Emergencja w diagramach

[poprawiony 19.V.2008]
Copyright © 2007 by Zenon Kulpa
Emergencja w diagramach,
czyli co prawie z niczego
Zachowanie si obiektu jako cało ci pojawi si emergentnie
jako skutek współdziałania jego cz ci.1
(Ryszard Dawkins: lepy zegarmistrz, 1986)
Zjawisko zwane emergencj wyst puje w wielu dziedzinach i kontekstach, cho nie zawsze
pod t sam nazw . Ogólnie obja nia si ten termin mówi c, e cało nie jest tylko sum
swoich cz ci – w cało ci pojawiaj si zwykle nowe własno ci i zjawiska, które nie wyst puj w jej składnikach. Nie ma w tym nic szczególnie dziwnego – funkcjonowanie cało ci wynika nie tylko z funkcjonowania ka dej jej cz ci z osobna, ale równie z wzajemnych relacji
i oddziaływa tych cz ci ze sob . Dzi ki temu mo liwe jest budowanie z prostych „cegiełek”
układów o znacznie bogatszym zachowaniu i funkcjonowaniu ni ich cz ci składowe.
We m przykład zwykłej wody. Ma ona pewien charakterystyczny zestaw własno ci, który
okre lamy potocznie mówi c, e woda jest „mokra”. Natomiast jej składniki – wodór i tlen –
„mokre” nie s . Sk d si zatem wzi ła „mokro ” wody? Otó atomy wodoru i tlenu w cz steczce wody oddziałuj ze sob w ten sposób, e nast puje cz ciowe rozsuni cie ładunków
elektrycznych w cz steczce – jeden jej koniec ma przewag ładunku dodatniego, drugi –
ujemnego. W rezultacie powstaje co , co fizycy nazywaj dipolem elektrycznym. Dzi ki tym
naładowanym ko com cz steczki wody mog w specjalny sposób oddziaływa ze sob i z
cz steczkami innych substancji, w sposób, który nazwali my wła nie cech „mokro ci”. W
cz steczkach wodoru i tlenu ładunek jest rozło ony równomiernie, nie s wi c one dipolami i
w konsekwencji s „suche”.
Takie „pojawianie si znik d” nowych własno ci lub obiektów ma tak e istotne znaczenie w
diagramowej reprezentacji informacji i we wnioskowaniu diagramowym. Emergencja umo liwia uzyskanie istotnie wi kszej efektywno ci tego typu reprezentacji, gdy pozwala niejako
„za darmo” przedstawia dodatkow informacj (zob. przykład reprezentacji dodatkowej informacji o cz ciach ciała zwierz cia w jednym z poprzednich odcinków2) lub w podobny
sposób uzyska rezultat wnioskowania. Z tego powodu okre la si czasem ten rodzaj emergencji terminem „darmowy przejazd” (ang. free-ride3). Niektórzy autorzy uwa aj to zjawisko za cech charakterystyczn reprezentacji diagramowych,4 co nie jest całkiem słuszne, bo
wyst puje ono tak e w niektórych innych reprezentacjach. Wyró nia si ró ne rodzaje emergencji i pokrewnych jej efektów.
Poka my działanie najprostszego rodzaju emergencji najpierw na banalnym przykładzie. Załó my, e otrzymali my dwie informacje:
Płotek stoi przy cie ce.
Wlazł kotek na płotek.
Je li narysujemy t sytuacj , to z uzyskanego diagramu mo emy
natychmiast odczyta wniosek:
Kotek jest nad cie k .
Sama konstrukcja diagramu spowodowała wi c pojawienie si na
nim informacji stanowi cej wniosek, który daje si bezpo rednio odczyta z diagramu bez
103
dodatkowych kosztów (zob. dyskusj etapów wnioskowania diagramowego w jednym z poprzednich odcinków5).
