ostre mini dv
Transkrypt
ostre mini dv
fizyka statystyczna stan makroskopowy układ - skończony obszar przestrzenny (w szczególności izolowany) termodynamika fenomenologiczna teoria kinetyczno-molekularna termodynamika statystyczna p, V, T <v2> n(v) stan makroskopowy wyrównywanie temperatur: czas rzędu l/vs , gdzie vs = 330 m/s (prędkość dźwięku) weźmy: l = 1 m , t = 3 · 10–3 s 91 to jest „długi” czas, zachodzi 10 zderzeń s stan mikroskopowy i = 1, 2, 3, ... N – numeruje cząstki 19 N ≈2. 7⋅10 1 3 cm pełna informacja o układzie: ( x i , yi , z i , v xi , v yi , v zi ) lub ( q xi , q yi , q zi , p xi , p yi , p zi ) przestrzeń fazowa jest 6N wymiarowa ...można przyjąć, że są to wielkości losowe objętość zajmowana przez cząstkę: 10–30 m3 w przestrzeni fazowej objętość komórki (co najwyżej z jedną cząstką): dx dy dz dp x dp y dp z =ℏ 3 −34 ℏ=1.05457×10 J⋅s postulat równego prawdopodobieństwa : w stanie równowagi wszystkie mikrostany są równoprawdopodobne zespół statystyczny zbiór wielkiej liczby układów identycznych hipoteza ergodyczna: uśrednianie po czasie jest równoważne uśrednianiu po zespole statystycznym stan równowagi weźmy układ izolowany o określonych parametrach makro: ∈ (E, E + dE) Q(E) – zespół stanów mikro Ω(E) – liczba tych stanów Jeżeli prawdopodobieństwa znalezienia układu izolowanego w dowolnym mikrostanie spośród Q(E) są jednakowe to układ znajduje się w równowadze (statystycznej). Jeżeli nie, to z upływem czasu układ będzie dążył do stanu, w którym wszystkie dozwolone stany będą równoprawdopodobne. Czyli układ dąży do stanu równowagi. zespół mikrokanoniczny jeżeli wszystkie dozwolone stany z E = const są jednakowo prawdopodobne to: przykład: zespół mikrokanoniczny wielkość y przyjmuje wartość yj w j – tym mikrostanie Ωj P ( y j )= Ω liczba stanów mających y = yj liczba wszystkich dozwolonych stanów N N 1 〈 y 〉=∑ P ( y j ) y j = ∑ Ω j y j Ω j =1 j =1 oddziaływanie termiczne ' '' E= E + E =const ̄ '0+ E ̄ '0' = E ̄'+E ̄'' E ̄ '0− E ̄ '= E ̄ ''−E ̄ '0' E ̄ ' =−Δ E ̄ ' ' …=Q ΔE przy oddziaływaniu termicznym nie zmieniają się wartości poziomów energii tylko prawdopodobieństwa obsadzeń ogólne oddziaływanie ̄ =∑ P i E i E i w procesie infinitezymalnym: ̄ =∑ ( P i dE i + E i dP i ) dE i =∑ E i dP i +∑ P i dE i i czyli: dU =δQ−δW i entropia statystyczna E´ + E´´ = E zakładamy, że układy są w równowadze termodynamicznej liczba stanów w przedziale (E´, E´ + dE´) jest: Ω´(E´) liczba stanów w przedziale (E´´, E´´ + dE´´) jest: Ω´´(E´´) Jakie jest prawdopodobieństwo, że energia układu z lewej jest w przedziale (E´, E´ + dE´) ? ' ( ) Ω E ' P ( E )= Ω Ω(E´) – liczba stanów pełnego układu z warunkiem Ω – liczba wszystkich stanów pełnego układu Ω(E´) = Ω´(E´) Ω´´(E´´) = Ω´(E´) Ω´´(E – E´) ' P ( E )= 1 ' ' '' ' Ω ( E ) Ω ( E− E ) Ω cd. ' P ( E )= 1 ' ' '' ' Ω ( E ) Ω ( E− E ) Ω Ω P(E´) E´ E´ liczba stanów jest szybko rosnącą funkcją energii → ostre maksimum przykład dla cząstki swobodnej ilość stanów proporcjonalna do powierzchni sfery o promieniu p, czyli p2 2 p 2 P ( p)≈ p , E= ⇒ P ( E )≈ E m dla układu dwóch cząstek o stałej energii E P ( E 1 , E 2 )= P ( E 1 ) P ( E 2 )= P ( E 1 ) P ( E− E 1 )≈ E 1 ( E− E 1 ) gdy mamy wiele cząstek, z których połowa ma energię E1 a druga połowa energię E2 P ( ( N / 2)× E 1 ,( N /2)× E 2 )= P ( E 1) N /2 N /2 P ( E− E 1 ) E 1 ( E− E 1 ) N /2 N /2 ≈ cd. dwa podukłady osiągają równowagę właśnie przy energii odpowiadającej temu maksimum dP =0 ' dE maksimum? ' '' 1 '' ∂Ω ' ' ∂Ω ' dP= Ω d E −Ω d E =0 ' '' Ω ∂E ∂E ( stąd: ) ' '' 1 ∂Ω 1 ∂Ω = ' ' '' '' Ω ∂E Ω ∂E ' ' '' '' ∂ ln Ω ( E ) ∂ ln Ω ( E ) = … =const ' '' ∂E ∂E temperatura statystyczna wniosek: istnieje funkcja statystyczna ∂ ln Ω ( E ) ∂E która osiąga jednakową wartość dla układów w równowadze ∂ ln Ω ( E ) 1 = ∂E kT oznaczmy: def S = k ln Ω k - stała Boltzmanna entropia statystyczna – logarytmiczna miara liczby dozwolonych stanów – miara nieuporządkowania ∂S T= ∂E −1 ( ) przykład dτ =dx dy dz ilość dozwolonych stanów jednej cząstki: V1 Ω ≈ dτ (1) 1 ilość dozwolonych stanów N cząstek: V1 Ω1=Ω Ω ⋯Ω ≈ dτ (1) 1 ( 2) 1 (N) 1 Ω2 =Ω21 Ω22 ⋯Ω2N ( ) ( ) ( ) N ( ) V ≈( ) dτ N V1 2 V2 w równowadze mikrostany są równoprawdopodobne prawdopodobieństwo, że gaz pozostanie w objętości V1 : Ω V P= 1 = 1 Ω2 V 2 ( ) N N ≈10 24 P << 1 przyrost entropii Ω2 ΔS =S 2 −S 1 =k ln Ω2 −k ln Ω1 =k ln Ω1 k= R NA – stała Boltzmanna Ω2 V2 ΔS =k ln =νR ln Ω1 V1 ogólnie: termodynamika fenomenologiczna… ̄ δQ= Δ E ̄ δQ << E ̄ +δQ ) =ln Ω ( E ̄ ) + ∂ ln Ω δQ+⋯ ln Ω ( E ̄ ∂E ̄ +δQ ) −ln Ω ( E ̄ ) = δQ ln Ω ( E kT dS = δQ T paradoks Gibbsa - przypomnienie identyczny gaz z lewej i z prawej V 1V 2 V 1 V 2 ΔS =ν1 R ln ν 2 R ln V1 V2 ν 1=ν 2 =ν V 1=V 2 =V } ΔS =2νR ln 2 0 izotermicznie !? paradoks Gibbsa – entropia statystyczna mechanika kwantowa: cząstki są nierozróżnialne – liczbę stanów należy podzielić przez liczbę kombinacji! V N 1 Ω≈ ⋅ τi N! ( ) dla naczyń rozdzielonych i połączonych: N N ΩR =Ω1⋅Ω2≈ ( V ) ( V ) ⋅ 1 1 ⋅ N! N! 1 2N ΩP ≈ ( 2V ) ⋅ (2N)! a entropia? S R≈ N ln V + N ln V −2( N ln N − N ) =2 N ln V −2 N ln N +2 N S P≈2 N ln 2 V −(2 N ln 2 N −2 N ) =2 N ln V +2 N ln 