Data wydruku: 31.01.2017 03:09 Strona 1 z 3 Nazwa przedmiotu

Nazwa przedmiotu
METODY NUMERYCZNE
Kod przedmiotu
F:09014W0
Jednostka
Katedra Analizy Nieliniowej i Statystyki
Kierunek
Matematyka
Profil kształcenia
Rok studiów
3
Typ przedmiotu
Obowiąkowy
Semestr studiów
5
Poziom studiów
I stopnia - licencjackie
ECTS
6.0
Wykładowcy
dr hab. Zbigniew Bartoszewski (Osoba opowiedzialna za przedmiot)
Prowadzący:
dr hab. Zbigniew Bartoszewski
dr inż. Anna Szafrańska
Efekty kształcenia
Odniesienie do efektów
kierunkowych
Sposób realizacji
na uczelni
Wymagania
wstępne i
dodatkowe
Zdany egzaminy z
Efekt kształcenia z przedmiotu
Sposób weryfikacji efektu
1. Algebry
2 Analizy matematycznej
Zalecane
komponenty
przedmiotu
1, Znajomość środowiska matlab (scilab) lub
2. Umiejętność programowania w C++ lub Fortran lub Pascal lub Delphi
Data wydruku:
04.03.2017 00:50
Strona
1 z 3
Treść przedmiotu
Wykład:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Arytmetyka komputerowa: (2 godz.)
błąd bezwzględny i względny, reprezentacja zmiennopozycyjna liczb, działania na liczbach
zmiennopozycyjnych, utrata cyfr znaczących
Numeryczna stabilność i numeryczna dokładność algorytmów, działania na wielomianach: (2 godz.)
algorytmy numerycznie stabilne i niestabilne, uwarunkowanie zadania, obliczanie wartości wielomianów
o stałych współczynnikach, algorytmy obliczania współczynników sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
dwóch wielomianów
Aproksymacja funkcji: (2 godz.)
interpolacja wielomianowa, wielomian interpolacyjny Lagrange'a, wielomian interpolacyjny Newtona,
błąd interpolacji wielomianowej, ilorazy różnicowe i ich własności
Aproksymacja funkcji (kontynuacja): (2 godz.)
wielomiany Czebyszewa, optymalne węzły interpolacji, zbieżność wielomianów interpolacyjnych,
interpolacja Hermite'a i jej błąd
Rozwiązywanie równań nieliniowych: (2 godz.)
metoda bisekcji i analiza jej błędu, metoda Newtona dla równania skalarnego i jej zbieżność
Rozwiązywanie równań nieliniowych (kontynuacja): (2 godz.)
metoda Newtona dla układu równań, metoda siecznych i analiza jej błędu, rząd zbieżności metody
Rozwiązywanie równań nieliniowych (kontynuacja): (2 godz.)
punkty stałe i metody iteracyjne, obliczanie pierwiastków wielomianów, metoda Bairstowa
Rozwiązywanie liniowych układów równań - metody bezpośrednie: (2 godz.)
rozwiązywanie układów z macierzami trójkątnymi, rozkłady LU (Doolittle’a, Crouta, Cholesky’ego),
eliminacja Gaussa z wyborem elementów głównych
Rozwiązywanie liniowych układów równań - metody bezpośrednie (kontynuacja): (2 godz.)
znaczenie elementów głównych, skalowany wybór wierszy głównych, koszt obliczeń, macierze
dominujące przekątniowo, układy z macierzami trójprzekątniowymi
Rozwiązywanie liniowych układów równań - metody iteracyjne: (2 godz.)
wskaźnik uwarunkowania macierzy, metody Jacobiego, Gaussa-Seidela, Richardsona i SOR, zbieżność
metod iteracyjnych
Wyznaczanie wartości własnych: (2 godz.)
metoda potęgowa i odwrotna metoda potęgowa, metoda QR
Różniczkowanie numeryczne: (2 godz.)
wykorzystanie wzoru Taylora do aproksymacji pochodnych, zastosowanie interpolacji wielomianowej,
ekstrapolacja Richardsona
Całkowanie numeryczne: (2 godz.)
kwadratury Newtona-Cotesa – wzory proste i złożone trapezów i Simpsona i analiza ich błędów, zmiana
przedziału całkowania
Całkowanie numeryczne (kontynuacja): (2 godz.)
kwadratury Czebyszewa, kwadratury Gaussa, zbieżność i błąd kwadratur Gaussa
Całkowanie numeryczne (kontynuacja): (2 godz.)
wielomiany Bernoulliego, wzór Eulera-Maclaurina, metoda Romberga i jej zbieżność
Ćwiczenia:
1. Podczas ćwiczeń studenci będą wykonywać krótkię zadania bezpośrednio związane z tematyką wykładu
(w zakresie i kolejności jak wyżej podano dla wykładu) pozwalające lepiej zrozumieć aspekty teoretyczne
omawianych metod.