Bardziej „powa n ” ilustracj tego zjawiska, cho w gruncie rzeczy bardzo podobn do przykładu z kotkiem, jest klasyczny przykład rozumowania za pomoc tzw. sylogizmu.6 Mówi c
w uproszczeniu, z dwu przesłanek, okre laj cych pewne relacje mi dzy poj ciem M i poj ciem P oraz mi dzy poj ciem S i poj ciem M, wyprowadza si konieczny i niezawodny wniosek o tym, jaka relacja zachodzi mi dzy poj ciem S a poj ciem P. W zale no ci od rodzaju
obiektów i relacji, jakie tu mog wyst pi , mamy wiele rodzajów sylogizmów. Jako przykład
sylogizmu rozwa my rozumowanie:7
1) adne czworonogi nie s ptakami.
2) Wszystkie koty s czworonogami.
Zatem:
3) adne koty nie s ptakami.
To rozumowanie nale y do jednego ze schematów sylogizmów o postaci:
1) adne M nie s P. [MeP]
2) Wszystkie S s M. [SaM]
Zatem:
3) adne S nie s P. [SeP]
W terminologii sylogistyki ten schemat zaliczany jest do tzw. pierwszej figury sylogizmu i
nosi nazw trybu Celarent. Sylogistyka kataloguje wszystkie mo liwe schematy tego typu i
okre la, które z nich przedstawiaj poprawne rozumowania (podstawowych figur jest 19).
Stanowiła ona od staro ytno ci do pocz tków XX w. zasadniczy trzon nauczania logiki w
Europie.
W wieku XVIII powstała diagramowa reprezentacja pozwalaj c przedstawia rozumowania
sylogistyczne, zwana kołami Eulera.8 W tej reprezentacji zbiory obiektów wyst puj ce w
sylogizmie oznacza si kołami z odpowiedni etykiet , a relacje zawierania si i przecinania
tych kół odpowiadaj czterem relacjom, które mog wyst powa w zdaniach sylogizmu, w
nast puj cy sposób, okre lony przez Eulera:
⊆
∩ =∅
∩ ≠∅
≠∅
Zauwa my istotny szczegół tej reprezentacji – dwa przecinaj ce si koła interpretowane s na
dwa ró ne sposoby, w zale no ci od poło enia etykiety S oznaczaj cej jeden ze zbiorów. W
pierwszym przypadku (relacja SiP) zwracamy uwag na cz
wspóln zbiorów S i P, za w
drugim przypadku (relacja SoP) na t cz
zbioru S, która nie nale y do zbioru P. Z tego te
wzgl du w kołach Eulera etykiety zbiorów umieszcza si zawsze wewn trz kół. Wła ciwe
stosowanie tych etykiet jest warunkiem prawidłowego u ycia i interpretacji kół Eulera (o
czym cz sto si zapomina w popularnych pracach).
104
Aby wykona rozumowanie sylogistyczne za pomoc kół Eulera, nale y na jednym diagramie
przedstawi obie przesłanki danego sylogizmu w taki sposób, by koła odpowiadaj ce wspólnemu poj ciu M si pokryły. Nast pnie nale y odczyta z diagramu, która z relacji przedstawionych na rysunku powy ej wi e poj cia S i P, by uzyska logiczn konkluzj rozumowania. Oto ta procedura dla naszego przykładu w skrócie:
Jak wida , sama konstrukcja diagramu przedstawiaj cego przesłanki sylogizmu powoduje
pojawienie si na nim zapisu wniosku, który daje si bezpo rednio odczyta .
Emergencja w wi kszym lub mniejszym stopniu wyst puje w prawie ka dym wnioskowaniu
diagramowym. We my na przykład diagramowy dowód twierdzenia Pitagorasa z jednego z
poprzednich odcinków.9 Jednym z jego etapów jest transformacja diagramu, pokazanego poni ej na pierwszym rysunku z lewej, przez przesuwanie trzech trójk tów wewn trz kwadratu.
Po przesuni ciu ich do odpowiednich naro ników kwadratu w jego centrum pojawia si w
wyniku emergencji mniejszy kwadrat o boku c, a wi c o polu c2. Przy konstrukcji pierwszego
kwadratu po lewej równie zreszt wyst puje emergencja (czego tutaj nie pokazujemy). Jest
to przykład drugiego rodzaju emergencji, w którym pojawia si cały nowy obiekt wizualny, a
nie tylko nowa relacja mi dzy narysowanymi obiektami.
