próbny egzamin gimnazjalny z nową erą 2016/2017 matematyka

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY
Z NOWĄ ERĄ 2016/2017
MATEMATYKA
ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ
Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
Zadanie 1. (0–1)
Wymaganie ogólne
II. Wykorzystywanie
i interpretowanie
reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe
1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń:
7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania
problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany
jednostek […].
Rozwiązanie
C
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 2. (0–1)
Wymaganie ogólne
II. Wykorzystywanie
i interpretowanie
reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe
2. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń:
1) interpretuje liczby wymierne na osi liczbowej. Oblicza
odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej.
Rozwiązanie
A
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 3. (0–1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Wykorzystanie i tworzenie 5. Procenty. Uczeń:
informacji.
1) przedstawia część pewnej wielkości jako procent lub promil tej
wielkości i od­wrotnie.
Rozwiązanie
B
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 4. (0–1)
Wymaganie ogólne
III. Modelowanie
matematyczne.
Wymaganie szczegółowe
7. Równania. Uczeń:
4) zapisuje związki między nieznanymi wielkościami za pomocą
układu dwóch rów­nań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązanie
C
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
2 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
Zadanie 5. (0–1)
Wymaganie ogólne
II. Wykorzystywanie
i interpretowanie
reprezentacji.
Wymagania szczegółowe
10. Figury płaskie. Uczeń:
8) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach,
równoległobokach, rom­bach i w trapezach.
SZKOŁA PODSTAWOWA
9. Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń:
3) stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta.
Rozwiązanie
PP
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 6. (0–1)
Wymaganie ogólne
II. Wykorzystywanie
i interpretowanie
reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe
8. Wykresy funkcji. Uczeń:
5) oblicza wartości funkcji podanych nieskomplikowanym wzorem
i zaznacza punkty należące do jej wykresu.
Rozwiązanie
D
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 7. (0−1)
Wymaganie ogólne
III. Modelowanie
matematyczne.
Wymagania szczegółowe
6. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:
5) mnoży jednomiany, mnoży sumę algebraiczną przez jednomian
oraz, w nietrud­nych przykładach, mnoży sumy algebraiczne.
10. Figury płaskie. Uczeń:
9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.
Rozwiązanie
A
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
3 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
Zadanie 8. (0−1)
Wymaganie ogólne
V. Rozumowanie
i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe
9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku
prawdopodobieństwa. Uczeń:
4) wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych.
Rozwiązanie
PP
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 9. (0−1)
Wymaganie ogólne
V. Rozumowanie
i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe
10. Figury płaskie. Uczeń:
9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.
Rozwiązanie
B
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 10. (0−1)
Wymaganie ogólne
II. Wykorzystywanie
i interpretowanie
reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe
1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń:
4) zaokrągla rozwinięcia dziesiętne liczb.
Rozwiązanie
D
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
4 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
Zadanie 11. (0−1)
Wymaganie ogólne
II. Wykorzystywanie
i interpretowanie
reprezentacji.
Wymagania szczegółowe
10. Figury płaskie. Uczeń:
1) korzysta ze związków między kątami utworzonymi przez prostą
przecinającą dwie proste równoległe.
SZKOŁA PODSTAWOWA
9. Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń:
3) stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta.
Rozwiązanie
FF
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12. (0−1)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Wykorzystanie i tworzenie SZKOŁA PODSTAWOWA
informacji.
4. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:
1) opisuje część danej całości za pomocą ułamka;
12) porównuje ułamki (zwykłe i dziesiętne).
Rozwiązanie
C
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 13. (0−1)
Wymaganie ogólne
III. Modelowanie
matematyczne.
Wymagania szczegółowe
3. Potęgi. Uczeń:
2) zapisuje w postaci jednej potęgi: iloczyny i ilorazy potęg o takich
samych podstawach, iloczyny i ilorazy potęg o takich samych
wykładnikach oraz potęgę potęgi (przy wy­kładnikach naturalnych).
10. Figury płaskie. Uczeń:
9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.
Rozwiązanie
D
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
5 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
Zadanie 14. (0−1)
Wymaganie ogólne
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.