2−(2 N ln N +2 N ln 2−2 N ) =2 N ln V +2 N ln 2−2 N ln N −2 N ln 2+2 N =2 N ln V −2 N ln N +2 N =S R zgadza się ! układ ogólniejszy ' '' ' E + E = E=const '' V +V =V =const ' ' ' ' '' '' '' Ω=Ω ( E ,V ) Ω ( E ,V ) '' ln Ω=ln Ω +ln Ω addytywność ' S=S +S '' w stanie równowagi entropia osiąga maksimum ' S=S ( E , V ) '' dS =d S +d S =0 ' '' ' '' ∂S ∂S ∂S ∂S ' '' ' '' dS = d E + d E + d V + d V =0 ' '' ' '' ∂E ∂E ∂V ∂V ale ' d E =−d E '' ' d V =−d V '' ∂ S' ∂ S' ' ∂ S ' ∂ S' ' ' ' dS = − d E + − d V =0 ' '' ' '' ∂E ∂E ∂V ∂V ( ) ( ) warunki równowagi ' ale '' ' '' ∂S ∂S = ' '' ∂E ∂E ∂S ∂S = ' '' ∂ V ∂V ∂S 1 = ∂E T T =T ' statystyczna definicja ciśnienia: jest ona adekwatna: dE =TdS − pdV czyli : i: ' p=p '' '' warunek równowagi termicznej ∂ ln Ω p = ∂V kT ∂S ∂S dE + dV ∂E ∂V 1 p dS = dE + dV T T dS = ∂S p = ∂V T drugi warunek równowagi (mechanicznej) rozkład kanoniczny dwa układy: ' E= E + E '' przy ' E << E '' jakie jest prawdopodobieństwo, że mały układ ma energię E´i ? P i ~ Ω' ' ( E− E 'i ) ' '' Ei ∂ ln Ω ' '' ln Ω ( E− E )≈ln Ω ( E ) − E i =ln Ω ( E ) − '' kT ∂E −E i '' ' '' Ω ( E−E i )=Ω ( E ) exp kT −E i P i =C exp rozkład kanoniczny kT −E i ∑ Pi =C ∑ exp kT =1 i i −1 −E i C = ∑ exp suma statystyczna kT i '' ' i ( '' ) cd. średnia w zespole kanonicznym: ̄y =∑ P i y i =C i ∑ i y i exp −E i kT ogólna postać rozkładu kanonicznego; P ( E )=C Ω ( E ) exp −E i kT w gazie w gazie doskonałym w stanie równowagi cząstkę gazu można traktować jako mały układ i zastosować rozkład kanoniczny Ei= Ei ( x , y , z , px , p y , pz ) P i =C exp −E ( ⃗r , ⃗p ) kT dP=C exp −E dx dy dz dp x dp y dp z kT ∫ dP=1 cd. energia cząstki w gazie doskonałym: 2 2 2 m v +v +v ( mv x y z) E ( x , y , z , v x , v y , v z )= = 2 2 2 2 −mv dP ( x , y , z , v x , v y , v z ) =C exp dτ dv x dv y dv z 2 kT jest to prawdopodobieństwo, że współrzędne: ∈( ⃗r , ⃗r +d ⃗r ) a prędkości: ∈( ⃗v , ⃗v +d ⃗v ) cząstki poruszają się niezależnie więc zespół statystyczny rozkład Maxwella prędkości dP= dN N dN – liczba cząstek w dτ z prędkościami w ( ⃗v ,⃗v +d ⃗v ) 2 −mv n ( ⃗v ) dv x dv y dv z =C exp dv x dv y dv z 2 kT rozkład Maxwella prędkości pytanie: vz n ( v ) =n (∣⃗v∣)=? ⃗v 2 −mv n ( v ) dv=Cv exp dv 2 kT 2 vy vx objętość: 4πv2dv rozkład n(v) −mv n ( v ) =Cv exp 2 kT 2 2 m C =4π 2π kT ( 0 v prędkość najbardziej prawdopodobna: 3 2 dn ( v ) mv −mv =C 2v− exp =0 dv kT 2 kT ( ) v p= √ 2 kT m √ 〈 v 2 〉= √ 3 kT m ) 3 2 weryfikacja Hg Kolumna B Kolumna C x n(v) F(Vx), F(V) 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0 v 0.0005 0 0 200 400 600 800 prę ver-01