Emergencja mo e si przejawia w sposób bardzo spektakularny,
prowadz c do powstania obrazów wieloznacznych lub ró nego typu
złudze wizualnych. Pierwszy przykład to waza Rubina,10 w której
kontur czarnej wazy przedstawia jednocze nie kontury dwóch białych twarzy widzianych z profilu. Tutaj figura i tło wzajemnie wymieniaj si miejscami. Zauwa my bowiem, e nie udaje si jednocze nie zobaczy obu figur – wazy i dwóch profili. Gdy pojawia si
waza, dwa białe profile staj si drugorz dnym, bezkształtnym tłem.
Gdy jednak zwrócimy baczniejsz uwag na owo tło, zamienia si ono emergentnie w figur
– dwa białe profile na bezkształtnym czarnym tle, którym stała si tak dobrze przed chwil
widoczna waza. Na drugim rysunku przedstawiono tzw. trójk t Kanizsy.11 Tutaj w wyniku
emergencji pojawia si biały trójk t w rodku, sugerowany przez prosty układ czarnych plam.
Działanie tej sugestii jest tutaj tak silne, e wyra nie widzimy, e trójk t jest bielszy od tła
105
kartki papieru! Rozpoznanie trójk ta najwyra niej zmusza nasz system percepcji wizualnej do „uzasadnienia” tego rozpoznania, przez
dostarczenie elementów definiuj cych ow figur , mianowicie brakuj cych odcinków konturu, do czego potrzeba jest (nieistniej ca w
rzeczywisto ci) ró nica jasno ci postrzeganej figury w stosunku do
tła. St d ten efekt nazywany jest tak e złudnymi konturami.
Je li jeste my przy złudzeniach wizualnych, czas ostrzec czytelnika,
e emergencja, sk din d bardzo po yteczna w wielu wypadkach,
mo e czasami prowadzi do istotnych bł dów w diagramowych przedstawieniach informacji i
przy wnioskowaniu diagramowym. Pewien przedsmak tej mo liwo ci daje omówiony wy ej
trójk t Kanizsy, narzucaj cy obserwatorowi nieistniej c ró nic jasno ci mi dzy trójk tem a
tłem. W reprezentacjach diagramowych bł d tzw. fałszywej emergencji wyst puje najcz ciej,
gdy reprezentacja nie jest w pełni na ladowcza, np. własno ci relacji graficznej u ytej w j zyku wizualnym nie odpowiadaj własno ciom relacji, któr ma ona reprezentowa . Przykład
pojawił si ju w jednym z poprzednich odcinków.12 Powtórzmy go dla przypomnienia –
we my dwa proste fakty:13
Francja graniczy z Niemcami.
Niemcy granicz z Polsk .
Spróbujmy je przedstawi za pomoc j zyka wizualnego opisanego z lewej strony rysunku:
Przedstawiaj c te fakty za pomoc proponowanego j zyka wizualnego, uzyskamy diagram w
rodkowej cz ci rysunku. Zawiera on jednak niechciany i w dodatku fałszywy fakt emergentny „Francja graniczy z Polsk ”, jak pokazuje prawa cz
rysunku. Przyczyn kłopotów
jest tutaj oczywista niezgodno własno ci relacji graficznej zawierania si figur w stosunku
do relacji graniczenia krajów, któr to relacj ma modelowa zawieranie si figur. Mamy tu
zatem oczywiste naruszenie na ladowczo ci reprezentacji. Wyj ciem z tej sytuacji jest zmiana
j zyka wizualnego na bardziej odpowiedni do struktury przedstawianych faktów.
Innym ródłem bł du mo e by tzw. niepewna emergencja, wyst puj ca, gdy mamy do czynienia z nieprecyzyjno ci diagramów w poł czeniu z tzw. wnioskowaniem metrycznym (zagadnienia te omówiono w poprzednich odcinkach). Spróbujmy wykona pewn konstrukcj
geometryczn na podstawie jej specyfikacji w j zyku rachunku predykatów:
PUNKT(A), PUNKT(B), PUNKT(C),
nie WSPÓŁLINIOWE(A,B,C),
ODCINEK(a,B,C), ODCINEK(b, A,C),
RÓWNE(a,b), ODCINEK(c,A,B),
PUNKT(D), ODCINEK(d,C,D),
NA(D,c), PROSTOPADŁE(d,c).
