowania,
tzn. f = Nm (m – numer składowej, N – liczba składowych transformaty).
1.4.2. Rozwinięcie fazy
Kąt fazowy liczby zespolonej jest liczbą z przedziału −;  〉 (albo 〈 0 ; 2   ). Niemniej
przy wykreślaniu fazy transformaty Fouriera przydatne jest często, aby – ze względu na zachowanie
ciągłości wykresu – przeciwdziedzina była zbiorem większym. W tym celu stosuje się rozwijanie
fazy (ang. phase unwrapping), polegające na dodawaniu całkowitych wielokrotności 2 
do obliczonych kątów. Dąży się przy tym do tego, żeby różnica fazy między kolejnymi punktami
transformaty była jak najmniejsza (co zapewnia ciągłość wykresu).
1.5. Przeciek widma
Dla dyskretnego przekształcenia Fouriera dany sygnał x[n] (złożony z N próbek) jest zarówno
w dziedzinie czasu, jak i w dziedzinie częstotliwości sygnałem okresowym o okresie N. Jeśli więc
analizujemy sygnał okresowy o okresie mniejszym niż N, prawidłowe wyniki uzyskamy wówczas,
gdy w badanym fragmencie sygnału ( n∈〈0 , N −1 〉 ) wystąpi całkowita liczba jego okresów. Jeśli
analizowany sygnał rozpocznie się lub będzie zakończony niepełnym okresem, w widmie X[m]
2
wystąpią dodatkowe niezerowe składowe, które nie charakteryzują badanego sygnału, a jedynie
zaburzają interpretację wyników. Zjawisko to nazywamy przeciekiem widma. Nazwa ta związana
jest z „wyciekiem” energii sygnału, określanej przez właściwą składową widma, do innych
składowych.
1.6. Modulacja amplitudowa – mnożenie sygnałów
1.6.1. Splot
Splotem sygnałów nazywamy działanie, którego argumentami są dwa sygnały i które
zdefiniowane jest dla sygnałów ciągłych następującym wzorem:
∞
s t=x 1 t ∗x 2 t =∫ x 1  u x 2 t−ud u .
−∞
Dla sygnałów dyskretnych x1 i x2 operację wyznaczania n-tej próbki splotu zapisać można
następująco:
N 1−1
s [n]= x 1∗x 2[n ]= ∑ x 1 [k ] x 2 [n−k ] .
k =0
Jeżeli liczba próbek sygnału x1 jest równa N1, a sygnał x2 ma N2 próbek, przy czym N1 > N2,
liczba próbek wyniku operacji splotu wynosi N1 + N2 – 1. Przy obliczaniu splotu należy zwrócić
uwagę na to, aby indeksy zmiennych nie wykraczały poza dostępny zakres. W przypadku pracy
z Octave’em oznacza to spełnienie zależności: 1 ≤ n ≤ (N1 + N2 – 1), 1 ≤ k ≤ N1, 1 ≤ n – k ≤ N2.
1.6.2. Mnożenie sygnałów a przekształcenie Fouriera
Transformata splotu sygnałów jest iloczynem transformat tych sygnałów:
FT {x 1∗x 2 }=FT {x 1 }⋅FT {x 2 } ,
natomiast transformata iloczynu sygnałów jest splotem ich transformat:
FT {x 1⋅x 2 }=FT {x 1 }∗FT {x 2 } .
Mnożenie dwóch sygnałów jest wykorzystywane m.in. przy modulacji amplitudowej
oraz filtrowaniu sygnałów. Istotą modulacji amplitudowej jest przeniesienie widma sygnału
w wyższe częstotliwości przez zastosowanie sygnału nośnego xc o pewnej częstotliwości fc dużo
wyższej od maksymalnej częstotliwości fx sygnału niosącego informację x. Operacja mnożenia
sygnałów (splotu transformat) powoduje, że widmo sygnału x zostaje przesunięte w dziedzinie
częstotliwości w stronę prążka częstotliwości nośnej. Powstałe widmo sygnału zmodulowanego
składa się z prążka częstotliwości nośnej fc oraz dwu wstęg bocznych, które to wstęgi są
symetryczne względem prążka fc i mają kształt taki sam jak widmo sygnału niezmodulowanego.
Istotne jest, aby częstotliwość sygnału nośnego była większa niż największa częstotliwość składowa
sygnału informacyjnego.
3
2. Zadania do realizacji
Na zajęciach laboratoryjnych należy rozwiązać 5 podanych poniżej zadań. Za każde zadanie
można otrzymać jeden punkt pod warunkiem, że zostanie ono całkowicie poprawnie zrealizowane.
Warto przypomnieć, że w zadaniach wskazane jest wykorzystywać funkcje napisane podczas
wcześniejszych ćwiczeń.
Zadanie nr 1
W zadaniu pierwszym należy napisać dwie funkcje. Pierwszą postaci:
function [t, xr]=sin_t(tN, c, N)
#definicja ciała funkcji
endfunction
generującą sinusoidę xr o częstotliwości c herców w przedziale czasowym 〈0 , t N 〉 , zadanym
w sekundach i wykorzystującą do jej przedstawienia N próbek. Do wektora t powinny zapisać się
punkty na osi czasu, dla których obliczona została wartość sinusoidy.
Druga funkcja powinna mieć postać:
function [fx]=freq_d(tN, N)
#definicja ciała funkcji
endfunction
i zwracać wektor fx częstotliwości składowych transformaty, jeśli sygnał wejściowy miał długość
tN sekund i po spróbkowaniu ma N próbek.
Zadanie nr 2
W zadaniu drugim należy napisać funkcję następującej postaci:
function [zr, zi]=sig_mul(xr, xi, yr, yi)
#definicja ciała funkcji
endfunction
wykonującą mnożenie dwóch sygnałów zespolonych ( ∀ n∈〈0 , N −1 〉 z [n]= x [n]⋅y [n] ).
4
Zadanie nr 3
Zadanie trzecie polega na napisaniu funkcji następującej:
function [uw_fi]=unwrap_phase(fi)
#definicja ciała funkcji
endfunction
która będzie realizować rozwinięcie fazy.
Zadanie nr 4
W zadaniu czwartym należy napisać funkcję następującej postaci:
function [zr, zi]=sig_conv(xr, xi, yr, yi)
#definicja ciała funkcji
endfunction
która będzie realizować splot sygnałów x[n] i y[n].
Zadanie nr 5
Do dyspozycji jest sygnał dźwiękowy Wroclaw.wav, który można wczytać do Octave’a
za pomocą wbudowanej funkcji wavread(). Częstotliwość próbkowania tego sygnału wynosi 16
kHz. W ramach zadania 5. należy wykonać prawidłową modulację amplitudową z sygnałem
Wroclaw.wav jako sygnałem informacyjnym. Do zaliczenia zadania potrzebne jest wyświetlenie
transformaty Fouriera z prawidłową skalą częstotliwości.
Pytania na kartkówkę
1. Jak wyjaśnisz wspomniane w punkcie 1 symetrie wykresów Re{X[m]} i Im{X[m]}?
2. Napisz funkcję przesuwającą zespolony sygnał x[n] o s próbek.
Przyjmij, że po próbce x[N – 1] kolejną w prawo jest próbka x[0].
3. Zaproponuj algorytm rozwijania fazy i napisz funkcję go realizującą.
4. Ile wynosi częstotliwość próbkowania, jeśli sygnał o N próbkach zawiera dokładnie
k okresów sygnału o częstotliwości f ?
5. Napisz funkcję realizującą splot zespolonych sygnałów x[n] i y[n].
5