Analiza wektorowa 2016. Lista 1. 1. Punkt C jest ±rodkiem odcinka

Analiza wektorowa 2016. Lista 1.
C jest ±rodkiem
→
−
znaczy¢ r (C).
1. Punkt
2.
A0 , B 0 , C 0
kaza¢, »e
odcinka
[A, B].
Znaj¡c
→
−
r (A)
oraz
→
−
r (B)
s¡ ±rodkami boków w trójk¡cie o wierzchoªkach A, B, C .
→
−
−
−
−
−
−
r (A) + →
r (B) + →
r (C) = →
r (A0 ) + →
r (B 0 ) + →
r (C 0 ).
wy-
Wy-
3. Wykaza¢, »e ze ±rodkowych trójk¡ta mo»na zbudowa¢ tró jk¡t.
wsk. Z odcinków mo»na zbudowa¢ trójk¡t wtedy i tylko wtedy, gdy
po odpowiednim nadaniu im zwrotu suma otrzymanych w ten sposób
wektorów jest wektorem zerowym.
4. Wykaza¢, »e je±li przek¡tne czworok¡ta dziel¡ si¦ na poªowy, to czworok¡t ten jest równolegªobokiem.
5. Wykaza¢, »e wektory
− →
−
−c − p→
−c , m→
−
n→
b , p−
a − m→
b − n→
a s¡ wspóªpªasz-
czyznowe.
−
−
−
M1 (→
r 1 ), M2 (→
r 2 ), M3 (→
r 3 ),
m1 , m2 , m3 , wiedz¡c »e:
6. Znale¹¢ ±rodek ci¦»ko±ci punktów materialnych
w których zadano odpowiednio masy
1. ±rodek ci¦»ko±ci dwóch punktów materialnych le»y na odcinku ª¡cz¡cym te punkty i dzieli go w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do
mas.
2. Je±li
S1
jest ±rodkiem ci¦»ko±ci ukªadu mas
m1 M1 , m2 M2 , m3 M3
(m1 + m2 )S1 , m3 M3 .
ci¦»ko±¢i ukªadu
ukªadu
−
−
A1 (→
r 1 ), ..., An (→
r n)
m1 M1 , m2 M2 , to ±rodek
jest równy ±rodkowi ci¦»ko±ci
m1 , ...mn . Zakªa→
−
→
−
damy, »e siªa przyci¡gaj¡ca z jak¡ dziaªa punkt Ai ( r i ) na punkt P ( r )
→
−
jest proporcjonalna do masy mi oraz odlegªo±ci od Ai ( ri ). Obliczy¢ si→
−
ª¦ dziaªaj¡c¡ w punkcie P ( r ) ze strony wszystkich punktów, znale¹¢
7. W punktach
rozªo»one s¡ masy
punkt równowagi tzn. punkt, w którym siªa jest równa zero.
8. Wykaza¢ metod¡ ±rodka ci¦»ko±ci, »e ±rodkowe trójk¡ta przecinaj¡ si¦
w jednym punkcie i dziel¡ w stosunku 2:1 (Tw. Archimedesa).
wsk. nie korzysta¢ z tw Cevy, umie±ci¢ w wierzchoªkach trójk¡ta odpowiednie masy
ABC .
9. Dany jest trójk¡t
Na boku
AC
1
|AC|, a na przedªu»eniu boku
3
|AM | =
|CB|. Prosta M N
dzieli ona odcinek
punkt
P
AB
CB
taki punkt
w punkcie
P.
N,
»e
W jakim stosunku
AB ?
ABC . Na boku BC wybieramy
BA punkt M tak, aby
10. Dany jest trójk¡t
AC
przecina bok
M , »e
|BN | =
zadany jest taki punkt
punkt
F,
na boku
a na boku
|BF | : |F C| = 3 : 1,
|AM | : |M B| = 1 : 6,
|CP | : |P A| = 1 : 6.
W jakim stosunku punkt
11. Dany jest równolegªobok
gªoboku. Przez
P
Z
dzieli odcinki
ABCD. Punkt P
i
MP ?
le»y wewn¡trz tego równole-
prowadzimy proste równolegªe do boków tego równo-
legªoboku. Proste te przecina j¡ boki
punktach
AF
AB , BC , CD i DA odpowiednio w
K, L, M, N . Niech Q b¦dzie punktem przeci¦cia ±rodkowych
KLM N a S ±rodkiem równolegªoboku ABCD. Wykaza¢,
na odcinku P S . W jakim stosunku Q dzieli odcinek P S ?
czworoboku
»e
Q
le»y
→
−
−
v jest sum¡ wektorów →
vi , i = 1, ..., n.
2
n
n
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
Σi=1 | vi | + Σi6=j | vi || vj | cos( vi , vj ).
12. Wektor
13. Ci¦ciwy
Wykaza¢, »e
AP B , CP D okr¦gu o ±rodku O przecina j¡
−→ −−→ −→ −−→
−→
P A + P B + P C + P D = 2P O.
−
|→
v |2 =
si¦ pod k¡tem pro-
stym. Wykaza¢, »e
14. Korzysta j¡c z liniowo±ci rzutu wyprowadzi¢ wzór sinusów.
15. Z twierdzenia o rzucie sumy wektorów wyprowadzi¢ wzory trygonometryczne
cos(ϕ) + cos(ϕ +
sin(
wsk. Rozwa»y¢
4π
2(n − 1)π
2π
) + cos(ϕ +
) + ... + cos(ϕ +
) = 0,
n
n
n
2π
4π
2(n − 1)π
) + sin( ) + ... + sin(
) = 0.
n
n
n
n-k¡t
foremny wpisany w okr¡g o promieniu 1.