Wymaganie szczegółowe
8. Wykresy funkcji. Uczeń:
4) odczytuje i interpretuje informacje przedstawione za pomocą
wykresów funkcji (w tym wykresów opisujących zjawiska
występujące w przyrodzie, gospodarce, życiu codziennym).
Rozwiązanie
PP
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 15. (0–1)
Wymaganie szczegółowe
Wymaganie ogólne
III. Modelowanie
matematyczne.
10. Figury płaskie. Uczeń:
9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.
Rozwiązanie
D
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna lub brak odpowiedzi.
Zadanie 16. (0−1)
Wymaganie ogólne
V. Rozumowanie
i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe
9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku
prawdopodobieństwa. Uczeń:
5) analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzut kostką,
rzut monetą, wyciąganie losu) i określa prawdopodobieństwa
najprostszych zdarzeń w tych doświadcze­niach
(prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w rzucie monetą, dwójki
lub szóstki w rzucie kostką, itp.).
Rozwiązanie
FP
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
6 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
Zadanie 17. (0−1)
Wymaganie ogólne
V. Rozumowanie
i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe
10. Figury płaskie. Uczeń:
15) korzysta z własności trójkątów prostokątnych podobnych.
Rozwiązanie
T3
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 18. (0−1)
Wymaganie ogólne
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
Wymaganie szczegółowe
10. Figury płaskie. Uczeń:
6) oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego.
Rozwiązanie
B
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 19. (0–1)
Wymaganie ogólne
II. Wykorzystywanie
i interpretowanie
reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe
10. Figury płaskie. Uczeń:
11) oblicza wymiary wielokąta powiększonego lub pomniejszonego
w danej skali.
Rozwiązanie
B
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 20. (0–1)
Wymaganie ogólne
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
Wymagania szczegółowe
2. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń:
2) wskazuje na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek
typu: x ≥ 3, x < 5,
3) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne.
Rozwiązanie
C
Schemat punktowania
1 p. – poprawna odpowiedź.
0 p. – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
7 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
ZADANIA OTWARTE
Uwagi:
• Za każde inne niż przedstawione poprawne rozwiązanie przyznaje się maksymalną liczbę
punktów.
• Jeśli na jakimkolwiek etapie rozwiązania zadania uczeń popełnił jeden lub więcej błędów
rachunkowych, ale zastosował poprawne metody obliczania, to ocenę rozwiązania obniża się
o 1 punkt.
• W pracy ucznia uprawnionego do dostosowanych kryteriów oceniania dopuszcza się:
1. lustrzane zapisywanie cyfr i liter (np. 6 – 9, ...)
2. gubienie liter, cyfr, nawiasów
3. problemy z zapisywaniem przecinków w liczbach dziesiętnych
4. błędy w zapisie działań pisemnych (dopuszczalne drobne błędy rachunkowe)
5. luki w zapisie obliczeń – obliczenia pamięciowe
6. uproszczony zapis równania i przekształcenie go w pamięci; brak opisu niewiadomych
7. niekończenie wyrazów
8. problemy z zapisywaniem jednostek (np. °C – OC, ...)
9. błędy w przepisywaniu
10. chaotyczny zapis operacji matematycznych
11. niepoprawny zapis indeksów dolnych i górnych (np. x2 – x2, m2 – m2, ...).
Zadanie 21. (0–3)
Wymaganie ogólne
V. Rozumowanie
i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe
1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń:
7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania
problemów w kon­tek­ście praktycznym, w tym do zamiany
jednostek (jednostek pręd­kości, gęstości itp.).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Jeśli przez x oznaczymy liczbę stołów czteroosobowych, a przez y liczbę stołów sześcioosobowych, to
sytuację z zadania przedstawia równanie 4x + 6y = 40.
Jeśli obie strony równania podzielimy przez 2, otrzymamy 2x + 3y = 20.
Zauważamy w tym momencie, że liczba stołów sześcioosobowych musi być parzysta (2x jest
parzyste, więc 3y też musi być liczbą parzystą, a co za tym idzie y – też).
Jeśli są 2 stoły sześcioosobowe (12 miejsc), to musi być 7 stołów czteroosobowych (28 miejsc).
