Zadanie 1. Zakład ubezpieczeń na życie planuje

Zadanie 1. Zakład ubezpieczeń na życie planuje

Zadanie 1. Zakład ubezpieczeń na życie planuje zbudowanie portfela ubezpieczeniowego przy następujących założeniach:
Rozwiązanie. Przez Pk będę oznaczał wartość portfela na koniec k-tego roku.
Szukam P0 takie aby spełniał:
P1
P2
P3
P4
P5
P6
...
= P0 (1 + i) − 10000· 250
= P1 (1 + i) − 15000· 250 + 10000· 100
= P2 (1 + i) − 20000· 250 + 25000· 100
= P3 (1 + i) − 25000· 250 + 45000· 100
= P4 (1 + i) − 30000· 250 + 70000· 100
= P4 (1 + i) − 35000· 250 + 100000· 100
Pk ­ 3· 106
Zauważmy, że na koniec szóstego roku zyski z polis są większe niż straty wynikłe
z kosztów akwizycji. Zatem jeśli ma dojść do spadku poniżej 3· 106 to nastąpi
to na koniec piątego roku. Założę więc, że P5 = 3· 106 i wyznaczę P0 :
P5 = 3· 106
P4 = 3333333, 333
P3 = 4841269, 841 P2 = 6991685, 563
P1 = 9277795, 776 P0 = 11216948, 36 ≈ 11220000
Zadanie 2. Kredyt w wysokości 300000 udzielony na okres 20 lat może być
spłacony na da sposoby ratami płatnymi na końcu roku.
Rozwiązanie. Treść zadania jest sformułowana mocno niejasno. Omówię najpierw dokładnie możliwe plany spłaty.
Sposób 1. Spłaty w pierwszym dziesięcioleciu wynoszą R, 11 rata wynosi
R· 0, 9, 12 rata wynosi R· 0, 92 itd.
Sposób 2. Pierwsza spłata jest w wysokości a1 . W pierwszym dziesięcioleciu
k-ta spłata wynosi ak = a1 + (k − 1)· P , gdzie P jest pewną stałą. Ponadto
wiadomo, że a10 = R, zatem a1 = R − 9P .
Z powyższego:
3· 105 = a10| R + v 10
10
X
R0, 9k v k
k=1
3· 105 =
10
X
ak v k + v 10 a10| R
k=1
Z pierwszego równania otrzymuję R ≈ 32475, 21083. Dalej mam:
3· 105 =
10
X
ak v k + v 10 a10| R
k=1
=
10
X
(R − 9P + (k − 1)P )v k + v 10 a10| R
k=1
=P
10
X
(k − 10)v k + (1 + v 10 )a10| R
k=1
1
Co daje
P =
3· 105 − (1 + v 10 )a10| R
10
P
≈ 1240, 7595
(k − 10)v k
k=1
oraz a1 = R − 9P ≈ 21300.
Zadanie 3. Portfel inwestycyjny zwiera następujące rodzaje instrumentów finansowych
Rozwiązanie. Niech d1 , d2 , d3 , d4 oznaczają duration odpowiednich obligacji (w
takiej kolejności jak są wymieniane w treści zadania. Niech ponadto x1 , x2 , x3 , x4
oznaczają udziały w portfelu odpowiednich obligacji, gdzie
xi =
P Vi
P V1 + P V2 + P V 3 + P V 4
dla i = 1, 2, 3, 4
Wówczas:
22 =
4
X
dk xk 24, 27 =
k=1
P V1
P V2
P V4
d1 +
d2 +
d4
P V1 + P V2 + P V 3
P V1 + P V2 + P V3
P V 1 + P V2 + P V3
Korzystając z oznaczeń xi drugą równość mogę zapisać jako:
x1
x2
x4
d1 +
d2 +
d4 ⇔
x1 + x2 + x3
x1 + x2 + x3
x1 + x2 + x3
24, 27(x1 + x2 + x3 ) = x1 d1 + x2 d2 + x4 d4
24, 27 =
Podstawiając powyższe do pierwszej równości:
22 = x3 d3 + 24, 27(x1 + x2 + x3 ) = (∗)
Wyznaczę duration d3 , uwzględniając fakt, że wycena jest dokonywana po stopie
YTM, czyli P V3 = N , gdzie N jest nominałem:
P25
k6%N v k + 25N v 25
d3 = k=1
= (Ia)25| 0, 06 + 25v 25 ≈ 13, 55
N
Mam dalej:
(∗) = 13, 55x3 +24, 27(x1 +x2 +x3 ) = 24, 27(x1 +· · ·+x4 )−10, 72x3 = 24, 27−10, 72x3
Co daje x3 ≈ 21, 1%.
Zadanie 4. Wiedząc, że
an| = aa2n| = b
wskaż, który z poniższych wzorów wyraża (Ia)n| .
Rozwiązanie. Mam, że:
b = a2n|
Z2n
Zn
Z2n
t
t
= v dt = v dt + v t dt = an| + v n an| = (1 + v n )an|
0
0
n
2
Z powyższego:
b
b = (1 + v n )a ⇔
= 1 + exp(−δn) ⇔
a
a
1
a
δn = ln
oraz δ = ln
b−a
n
b−a
Wyznaczę teraz dokładnie δ i n:
a
1 − exp − ln b−a
1 − exp(−δn)
=
a = an| =
1
a
δ
n ln b−a
a
ln b−a
2a − b
n = a2
oraz δ =
2a − b
a2
⇒
Reasumując:
(Ia)n| =
=
an| − nv n
δ
a − a2
a
ln( b−a
) b−a
2a−b
a
2a−b
a2
=
=
=
a − a ln
a
b−a
2a−b
a2
a3 − a3 ln
a
b−a
b−a
2a−b
b−a
2a−b
2a − b
a3 (2a − b) − a3 ln
a
b−a
(b − a)
(2a − b)2
(a3 b − a4 ) ln b−a
− a3 b + 2a4
a
=
2
(2a − b)
Zadanie 5. Zakład ubezpieczeń majątkowych prowadzi działalność od 1 stycznia
2006 roku.
Rozwiązanie.
Zadanie 6. Cena rynkowa P pewnego instrumentu dłużnego spełnia równanie
różniczkowe:
dP
= −10v(Ia)20| − 2000v 21
di
gdzie v jest czynnikiem dyskontującym dla stopy i = YTM. Wyznacz wartość
P tego instrumentu dla i = YTM = 7%, jeżeli dla i = YTM = 5% wynosi ona
162.
3
Rozwiązanie. Całkując stronami równanie różniczkowe otrzymuję:
Z
20
1 X
k
2000
−
di
1+i
(1 + i)k
(1 + i)21
k=1
Z
Z
20
X
1
1
= −10
k
di
−
2000
di
(1 + i)k+1
(1 + i)21
P =
−10
k=1
= −10
20
X
−1
1 −1
1
− 2000
+C
k
k
k (1 + i)
20 (1 + i)20
k=1
= 10
20
X
k=1
1
100
+
+C
k
(1 + i)
(1 + i)20
= 10a20| + 100v 20 + C
Wiedząc, że dla i = 5% cena wynosi 162 otrzymuję, że C ≈ 0 oraz cena dla 7%
wynosi 132.
Zadanie 7. Na rynku finansowym dany jest instrument pochodny typu europejskiego X zapadający za 5 lat od dziś.
Rozwiązanie. Z informacji o cenie obligacji zerokuponowej mam, że dyskonto
5-letnie zależy od zmiennej Y i jest równe exp(−0, 12Y ). Cena instrumentu
pochodnego jest zdyskontowaną funkcja wypłaty zatem:
Cena = EV5 exp(−0, 12Y )
Z
= max(2(2y − 100) − 300, 0) exp(−0, 38y) exp(−0, 12y)
R
Z
=
max(4y − 500, 0) exp(−0, 5y)
1
dy
220 − 60
1
dy
160
R
Z220
1
(4y − 500) exp(−0, 5y)dy
=
160
125
f (y) = 4y − 500
g 0 (y) = exp(−0, 5y) = 0
f (y) = 4
g(y) = −2 exp(−0, 5y)