106
Narysowawszy rysunek według tej specyfikacji uzyskamy rysunki jak po prawej stronie. Pokazali my dwie wersje ró ni ce si u ytym j zykiem wizualnym. Na pocz tek skupmy si na
lewej wersji. Na tym rysunku, oprócz wyspecyfikowanych na pocz tku elementów (punkty,
odcinki) i ich cech (równo ci, prostopadło ci), pojawia si w wyniku emergencji sporo nowych elementów i ich cech (relacji). Oto ich lista:
1. ABC, ACD, BCD, ∠DAC, ∠BAC, ∠DBC, ∠ABC, ∠ACD, ∠BCD, ∠ADC, ∠BDC;
2. ∠DAC = ∠BAC, ∠DBC = ∠ABC;
3. ∠ADC = ∠BDC = 90º;
4. |AD| = |DB|, ∠ACD = ∠BCD, ∠DAC = ∠DBC, ∠BAC = ∠ABC.
List podzielono na cztery cz ci. W pierwszym wierszu mamy spis nowych elementów
utworzonych przez wyspecyfikowane odcinki – trzy trójk ty i osiem k tów. Zasadniczo nie
mo na mie do niej zastrze e – te elementy na pewno powstan przy tej specyfikacji (cho
gdyby opuszczono warunek „nie WSPÓŁLINIOWE(A,B,C)” i dopuszczono odcinki o zerowej długo ci, specyfikacj spełniałyby tak e rysunki nie zawieraj ce adnego trójk ta). Dwie
relacje równo ci w drugim wierszu te s prawdziwe, gdy k ty s równe po prostu dlatego,
e s takie same (maj te same ramiona), tylko inne punkty na tych ramionach słu do ich
specyfikacji. Co do trzeciej równo ci w kolejnym wierszu ju mo na mie w tpliwo ci, bo
k ty w punkcie D wygl daj na proste, ale tylko wygl daj – mo e rysunek jest niedokładny?
Sytuacj ratuje fakt, e w specyfikacji podano jawnie warunek prostopadło ci odcinków d i c,
z czego wynika bezpo rednio, e oba k ty w punkcie D s proste i co za tym idzie, musz by
tak e równe. Łatwiejsze wyci gni cie tego wniosku zapewnia u ycie nieco bogatszego j zyka
wizualnego, jak w wersji rysunku po prawej, gdzie bezpo rednio na rysunku zaznaczono wyspecyfikowan relacj prostopadło ci odpowiednich odcinków (i równo ci odcinków a i b).
Natomiast relacje wyliczone w czwartym wierszu s ju bardzo niepewne, jako relacje metryczne, które mog nie zachodzi naprawd , mim, e „na oko” wydaj si prawdziwe. W tym
akurat przypadku s one prawdziwe, ale by móc tak z pewno ci twierdzi , nale y tego dowie . Dla tego typu faktów emergencja mo e by niepewna i spowodowa bł d, je li bezkrytycznie i bez oddzielnego sprawdzenia (np. dowodu) przyjmiemy je za prawdziwe. Jeszcze
gorsza sytuacja mo e wyst pi , je li niedokładno ci rysunku doprowadz do powstania emergentnego faktu o charakterze strukturalnym, podobnego rodzaju, jak te z dwu pierwszych
linijek naszej listy, a wi c uwa anego za pewny, który jest mimo to fałszywy. Za przykład
mo e posłu y niemo liwa figura geometryczna u yta w „dowodzie” fałszywego twierdzenia,
e wszystkie trójk ty s równoramienne, któr ju dyskutowali my w poprzednich odcinkach.14 Poka my j jeszcze raz dla przypomnienia. To, e punkt O, w którym przecinaj si
symetralna podstawy XO i dwusieczna k ta wierzchołkowego CO, znajduje si we wn trzu
trójk ta jest cech topologiczn (strukturaln ), a nie metryczn
, a wi c wydaje si , e powinna to by cecha
∠
∠
pewna. Fakt ten jednak powstał tutaj jako konsekwencja
⊥
zało enia, e rysunek spełnia dokładnie specyfikacj
podan w prawym górnym naro niku, mianowicie, e
′
′
faktycznie k ty ∠ACO i ∠BCO, jak i odcinki AX i XB,
s równe. Mimo, e „na oko” wydaje si , e s , nie jest
to prawda – ta emergencja jest wysoce niepewna, a przeoczenie tego faktu prowadzi do powa nego bł du.