Jeśli są 4 stoły sześcioosobowe (24 miejsca), to muszą być 4 stoły czteroosobowe (16 miejsc).
Jeśli jest 6 stołów sześcioosobowych (36 miejsc), to musi być 1 stół czteroosobowy (4 miejsca).
Osiem stołów sześcioosobowych to 48 miejsc – za dużo.
8 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
II sposób
Metoda prób i błędów:
kupujemy 1 stół sześcioosobowy (6 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 – 6) : 4 – odpada
kupujemy 2 stoły sześcioosobowe (12 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 – 12) : 4 = 7
kupujemy 3 stoły sześcioosobowe (18 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 – 18) : 4 – odpada
kupujemy 4 stoły sześcioosobowe (24 miejsca), liczba stołów czteroosobowych: (40 – 24) : 4 = 4
kupujemy 5 stołów sześcioosobowych (30 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 – 30) : 4
– odpada
kupujemy 6 stołów sześcioosobowych (36 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 – 36) : 4 = 1
kupujemy 7 stołów sześcioosobowych – 42 miejsca – za dużo.
III sposób
Oczywiście można by kupić 10 stołów 4-osobowych, bo 4 ∙ 10 = 40. Ale chcemy mieć również stoły
6-osobowe. Ile stołów 4-osobowych można wymienić na stoły 6-osobowe?
1 stół – nie, 2 – nie, 3 stoły – tak, bo 3 ∙ 4 = 12 i 12 : 6 = 2.
Po wymianie jest 7 stołów 4-osobowych i 2 stoły 6-osobowe (7 ∙ 4 + 2 ∙ 6 = 28 + 12 = 40).
Znów wymieniamy 3 stoły 4-osobowe na 2 stoły 6-osobowe i mamy 4 stoły 4-osobowe i 4 stoły 6-osobowe
(4 ∙ 4 + 4 ∙ 6 = 16 + 24 = 40).
Po kolejnej wymianie będzie 1 stół 4-osobowy i 6 stołów 6-osobowych (1 ∙ 4 + 6 ∙ 6 = 4 + 36 = 40).
Oczywiście więcej wymian nie można już zrobić, czyli nie ma więcej możliwości.
Odpowiedź: Można kupić 2 stoły sześcioosobowe i 7 stołów czteroosobowych albo 4 stoły
sześcioosobowe i 4 stoły czteroosobowe albo 6 stołów sześcioosobowych i 1 stół czteroosobowy.
Schemat punktowania
P6 – 3 punkty – pełne rozwiązanie
podanie wszystkich możliwych rozwiązań
P4 – 2 punkty – zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie
zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne
znalezienie dwóch rozwiązań
P2 – 1 punkt – dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane
znalezienie jednego rozwiązania
LUB
zapisanie poprawnego równania
P0 – 0 punktów – rozwiązanie niestanowiące postępu
brak rozwiązania lub rozwiązanie błędne
9 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
Zadanie 22. (0–2)
Wymaganie ogólne
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
Wymaganie szczegółowe
11. Bryły. Uczeń:
2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego,
ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych
w kontekście praktycznym).
Przykładowe rozwiązania
bryła I bryła II
I sposób
Zauważamy, że pole powierzchni każdej z brył jest równe sumie pól powierzchni dwóch wyjściowych
graniastosłupów pomniejszonej o pola tych ścian lub fragmentów ścian, które zostały ze sobą sklejone.
A zatem pole powierzchni pierwszej bryły to dwa pola powierzchni graniastosłupa pomniejszone
o dwa pola podstawy, a pole powierzchni drugiej bryły to dwa pola powierzchni graniastosłupa
pomniejszone o dwa pola ściany bocznej. Ponieważ dwa pola podstawy są równe polu jednej
ściany bocznej, stąd różnica pól powierzchni otrzymanych brył to pole jednej ściany bocznej
graniastosłupa.
II sposób
Oznaczamy krawędź podstawy graniastosłupa przez x, a krawędź boczną przez 2x.
Zapisujemy pole powierzchni graniastosłupa 2x2 + 4 ∙ 2x2 = 10x2.
Zapisujemy pole powierzchni pierwszej bryły 20x2 – 2x2 = 18x2.
