Kategoria młodsza - trzecia seria

ETAP INTERNETOWY
Edycja 2014/15, seria 3.
Kategoria młodsza – rozwiązania
Zadanie 1. Borsuk Romek kupił prostopadłościenną kostkę sera o wymiarach 112mm
× 97mm × 53mm. Romek zawsze kroi plasterki o grubości 1mm. Jaka jest najmniejsza
liczba plasterków, którą musi ukroić Romek, by jego ser uzyskał kształt sześcianu?
Odpowiedź. 103.
Rozwiązanie. Najkrótsza krawędź wyjściowego prostopadłościanu ma długość 53mm, więc
największy sześcian (a zatem taki, do którego otrzymania potrzebne jest najmniej cięć),
jaki może uzyskać Romek ma krawędzie właśnie takiej długości.
Każde ukrojenie plasterka powoduje zmniejszenie długości krawędzi prostopadłych do
płaszczyzny cięcia o 1mm. Krawędzie długości 112mm muszą zostać skrócone o 112 − 53 =
59mm, a krawędzie długości 97mm — o 97 − 53 = 44mm. Najmniejsza liczba plasterków,
którą musi ukroić Romek, by jego ser uzyskał kształt sześcianu wynosi więc 59 + 44 = 103.
Zadanie 2. Borsuk Tymek zakupił pewną ilość jabłek pakowanych w siatki zawierające
po 3 kg owoców, płacąc za każdą siatkę 10 trąbek. Następnie sprzedał wszystkie zakupione
jabłka w cenie 9 trąbek za worek, ale każdy z worków zawierał tylko 2,35 kg owoców. Ile
kilogramów jabłek kupił Tymek, jeśli ze sprzedaży wszystkich jabłek zyskał (po odjęciu
kosztu zakupu) 1260 trąbek?
Odpowiedź. 2538.
Rozwiązanie. Niech x oznacza liczbę siatek, które kupił Tymek, a y — liczbę worków,
które sprzedał. Z treści zadania wiemy, że Tymek kupił 3x kilogramów jabłek za 10x trąbek, a potem sprzedał 2, 35y kilogramów jabłek za łączną kwotę 9y trąbek. Otrzymujemy
następujący układ równań
(
3x = 2, 35y
,
9y − 10x = 1260
gdyż Tymek sprzedał wszystkie zakupione jabłka oraz jego zysk wyniósł 1260 trąbek.
3
300
60
Z pierwszego równania wynika, że y =
x =
x =
x. Wstawiając otrzymaną
2, 35
235
47
60
wartość do drugiego równania dostajemy 9 · x − 10x = 1260. Stąd
47
9 · 60
540 470
70
1260 =
− 10 x =
−
x=
x,
47
47
47
47
zatem x = 1260 ·
47
= 846. Tymek kupił 3x = 3 · 846 = 2538 kilogramów jabłek.
70
Zadanie 3. Borsuk Grześ wypisał na kartce liczby od 1 do 198, a następnie wykreślił co
drugą cyfrę, począwszy od cyfry 2. Która cyfra została wykreślona najrzadziej?
Odpowiedź. 9.
Rozwiązanie. Podzielmy ciąg cyfr napisany przez Grzesia na bloki i zastanówmy, ile razy
każda z cyfr była wykreślona w każdym z nich.
0
123456789
101112...19
202122...29
303132...39
404142...49
505152...59
606162...69
707172...79
808182...89
909192...99
100101102...109
110111112...119
120121122...129
130131132...139
140141142...149
150151152...159
160161162...169
170171172...179
180181182...189
190191192...198
łącznie
1
2
1
3
4
1
5
6
1
7
8
1
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
15
5
10
5
5
5
5
5
5
5
5
65
1
1
6
1
1
1
1
1
1
1
15
5
15
1
1
1
1
6
1
1
1
1
1
15
5
15
1
1
1
1
1
1
6
1
1
1
15
5
15
1
1
1
1
1
1
1
1
6
1
15
4
14
Widać stąd, że cyfra 9 została wykreślona najmniej razy.
Zadanie 4. Na trójkącie równobocznym o boku długości
10 cm borsuk Tymek opisał okrąg. Następnie w ten sam
trójkąt wpisał okrąg. Borsuk Romek narysował obok kwadrat i na tym kwadracie opisał okrąg, a potem podobnie
jak Tymek wpisał w ten kwadrat okrąg. U obu borsuków
powstały pierścienie kołowe, które miały to samo pole powierzchni. Ile centymetrów miał bok kwadratu Romka?
Odpowiedź. 10.
Rozwiązanie. Rozważmy trochę ogólniejszą sytuację
przedstawioną na rysunku, tzn. niech a będzie promieniem większego koła, b promieniem mniejszego koła, a c
cięciwą dużego koła styczną do małego koła. Z twierdzenia
c 2
c2
Pitagorasa wynika, że b2 +
= a2 , czyli a2 − b2 = .
2
4
Pole pierścienia jest różnicą pól dużego koła i małego koła,
πc2
czyli wynosi πa2 − πb2 = π(a2 − b2 ) =
.
4
Wróćmy do zadania. Oznaczmy bok kwadratu przez x.
Na mocy udowodnionego faktu wiemy, że pole pierścienia
π(10cm)2
Tymka wynosi
= 25πcm2 , a pole pierścienia
4
πx2
Romka wynosi
. Skoro oba pierścienie mają to samo
4
pole, to
πx2
25πcm2 =
,
4
czyli x2 = 100cm2 , czyli x = 10cm.
a
b
c
2
Zadanie 5. Borsuk Romek robi kanapki! Chce, aby każda kanapka miała co najmniej
3 składniki, wszystkie różne. Na ile sposobów może wybrać składniki do swojej kanapki
mając do dyspozycji: szynkę, ser, pomidor, ogórek i jajko?
Odpowiedź. 16.
Rozwiązanie. Romek może:
— wybrać wszystkie składniki
— wybrać wszystkie składniki poza jednym
— wybrać wszystkie składniki poza dwoma.
Wybranie wszystkich składników daje jeden sposób.
Niewybranie dokładnie jednego składnika możliwe jest na pięć sposobów, bo jest pięć
składników.
Niewybranie dokładnie dwóch składników jest możliwe na dziesięć sposobów — szynka i
ser, szynka i pomidor, szynka i ogórek, szynka i jajko, ser i pomidor, ser i ogórek, ser i
jajko, pomidor i ogórek, pomidor i jajko, ogórek i jajko.
Łączna liczba sposobów wybrania składników wynosi 1 + 5 + 10 = 16.