Z220
1 
220
=
((4y − 500)(−2 exp(−0, 5y))|125 −
4· (−2 exp(−0, 5y))dy
160
125
1
(−760 exp(−110) − 16(exp(−110) − exp(−62, 5)))
=
160
= −4, 85 exp(−110) + 0, 1 exp(−62, 5)
= 0, 1 exp(−62, 5)(1 − 48, 5 exp(−47, 5))
Zadanie 8. Dany jest dyskretny proces Xt , t = 0, 1, 2, 3 opisujący zachowanie
rocznej stopy zmiennoprocentowej.
4
Rozwiązanie.
Zadanie 9. Dwuletnia obligacja korporacyjna o nominale 1000 i kuponie 8%
płatnym rocznie jest wyceniana w momencie emisji na 1018 PLN.
Rozwiązanie. Z informacji o obligacjach rządowych mam, że stopa roczna w
obu przypadkach (jedno bądź dwuletnich obligacji)wynosi 5%, gdyż jeśli cena
zakupu równa się wartości nominalnej to YTM równa się stopie kuponowej.
Obliczę przy jakiej stopie jest wyceniana obligacja korporacyjna:
1018 = 80v + 1080v 2
⇒ v ≈ 0, 9345
v ≈ −1, 0086 odrzucamy ⇒ i ≈ 7%
Stąd narzut na ryzyko wynosi 7% − 5% = 2%.
Zadanie 10. Rozważmy następujący model wyceny obligacji, w którym:
Rozwiązanie. Aby zachować brak arbitrażu portfel składający się z xi obligacji
zapadalnych w i-tym roku, i = 1, 2, 3, 4 nie może dać zysku bez ryzyka. Zatem
w każdym z możliwych scenariuszów nic nie zarobimy. Zatem:

0, 9x1 + 0, 81x2 + 0, 729x3 + 0, 666x4 = 0



x + 0, 87x + 0, 75x + 0, 7x = 0
1
2
3
4

x
+
0,
9x
+
0,
8x
+
0,
75x
=0
1
2
3
4



x1 + 0, 96x2 + 0, 95x3 + xx4 = 0

x1 + 0, 9x2 + 0, 81x3 + 0, 74x4 = 0



x + 0, 87x + 0, 75x + 0, 7x = 0
1
2
3
4

x
+
0,
9x
+
0,
8x
+
0,
75x
1
2
3
4 =0



x1 + 0, 96x2 + 0, 95x3 + xx4 = 0
Odejmując stronami trzecie równanie od pierwszego mam, że x3 = x4 , co daje:


 x1 + 0, 87x2 + 1, 45x3 = 0
x1 + 0, 9x2 + 1, 55x3 = 0


x1 + 0, 96x2 + (0, 95 + x)x3 = 0
Odejmując stronami pierwsze dwa otrzymuję x3 = −0, 3x2 , co daje:
(
x1 + 0, 435x2 = 0
x1 + 0, 96x2 − 0, 3(0, 95 + x)x2 = 0
Z pierwszego otrzymuję x1 = −0, 435x2 , wstawiając do drugiego i skracając x2
otrzymuję x = 0, 8.
5