spis treści

spis treści
i
wstęp
1
wiadomości wstępne
5
§1
5
Zbiory i zdania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7.
Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów 11. Przykłady 13.
§2
Relacje. Odwzorowania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Relacje 15. Relacje równoważności 15. Przykłady 16. Relacje porządkujące 17.
Przykłady 18. Odwzorowania 18. Bijekcje. Odwzorowania odwrotne. Odwzorowanie identycznościowe 20. Przykłady 21. Składanie odwzorowań 23. Przykłady 25. Zbiory równoliczne 25.
§3
Działania, grupa, ciało . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Działania, struktury algebraiczne 25. Grupa 27. Przykłady 28. Podgrupy 30.
Podgrupy niezmiennicze. Grupy ilorazowe 32. Przykłady 33. Homomorfizmy 35.
Grupy izomorficzne 36. Przykłady 37. Ciało 38. Przykłady 40. Funkcje o wartościach w ciele 42. Wielomiany 43. Pierwiastki wielomianu 45. Przykłady 46.
§4
Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Motywacja 52. Ciało liczb zespolonych 52. Pierwiastki wielomianu 53. Płaszczyzna Gaussa 54. Moduł liczby zespolonej. Liczba sprzężona 54. Argument liczby
zespolonej. Reprezentacja trygonometryczna i wykładnicza 56. Pierwiastkowanie liczb zespolonych 57. Wielomian kwadratowy 58. Przykłady 59.
§5
Grupy odwzorowań. Permutacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Grupy symetryczne 63. Grupy automorfizmów grupowych 64. Przykłady 65.
Grupy permutacji 66. Permutacje cykliczne. Transpozycje 67. Inwersje ciągów
liczbowych 69. Znak i parzystość permutacji 70. Przykłady 71.
§6
Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Definicja macierzy 72. Transpozycja i sprzężenie 73. Działania na macierzach 74.
Ślad macierzy 77. Ogólny układ równań liniowych 77. Blokowa postać macierzy 78. Półgrupy macierzy kwadratowych. Ogólne grupy liniowe 79. Przykłady 80.
© Andrzej Herdegen 2005, 2010
vi
spis treści
§7
Wyznaczniki. Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Macierz 2 × 2 82. Wyznaczniki 82. Własności wyznaczników 85. Rozwinięcie Laplace’a 87. Przykłady 89. Macierz odwrotna 93. Wzory Cramera 94.
Przykłady 95. Pfaffian 96. Podgrupy ogólnej grupy liniowej 99. Przykłady 101.
ii przestrzenie wektorowe
§8
105
Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Przestrzeń wektorowa 105. Kombinacja liniowa 107. Modele przestrzeni wektorowych 108. Przykłady 108. Podprzestrzenie. Powłoki liniowe 109. Liniowa
niezależność wektorów 110. Bazy. Wymiar przestrzeni 112. Uzupełnianie do
bazy. Monotoniczność wymiaru 115. Bazy uporządkowane, współrzędne (składowe) wektora w bazie, zmiana bazy 117. Przykłady 118.
§9
Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Istnienie rozwiązań układu równań liniowych 122. Struktura ogólnego rozwiązania. Układ jednorodny 123. Kryterium liniowej niezależności w przestrzeni Km 123. Własności rzędu macierzy 125. Rozwiązania układu równań
liniowych 126. Metoda eliminacji zmiennych (Gaussa) 129. Metoda Gaussa –
wariant z zachowaniem kolejności kolumn 130. Metoda Gaussa – liniowe zależności między wektorami w Km 131. Metoda Gaussa – macierz odwrotna 132.
Przykłady 133.
§10 Odwzorowania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Definicje i konwencje 138. Przykłady 139. Konstrukcja odwzorowania liniowego 140. Obraz i przeciwobraz podprzestrzeni 141. Składanie odwzorowań
liniowych 142. Przykłady 143. Izomorfizmy. Przestrzenie izomorficzne 144.
