Geometria rózniczkowa krzywych

Ani213 Tekst 7-3
Geometria rózniczkowa
krzywych - wzory
r(t) — wektor wodza̧cy punktu na krzywej dla parametru t,
r(t) = (x(t), y(t)) lub (x(t), y(t), z(t).
Rt
s(t) := t0 kr0 (u)k2 du dÃlugość krzywej od punktu odpowiadaja̧cego
wartości parametru t0 do wartości t - parametr naturalny.
t jest parametrem naturalnym ⇔ kr0 (t)k2 ≡ 1.
Jednostkowy wektor styczny do krzywej w punkcie r(t):
→
−
T (t) :=
r0 (t)
= r0 (s).
0
kr (t)k2
Jednostkowy wektor normalny do krzywej w punkcie r(t):
−
→0
−
→
T (t)
r00 (s)
.
N (t) := −
=
→0
00 (s)k
kr
2
k T (t)k2
Wektor binormalny (jednostkowy) do krzywej w punkcie r(t):
−
→
−
→
−
→
B (t) := T (t) × N (t) =
r0 (t) × r00 (t)
r0 (s) × r00 (s)
=
.
kr0 (t) × r00 (t)k2
kr00 (s)k2
1
−
→
→
Iloczyn wektorowy wektorów −
a i b:
¯−
→
→
¯→
e1 −
e2 −
e3
¯
−
→ ¯
−
→
a × b = ¯ a1 a2 a3
¯ b1 b2 b3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−
→
→
- jest to wektor prostopadÃly do danych o dÃlugości równej k−
a k2 k b k2 sin θ,
−
→
−
→
→
→
gdzie θ to ka̧t miȩdzy wektorem −
a i wektorem b a zwrot −
a×b
wyznaczony jest reguÃla̧ prawej dÃloni.
Wzór na pÃlaszczyznȩ dwustyczna̧ (ściśle styczna̧, bistyczna̧)
do krzywej w punkcie r(t0 ):
¯
¯
¯ x − x(t0 ) x0 (t0 ) x00 (t0 ) ¯
¯
¯
¯ y − y(t0 ) y 0 (t0 ) y 00 (t0 ) ¯ = 0.
¯
¯
¯ z − z(t0 ) z 0 (t0 ) z 00 (t0 ) ¯
Wzór na pÃlaszczyznȩ normalna̧ do krzywej w punkcie r(t0 ):
h(x, y, z) − r(t0 ), r0 (t0 )i = 0
lub
(x − x(t0 ))x0 (t0 ) + (y − y(t0 ))y 0 (t0 ) + (z − z(t0 ))z 0 (t0 ) = 0.
Promień krzywizny krzywej w punkcie r(t):
kr0 (t)k32
1
R(t) := √
= 00
,
kr (s)k2
A2 + B 2 + C 2
gdzie
¯ 0
¯ y (t) z 0 (t)
A := ¯¯ 00
y (t) z 00 (t)
¯
¯
¯,
¯
¯ 0
¯ z (t) x0 (t)
B := ¯¯ 00
z (t) x00 (t)
2
¯
¯
¯,
¯
¯ 0
¯ x (t) y 0 (t)
C := ¯¯ 00
x (t) y 00 (t)
¯
¯
¯.
¯
Krzywizna krzywej w punkcie r(t) czyli odwrotność promienia
krzywizny:
√
−
→
−
→0
k T 0 (t)k2
A2 + B 2 + C 2
00
κ := 1/R(t) =
=
=
kr
(s)k
=
k
T (s)k2 .
2
kr0 (t)k2
kr0 (t)k32
Skrȩcenie (druga krzywizna, torsja) krzywej w punkcie r(t):
¯ 0
¯ ¯
¯ x (t) y 0 (t) z 0 (t) ¯ ¯ x0 (s) y 0 (s) z 0 (s)
¯ 00
¯ ¯
¯ x (t) y 00 (t) z 00 (t) ¯ ¯ x00 (s) y 00 (s) z 00 (s)
¯
¯ ¯
000
000
000
¯
¯ ¯ x000 (s) y 000 (s) z 000 (s)
x
(t)
y
(t)
z
(t)
−
→0
τ (t) := k B (s)k2 =
=
A2 + B 2 + C 2
kr00 (s)k22
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.