2. Niektóre z algorytmów numerycznych (dla których można użyć przykładów z niewielką ilością obliczeń)
będą realizowane przy tablicy dla lepszego ich zrozumienia i opanowania.
3. Przeprowadzone zostaną 2 kolokwia (po 45 minut) na 7-mej (lub 8-mej) i 13-tej (lub 14-tej) godzinie
ćwiczeń.
Laboratorium:
Podczas zajęć laboratoryjnych studenci będą przeprowadzać eksperymenty numeryczne a następnie pisać i
prezentować testowe programy poświęcone następującym zagadnieniom:
1.
2.
Data wydruku:
Wpływ reprezentacji zmiennopozycyjnej liczb na wyniki końcowe obliczeń, ilustracja utraty cyfr
znaczących przy wykonywaniu niektórych działań arytmetycznych, błędy w wynikach końcowych dla
prostych algorytmów stabilnych i niestabilnych (2 godz.)
Implementacja algorytmów obliczania wartości wielomianów o stałych współczynnikach (rzeczywistych i
zespolonych), algorytmów obliczania współczynników sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu dwóch
wielomianów, konstrukcja wielomianów interpolacyjnych (2 godz.)
04.03.2017 00:50
Strona
2 z 3
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Zalecana lista
lektur
Badanie wpływu rozmieszczenia węzłów interpolacji na dokładność otrzymanego przybliżenia,
konstrukcja wielomianów interpolacyjnych Hermite’a i porównanie błędów tej aproksymacji z błędami
interpolacji z węzłami jednokrotnymi (2 godz.)
Rozwiązywanie równań nieliniowych (skalarnych) metodą bisekcji, Newtona i siecznych, porównanie ich
kosztu względem uzyskanej dokładności (2 godz.)
Rozwiązywanie równań nieliniowych i nieliniowych układów równań metodami punktu stałego i
metodami iteracji (2 godz.)
Obliczanie pierwiastków wielomianów metodą Bairstowa i metodą deflacji (2 godz.)
Prezentacja działania programów testowych zadanych studentom do napisania i zawierających
implementacje metod i algorytmów wymienionych w punktach 2.−6. (4 godz.)
Rozwiązywanie liniowych układów równań z wykorzystaniem rozkładu LU Doolittle’a, Crouta i
Cholesky’ego, porównanie metody eliminacji Gaussa z wyborem i bez wyboru elementów głównych (2
godz.)
Rozwiązywanie liniowych układów równań metodami iteracyjnymi i poprawianie uzyskanego
rozwiązania (2 godz.)
Wyznaczanie wartości własnych metodą potęgową i odwrotną metodą potęgową, numeryczne obliczanie
pochodnych (2 godz.)
Całkowanie numeryczne z wykorzystaniem kwadratur Newtona-Cotesa oraz szacowanie ich błędów,
metoda Romberga (2 godz.)
Całkowanie numeryczne z użyciem kwadratur Gaussa i szacowanie ich błędów (2 godz.)
Prezentacja działania programów testowych zadanych studentom do napisania i zawierających
implementacje metod i algorytmów wymienionych w punktach 9.−12. (4 godz.)
Literatura podstawowa
1.
2.
3.
4.
D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT 2006.
J. Jankowska, M. Jankowski, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, cz. I., PWN 1982.
M. Dryja, J. Jankowska, M. Jankowski, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, cz. II. PWN 1982.
Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, WNT 1982 (i nowsze).
Literatura uzupełniająca
1.
2.
Formy zajęć i
metody nauczania
G. Dahlquist, A. Bjork, Metody numeryczne, PWN 1983.
J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do analizy numerycznej, PWN 1987.
Forma zajęć
Liczba godzin zajęć
Suma godzin dydaktycznych w semestrze,
objętych planem studiów
Wykład
Ćwiczenia
Laboratorium
Projekt
Seminarium
30.0
15.0
15.0
0.0
0.0
60
W tym kształcenie na odległość: 0.0
Metody i kryteria
oceniania
Kryteria oceniania: składowe
Egzamin pisemny (2 godz., od 5 do 7 zadań)
Próg zaliczeniowy
Procent oceny
końcowej
50.0
50.0
Zaliczenie laboratorium (napisanie 2 programów i ich
50.0
pozytywna ocena)
Zaliczenie ćwiczeń (80% wyniki kolokwiów+20% aktywność
50.0
na ćwiczeniach)
Przykładowe zagadnienia / Przykładowe zadania / Realizowane zadania
Język wykładowy
25.0
25.0
polski
Praktyki zawodowe Nie dotyczy
Data wydruku:
04.03.2017 00:50
Strona
3 z 3