107
Emergencja odgrywa bardzo istotn rol w projektowaniu, w tym w projektowaniu graficznym,15 i w ogóle w sztukach wizualnych. Na przykład malarstwo to w gruncie rzeczy czysta
emergencja – malarz nie robi przecie nic innego, jak tylko rzuca na płótno bezkształtne plamy i kreski ró nych kolorów. Dopiero z wzajemnego oddziaływania tych plam na płótnie
powstaj ró ne kształty i przedstawienia przedmiotów na obrazie (czy to przedstawienia
obiektów rzeczywistych, czy abstrakcyjnych). Niektórzy twórcy specjalnie sobie upodobali to
zjawisko, czyni c z niego pierwszoplanowy temat niektórych swoich dzieł. Jako jednego z
pierwszych mo na tu wymieni Giuseppe Arcimboldo,16 maluj cego fantazyjne twarze zbudowane z zestawie ró nych przedmiotów, jak jarzyn, owoców, kwiatów czy naczy kuchennych. Ze współczesnych artystów nale y tu wymieni Salwadora Dali17 i Maurycego Eschera.18 Niektóre obrazy tego pierwszego zawieraj wiele ró nych obiektów powstaj cych z tych
samych elementów, po cz ci podobnie, jak w przypadku „wazy Rubina”, ale bez zamiany
figura-tło. Przykładem mo e by obraz „Twarz Mae West, która mo e by u yta jako pokój”
(olej, 1935).19 Natomiast du a cz
twórczo ci Eschera to mozaiki kształtów, w których jedne figury stanowi tło innych figur, wzajemnie
wymieniaj c si miejscami, jak na fragmencie grafiki poni ej („Circle Limit IV” („Niebo i piekło”),
drzeworyt, 1960).20 [M.C. Escher's “Circle Limit IV” ©
2006 The M.C. Escher Company BV – the Netherlands. All
rights reserved. Used by permission. www.mcescher.com ]
Zenon Kulpa
1
W oryginale: “The behaviour of the body as a whole will then emerge as a consequence of interactions of its
parts”. Tłum. z ang. i wyró nienie: Zenon Kulpa.
2
Zenon Kulpa: Reprezentacje diagramowe, czyli jak mówi obrazkami. Tytuł Roboczy, 2005.09/10 (009).
3
Np. Atsushi Shimojima: Operational constraints in diagrammatic reasoning. In: Gerard Allwein, Jon Barwise,
eds.: Logical Reasoning with Diagrams. Oxford University Press, Oxford 1995, pp. 27-48.
4
Np. Atsushi Shimojima: The graphic-linguistic distinction: Exploring alternatives. In: Alan Blackwell, ed.:
Thinking with Diagrams. Kluwer Academic Publ., Dordrecht 2001, pp. 5-27.
5
Zenon Kulpa: Wnioskowanie diagramowe, czyli jak my le obrazkami. Tytuł Roboczy, 2005.11/12 (010).
6
Wi cej o sylogistyce patrz: Zenon Kulpa: Koła Eulera i diagramy Venna. Tytuł Roboczy, 2006.09/10 (015).
Zasady rozumowania sylogistyki opracował Arystoteles ze Stagiry (384-322 p.n.e.). Wykład sylogistyki zawarty
jest w jego traktacie „Analityki pierwsze” (polskie wydanie w: Arystoteles, Dzieła wszystkie. Tom 1. PWN,
Warszawa 2003, tłum. K. Le niak). Do dokładne omówienie sylogistyki mo na te znale w Internecie pod
adresem: http://prace.sciaga.pl/24966.html
7
Omówione tak e w: Zenon Kulpa: Koła Eulera i diagramy Venna …, op. cit.
108
8
Leonard Euler (1707-1783), sławny matematyk i fizyk szwajcarski, pracuj cy w St. Petersburgu i w Berlinie,
jeden z najwi kszych matematyków w historii. Koła Eulera opisał on w 1761 r. w listach do niemieckiej ksi niczki Anhalt-Dessau, wydanych potem jako: Leonhard Euler: Lettres à une Princesse d'Allemagne, sur divers
sujets de physique et de philosophie. l'Academie Imperiale des Sciences, St. Petersburg 1768-1772 (Tom 2: Listy
nr 102-108).