Zapisujemy pole powierzchni drugiej bryły 20x2 – 4x2 = 16x2.
Zapisujemy różnicę pól tych brył 18x2 – 16x2 = 2x2.
Zauważamy, że pole jednej ściany bocznej graniastosłupa jest równe 2x2.
III sposób
Oznaczmy pole podstawy graniastosłupa przez P, a pole ściany bocznej przez 2P.
Wtedy pole powierzchni graniastosłupa to: 2 ∙ P + 4 ∙ 2P = 10P.
Pole powierzchni pierwszej bryły to: 2 ∙ 10P – 2 ∙ P = 18P.
Pole powierzchni drugiej bryły to: 2 ∙ 10P – 2 ∙ 2P = 16P.
Różnica pól tych brył to 2P, czyli tyle, ile jest równe pole ściany bocznej.
Schemat punktowania
P6 – 2 punkty – pełne rozwiązanie
poprawne wykazanie, że różnica pól powierzchni brył jest równa polu jednej ściany bocznej
graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
P2 – 1 punkt – dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane
zauważenie, że pole powierzchni każdej z brył jest równe sumie pól powierzchni dwóch
graniastosłupów pomniejszonej o pola tych ścian lub fragmentów ścian, które zostały ze sobą
sklejone
P0 – 0 punktów – rozwiązanie niestanowiące postępu
rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania
10 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
Zadanie 23. (0–3)
Wymaganie ogólne
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
Wymaganie szczegółowe
10. Figury płaskie. Uczeń:
9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
D
C
21
12
A
B
Zauważamy, że liczba wyrażająca długość boku kwadratu jest dzielnikiem liczb 12 i 21. Ponieważ
musi być ona większa niż 1, więc jest równa 3.
Zatem drugi bok szarego prostokąta jest równy 4, a drugi bok czarnego prostokąta jest równy 7.
Stąd długość odcinka AB jest równa 13, a odcinka BC wynosi 7.
Obliczamy obwód prostokąta ABCD: 2 ∙ 13 + 2 ∙ 7 = 40.
II sposób
Boki wszystkich czworokątów, które powstały po podziale prostokąta ABCD są liczbami naturalnymi
większymi od 1.
Zatem boki prostokąta o polu 21 muszą być równe 3 i 7. Stąd wynika, że kwadraty mają boki równe
3, a prostokąt o polu 12 ma boki 3 i 4.
Stąd wynika, że długość krótszego boku prostokąta ABCD jest równa 3 + 4 = 7, a dłuższego boku:
3 + 3 + 7 = 13. Zatem obwód prostokąta ABCD jest równy 40.
III sposób
Oznaczmy długości boków kwadratów przez a, a długości dłuższych boków prostokątów przez b i c,
tak, jak na rysunku.
D
a
a
c
a
b
C
21
12
B
A
Wiadomo, że a, b i c są liczbami naturalnymi większymi od 1.
Pole jednego z prostokątów jest równe 12, więc a ∙ b = 12. Zatem a może być równe 2, 3, 4 lub 6.
Drugi prostokąt ma pole 21, więc a ∙ c = 21. Stąd wynika, że a może być równe 3 lub 7.
Jedyną liczbą spełniającą oba warunki jest 3, zatem a = 3. Stąd wynika, że b = 4 oraz c = 7.
Obwód prostokąta ABCD jest równy 6a + 2b + 2c = 18 + 8 + 14 = 40.
Odpowiedź: Obwód prostokąta ABCD jest równy 40.
11 z 12
Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą
Matematyka
Schemat punktowania
P6 – 3 punkty – pełne rozwiązanie
obliczenie obwodu prostokąta ABCD (40)
P4 – 2 punkty – zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie
zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera błędy merytoryczne
obliczenie długości wszystkich boków czworokątów składowych prostokąta ABCD (3 i 4 i 7)
P2 – 1 punkt – dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały
pokonane
ustalenie długości boku kwadratu (3)
LUB
ustalenie długości boków prostokąta o polu 21: 3 i 7
P0 – 0 punktów – rozwiązanie niestanowiące postępu
brak rozwiązania lub rozwiązanie błędne
12 z 12