Izomorfizmy przestrzeni skończenie wymiarowych 144. Izomorfizm V z Kdim V .
Notacja 145. Przestrzeń wektorowa odwzorowań liniowych 146. Izomorfizm
L(V, W ) z Kdim W ×dim V 147. Pokrewieństwo struktur funkcyjnych przestrzeni
L(V, W ) i Kdim W ×dim V 149. Zmiana baz 151. Wyznacznik i ślad operatora 151.
Wielomianowe funkcje operatorów 152. Postać kanoniczna odwzorowania liniowego między różnymi przestrzeniami 153. Przykłady 153. Odwzorowania antyliniowe 159. Przykłady 160.
§11 Grupy operatorowe. Orientacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Grupy operatorowe i ich izomorfizm z grupami macierzowymi 161. Związek
GL(V ) ze zbiorem baz uporządkowanych przestrzeni V 162. Ciągłość i spójność 162. Własności spójności grup GL(V ) 164. Orientacja 166.
§12 Sumy proste przestrzeni i operatorów. Operatory rzutowe . . . . 167
Suma i przecięcie podprzestrzeni 167. Suma prosta podprzestrzeni 168. Przykłady 170. Podprzestrzenie niezmiennicze operatorów 172. Sumy proste operatorów 173. Operatory rzutowe 174. Przykłady 176.
§13 Zagadnienie własne operatora liniowego . . . . . . . . . . . . . . 180
Wartości, podprzestrzenie i wektory własne 180. Zagadnienie własne w przestrzeni skończenie wymiarowej 181. Wielomian charakterystyczny 182. Wyliczenie wektorów własnych 184. Przykłady 186. Komutator 190. Komutujące
operatory diagonalizowalne 191. Funkcje operatorów 192. Przykłady 195.
© Andrzej Herdegen 2005, 2010
spis treści
iii przestrzenie wektorowe z iloczynem skalarnym
vii
201
§14 Iloczyny skalarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Podstawowe definicje 201. Ortogonalne dopełnienie. Jądro metryki 203. Macierz
metryki w bazie 203. Ortogonalne dopełnienie podprzestrzeni 204. Warunki
symetrii 205. Postać kanoniczna formy symplektycznej 206. Przykłady 207.
§15 Przestrzenie ortogonalne i hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . 210
Formy kwadratowe. Normalizacja wektorów 210. Postać kanoniczna formy symetrycznej i hermitowskiej 212. Układy ortonormalne 213. Sprowadzanie formy
kwadratowej do sumy kwadratów 213. Przykłady 215. Ortogonalizacja GramaSchmidta 218. Przykłady 220. Przestrzenie euklidesowe i unitarne 222. Nierówność Schwarza. Kąt w przestrzeni euklidesowej 224. Bazy ortonormalne
w przestrzeniach unitarnych i euklidesowych 225. Przykłady 226. Przestrzeń
Minkowskiego 228.
§16 Odwzorowania liniowe przestrzeni z iloczynem skalarnym . . . . . 231
Izometrie. Przestrzenie izometryczne 231. Operator sprzężony 232. Własności
sprzężenia operatorowego 234. Izometrie wewnętrzne 236. Transformacje Lorentza 237. Operatory samosprzężone. Operatory normalne 238. Ortogonalne
sumy proste i ortogonalne rozkłady jedności 238. Przykłady 240.
§17 Operatory normalne w przestrzeni unitarnej i euklidesowej . . . . 243
Izometria przestrzeni unitarnej (euklidesowej) z przestrzenią Cn (Rn ) z naturalnym iloczynem skalarnym 243. Diagonalizowalność operatorów normalnych
w przestrzeni unitarnej 244. Wyliczenie ortonormalnej bazy własnej operatora normalnego w przestrzeni unitarnej 245. Diagonalizacja operatorów symetrycznych w przestrzeni euklidesowej 246. Przykłady 248. Komutujące operatory 251. Odpowiedniość między operatorami samosprzężonymi i formami
metrycznymi 252. Jednoczesna diagonalizacja dwóch form hermitowskich lub
symetrycznych 253. Przykłady 254. Postać kanoniczna operatora normalnego
w przestrzeni euklidesowej 258. Grupy operatorów unitarnych i ortogonalnych.