9
Zenon Kulpa: Wnioskowanie diagramowe …, op. cit.
10
Edgar Rubin (1886-1951), du ski fenomenolog i psycholog. „Waza” była po raz pierwszy opublikowana w:
Edgar Rubin: Synsoplevede Figurer, studier i psykologisk analyse. Gyldendal, Nordisk forlag, København 1915
(tłum. ang.: Edgar Rubin: Figure and ground. In: D.C. Beardslee, M. Wertheimer (eds., trans.): Readings in perception. Van Nostrand, Princeton, NJ 1958, pp. 35-101.)
11
Gaetano Kanizsa (1913-1993), włoski psycholog (psychologia postaci). Rysunek trójk ta opublikował w:
Gaetano Kanizsa: Contours without gradients or cognitive contours. Italian Journal of Psychology, 1 (1974),
pp. 93-112. Zob. te : Gaetano Kanizsa: Subjective contours. Scientific American, 234 (1976), pp. 48-52.
12
Zenon Kulpa: Reprezentacje diagramowe …, op.cit.
13
Pomysł przykładu, z szeregiem zmian, pochodzi z pracy Jock Mackinlay, Michael R. Genesereth: Expressiveness and language choice. Data & Knowledge Engineering, 1 (1985): pp. 17-29.
14
Zenon Kulpa: Bł dy diagramowe, czyli jak nie da si zwie
Kulpa: Wnioskowanie diagramowe …, op. cit.
pozorom. Tytuł roboczy, 2005.02 (006); Zenon
15
W Polsce badania w tej dziedzinie prowadzone s na Uniwersytecie Jagiello skim, zob. np. artykuły: Ewa
Grabska, Adam Borkowski: Assisting creativity by composite representation. In: J.S. Gero, F. Sudweeks, eds.:
Artificial Intelligence in Design '96 (Proc. Fourth International AID Conference, Stanford, CA, June 24-27,
1996), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1996, pp. 743-759; Ewa Grabska: Emergence in graphical design. In: A. Borkowski, ed.: Artificial Intelligence in Structural Engineering: Information Technology for Design, Manufacturing, Maintenance and Monitoring. (Proc. 6th EG-SEA-AI Workshop, Wierzba, Poland, Sept.
18-22, 1999). WNT, Warsaw 1999, pp. 39-50.
16
Giuseppe Arcimboldo (1527-1593), włoski malarz manierysta, pracował w Wiedniu i Pradze na dworach
Habsburgów. Zajmował si równie nauk , organizacj dworskich imprez, teori muzyki, itp. Wi cej szczegółów patrz: http://www.arcimboldo.art.pl/
17
Salwador Dali (1904-1989), sławny hiszpa ski malarz i grafik surrealista, teoretyk sztuki.
18
Maurycy Korneliusz Escher (1898-1972), sławny grafik holenderski.
19
Zestaw innych obrazów Salwadora Dali, wykorzystuj cych tego typu efekty mo na obejrze pod adresem:
http://www.planetperplex.com/en/salvador_dali.html. Omówienie tego nurtu twórczo ci malarza w ksi ce:
Antonio Pinchot, Peter C. Sutton, Eric Zafran (contributors), Dawn Ades (ed.): Dali's Optical Illusions. Yale
University Press, 1999.
20
Jak podaje sam Escher, ten nurt jego twórczo ci zainspirowany został mozaikami Alhambry (pałac dynastii
Nasrydów w Granadzie (Hiszpania), zbudowany przez Maurów za panowania Jusufa I i Mohammeda V w latach
1338-1390, słynny z bogatych ornamentacyjnych mozaik kafelkowych). Omówienie tego nurtu z punktu widzenia matematycznej teorii symetrii w ksi ce Caroline H. MacGillavry: Symmetry Aspects of M.C. Escher's Periodic Drawings, A. Oosthoek's Uitgeversmaatschappij, Utrecht 1965. (2nd ed.: 1976).
109