Wykorzystanie całek oznaczonych w geometrii (wzory)
Transkrypt
Wykorzystanie całek oznaczonych w geometrii (wzory)
Wykorzystanie całek oznaczonych w geometrii (wzory) Beata Wysocka 17 marca 2013 1 1.1 Wzory dla funkcji f określonej: y = f (x), x ∈ [a, b]. Pole pod wykresem funkcji. |P | = Zb f (x)dx a Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b]. 1.2 Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OX. |V | = π Zb f 2 (x)dx a Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b]. 1.3 Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OY . |V | = 2π Zb xf (x)dx a Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b], a ≥ 0. 1 1.4 Długość krzywej będącej wykresem funkcji. |L| = Zb q 1 + (f 0 (x))2 dx a Założenia: funkcja f ma ciągłą pochodną na [a, b]. 1.5 Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OX. |S| = 2π Zb q f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx a Założenia: funkcja f jest nieujemna na [a, b] i ma ciągłą pochodną na tym przedziale. 1.6 Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OY . |S| = 2π Zb q x 1 + (f 0 (x))2 dx a Założenia: funkcja f ma ciągłą pochodną na [a, b], a ≥ 0. 2 Wzory dla krzywej w postaci parametrycznej. Krzywa dana jest równaniami parametrycznymi: ( x = x(t) y = y(t) t ∈ [α, β] 2.1 Pole pod krzywą. |P | = Zβ |x0 (t)|y(t)dt α Założenia: funkcje x0 oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna na tym przedziale. 2 2.2 Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX. |V | = π Zβ |x0 (t)|y 2 (t)dt α Założenia: funkcje 2.3 x0 oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna na tym przedziale. Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY . |V | = 2π Zβ x0 (t)x(t)y(t)dt α Założenia: funkcje x, x0 , y są ciągłe i nieujemne na [α, β]. 2.4 Długość krzywej. |L| = Zβ q (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt α Założenia: funkcje x0 oraz y 0 są ciągłe na [α, β] 2.5 Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX. |S| = 2π Zβ q y(t) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt α Założenia: funkcje 2.6 y0, x0 oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna. Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY . |S| = 2π Zβ q x(t) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt α Założenia: funkcje x, x0 , y 0 są ciągłe i nieujemne na [α, β]. 3 3 Wzory dla krzywej określonej współrzędnymi biegunowymi. Krzywa dana jest równaniem biegunowym: r = g(ϕ) ϕ ∈ [α, β] 3.1 Pole obszaru ograniczonego krzywą. 1 |S| = 2 Zβ g 2 (ϕ)dϕ α Założenia: g jest funkcją ciągłą na [α, β]. 3.2 Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX. |V | = π Zβ (g 0 (ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ)g 2 (ϕ)sin2 ϕdϕ α Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β]. 3.3 Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY . |V | = 2π Zβ (g 0 (ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ)g 2 (ϕ)sinϕcosϕdϕ α Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β]. 3.4 Długość krzywej. |L| = Zβ q g 2 (ϕ) + (g 0 (ϕ))2 dϕ α Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β]. 4 3.5 Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX. |S| = 2π Zβ q g(ϕ)sinϕ g 2 (ϕ) + (g 0 (ϕ))2 dϕ α Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β]. 3.6 Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY . |S| = 2π Zβ q g(ϕ)cosϕ g 2 (ϕ) + (g 0 (ϕ))2 dϕ α Założenia: g i g 0 są ciągłe na [α, β]. 4 Wyprowadzanie wzorów Wzory dla krzywych w postaci parametrycznej oraz biegunowej można wyprowadzić na podstawie wzorów dla postaci y = f (x). 4.1 Algorytm dla postaci parametrycznej. Mamy funkcję postaci y = f (x). Podstawiamy x = t, z tego mamy y = f (t). Otrzymujemy funkcję w postaci parametrycznej : ( x = x(t) = t y = y(t) = f (t) Ponadto należy zauważyć, że: x0 (t)dt = dx oraz y 0 (t)dt = f 0 (x)dx . Znając te równości można do wzorów dla funkcji y = f (x) podstawić: • x(t) w miejsce x, • x0 (t)dt w miejsce dx, • y(t) w miejsce f (x), • y 0 (t) x0 (t) w miejsce f 0 (x). 5 4.2 Algorytm dla postaci biegunowej. Możemy skorzystać z faktu: ( x = rcosϕ = g(ϕ)cosϕ y = rsinϕ = g(ϕ)sinϕ Otrzymaliśmy postać parametryczną. Możemy więc skorzystać z poprzednich własności zamieniając: • g(ϕ)cosϕ z x(t), • g(ϕ)sinϕ z y(t), • dϕ z dt, • (g 0 (ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ) z x0 (t), • (g 0 (ϕ)sinϕ + g(ϕ)cosϕ) z y 0 (t). 6