Orientacja 261. Postać kanoniczna operatora ortogonalnego w przestrzeni dwulub trójwymiarowej 262. Wyliczenie postaci kanonicznej operatora ortogonalnego 263. Operatory dodatnie. Rozkład polarny 265. Przykłady 266.
iv algebra tensorowa
271
§18 Iloczyn tensorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Proste przykłady iloczynów tensorowych 271. Przestrzeń dualna 272. Przykłady 273. Kanoniczny izomorfizm przestrzeni i jej dwusprzężonej 274. Podprzestrzenie ortogonalne względem dualności 276. Odwzorowania wieloliniowe 277. Przykłady 278. Iloczyn tensorowy: model odwzorowań (form) wieloliniowych 280. Bazy iloczynowe w modelu form wieloliniowych 281. Przykłady 281. Iloczyn tensorowy: ogólna definicja 282. Iloczyn tensorowy: alternatywna definicja i uniwersalność 283. Łączność i przemienność iloczynu przestrzeni wektorowych 286. Przestrzeń dualna do iloczynu przestrzeni 287. Iloczyn
tensorowy odwzorowań liniowych 288. Przykłady 288. Kontrakcja 290. Iloczyn
© Andrzej Herdegen 2005, 2010
viii
spis treści
tensorowy W ⊗ V ∗ jako przestrzeń odwzorowań liniowych. Odwzorowanie transponowane 291. Iloczyn tensorowy przestrzeni unitarnych lub euklidesowych 292.
Przykłady 293.
§19 Tensory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Przestrzenie tensorowe 295. Transformacje współrzędnych (składowych) przy
zmianie bazy. Klasyczna definicja tensora 296. Przykłady 297. Kombinacja liniowa tensorów 299. Iloczyn tensorowy tensorów 299. Kontrakcja tensorów 300.
Permutacja wskaźników tensora 301. Metryka kontrawariantna 303. Podnoszenie i opuszczanie wskaźników tensora 304. Podnoszenie i opuszczanie wskaźników
w bazie ortonormalnej 306. Przykłady 306.
§20 Tensory symetryczne i antysymetryczne . . . . . . . . . . . . . . 309
Własność grupowa operatorów permutacji 309. Symetria i antysymetria tensorów 309. Operatory symetryzacji i antysymetryzacji 310. Dalsze własności
symetryzacji i antysymetryzacji 311. Przykłady 313. p-wektory i p-formy 314.
p-wektory proste
Związek z orientacją 317. Przykłady 318.
V i podprzestrzenie.
V
Przestrzenie n (V ) i n (V ∗ ) 321. Częściowe
V zwężenie
V n-formy ω z n-wektorem ω̂ 322. Odwzorowania dualności między p (V ) i n−p (V ∗ ) 324. Dualność
p-wektorów i (n−p)-form prostych 325. Wyróżniona n-forma w przestrzeni rzeczywistej z symetryczną metryką. Związek z orientacją 326. Dualność w przypadku przestrzeni z metryką symetryczną 327. Iloczyn wektorowy w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej 328. Przykłady 330.
v geometria przestrzeni afinicznych
333
§21 Przestrzenie afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Jednorodność. Przestrzeń afiniczna 333. Punkty i wektory 334. Przykłady 335.
Punkt odniesienia, wektory wodzące 335. Podprzestrzenie afiniczne 336. Kombinacje afiniczne. Powłoki afiniczne 337. Afiniczna niezależność punktów 338.
Afiniczne układy odniesienia 339. Przykłady 340. Równania podprzestrzeni
afinicznych 343. Względne położenie podprzestrzeni afinicznych 344. Element
objętości w przestrzeni rzeczywistej 345. p-wymiarowe objętości w podprzestrzeniach p-wymiarowych 347. Przykłady 347. Pola tensorowe 351. Pochodna
pola tensorowego 352. Przykłady 355.
§22 Przestrzeń afiniczna euklidesowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Iloczyn skalarny i odległość 356. Równania afinicznych podprzestrzeni przestrzeni euklidesowej 357. Podprzestrzenie w trójwymiarowej przestrzeni afinicznej euklidesowej 358. Odległość podprzestrzeni w przestrzeni euklidesowej 359.
Objętość w przestrzeni euklidesowej 361. Przykłady 362.
§23 Odwzorowania afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
Podstawowe definicje 364. Kryteria afiniczności odwzorowań 365. Obraz i przeciwobraz podprzestrzeni afinicznej 367. Przykłady 368. Składanie odwzorowań
afinicznych 369. Przestrzenie afinicznie izomorficzne 369. Translacje. Odwzorowania o wspólnej części liniowej 370. Punkty stałe endomorfizmu 371. Rozkład
endomorfizmu względem punktu odniesienia 371. Automorfizmy afiniczne 372.
© Andrzej Herdegen 2005, 2010
spis treści
ix
Działanie endomorfizmu w afinicznym układzie odniesienia. Czynne i bierne
transformacje przestrzeni afinicznej 374. Przykłady 375. Izometrie afiniczne
przestrzeni z iloczynem skalarnym 377. Izometrie wewnętrzne rzeczywistej przestrzeni z niezdegenerowaną metryką symetryczną 377. Kanoniczna postać wewnętrznej izometrii przestrzeni euklidesowej 378. Transformacje pól tensorowych
przy czynnej transformacji przestrzeni afinicznej 380. Przykłady 382. Symetrie
modeli afinicznych 383. Symetrie przestrzeni z iloczynem skalarnym 384. Symetrie modeli tensorowych 386. Symetrie modeli w przestrzeni Minkowskiego 387.
Pseudotensory 389.
391
vi uzupełnienia
§24 Dodatkowe konstrukcje algebraiczne w przestrzeniach
wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Bazy w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych 391. Przestrzeń wektorowa
z zadaną bazą 392. Zewnętrzna suma prosta przestrzeni wektorowych 393. Algebry. Algebra tensorów 394. Struktura zespolona 395. Odwzorowania liniowe
na przestrzeni ze strukturą zespoloną 397. Kompleksyfikacja 399. Przestrzenie
ilorazowe 401. Przykłady 402. Uniwersalny model iloczynu tensorowego 404.
§25 Postać kanoniczna operatora liniowego . . . . . . . . . . . . . . . 405
Rozkład operatora na sumę prostą operatorów o względnie pierwszych wielomianach charakterystycznych 405. Dalszy rozkład operatora na sumę prostą
operatorów z wektorem cyklicznym 408. Bazy Jordana 412. Uogólnienia baz
Jordana 413. Bazy cykliczne 414. Rozkład kanoniczny operatora w przestrzeni
rzeczywistej 414. Uogólnione bazy Jordana w przestrzeni rzeczywistej 415. Przykłady 416.
§26 Formy bi-afiniczne. Kwadryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
Formy bi-afiniczne 420. Klasyfikacja symetrycznych form bi-afinicznych 422.
Postać kanoniczna symetrycznej formy bi-afinicznej na przestrzeni rzeczywistej 424. Algorytm sprowadzenia formy do postaci kanonicznej 426. Kwadryki 428. Przykłady 430.
zadania
433
wskazówki i odpowiedzi
485
literatura
509
indeks
511
© Andrzej Herdegen 2005, 2010