16. Korzysta j¡c z wªasno±ci iloczynu skalarnego wyprowadzi¢ wzór cosinusów.
OABC rozpi¦ty
→
−
−−→ −→
→
−
a , OB = AC =: b . Wykaza¢, »e
→
−
→
−
→
−
−
−
−
(→
a + b ) · (→
a + b ) = a2 + 2 →
a · b + b2 ;
→
−
→
−
→
−
−
−
−
(→
a − b ) · (→
a − b ) = a2 − 2→
a · b + b2 ;
→
−
→
−
→
−
−
−
−
(→
a + b )2 − (→
a − b )2 = 4→
a · b;
→
−
→
−
−
−
(→
a + b ) · (→
a − b ) = a2 − b 2 .
17. Dany jest równolegªobok
na wektorach
−→ −−→
OA = BC =:
18. Wykaza¢, »e wysoko±ci w tró jk¡cie przecina j¡ si¦ w jednym punkcie.
Znale¹¢ wspóªrz¦dne tego punktu, znaj¡c wspóªrz¦dne wierzchoªków
trójk¡ta.
wsk. zastosowa¢ twierdzenie Cevy
19. Znale¹¢ odlegªo±¢ punktu
M
od pªaszczyzny
→
−
−
r ·→
a = c.
A, B, C s¡ wierzchoªkami tró jk¡ta, P punktem przeci¦cia jego
−→2 −−→2 −→2
±rodkowych, O dowolnym punktem. Wykaza¢, »e AB + BC + CA +
−→2
−→2 −−→2 −→2
9OP = 3(OA + OB + OC ).
20. Punkty
21. Czy mno»enie wektorowe jest dziaªaniem ª¡cznym?
22. Wykaza¢, »e
→
−
→
−
→
−
−
−
−
(→
a × b ) · (→
a × b ) + (→
a · b )2 = a2 b2 .
23. Wykaza¢ to»samo±¢ Eulera-Lagrange'a. Je±li
(bx , by , bz ),
→
−
a = (ax , ay , az )
i
→
−
b =
to
(ay bz −az by )2 +(az bx −ax bz )2 +(ax by −ay bx )2 +(ax bx +ay by +az bz )2 = (a2x +a2y +a2z )(b2x +b2y +b2z ).
24. Wykaza¢, »e pole równolegªoboku rozpi¦tego na przek¡tnych równolegªoboku jest dwa razy wi¦ksze od pola równolegªoboku.
wsk. Obliczy¢
→
−
→
−
−
−
(→
a + b ) × (→
a − b ).
25. Wyprowadzi¢ wzór na sinus sumy dwóch k¡tów.
wsk. Rozwa»y¢ iloczyn wektorowy dwóch wektorów jednostkowych le»¡cych na pªaszczy¹nie
α, β .
x, y
i tworz¡cych z osi¡
x
odpowiednio k¡ty
26. Wykaza¢ wzory
→
− −
→
− − →
→
−
−
−c · (→
−
a) →
a ·( b ×→
c ) = b · (→
c ×−
a)=→
a × b ),
→
− −
→
− − →
→
−
−
−c (→
−
b) →
a ×( b ×→
c ) = b (→
a · −c ) − →
a · b ),
→
−
−
→
− − →
→
−
→
− − →
−
−
−c × →
−
c) (→
a × b ) × (→
d ) = b [→
a · (−c × d )] − →
a [ b · (→
c × d )],
→
−
→
− −
−
−
−c ) = →
−
−
d) (→
a × b ) × (→
a ×→
a [→
a ·( b ×→
c )],
→
− →
→
−
→
−
→
−
→
− − 2
−c ×→
−
−
−
−c )][( b ×→
−c )·→
−
−
e) ( b ×−c )·[(→
a )×(→
a × b )] = [→
a ·( b ×→
a ] = [→
a ·( b ×→
c )] ,
→
− →
− − →
− →
− − →
− →
→
− →
− − →
− −
→
−
−
−c [→
f) →
a [ d ·( b ×→
c ]+ b [ d ·(→
c ×−
a ]+→
d ·(−
a × b ]− d [→
a ·( b ×→
c]= 0
→
−
− →
− − →
→
− − →
→
−
−
−c × d)] = (→
g) →
a × [ b × (→
b · d )(→
a × −c ) − ( b · →
c )(−
a × d ),
− →
−
→
− − →
−
→
−
−
−c × d)] = [→
−
−c × →
−
h) →
a × [ b × (→
a · (→
d )] b − (→
a · b )(→
c × d ),
→
−
−
→
−
→
− − →
− − →
−
→
− →
− − →
→
−
−
−c ×→
−
−
−
i) (→
a × b )·[(→
d )×(→
e × f )] = [(→
a × b )×→
e ][ f ·(→
c × d )]−[((→
a × b )· f ][→
e ·(−c × d ].
−
→
− →
→
−
→
− −
−
−
b = aa·2 b →
a + a12 →
a ×(b ×→
a ), pierwszy skªadnik jest
→
−
wektorem równolegªym do a , a drugi ortogonalny.
−
−
→
− →
→
− →
Zakªadamy, »e a , A = 0 s¡ zadanymi wektorami i a · A = 0. Wyka→
−
→
− →
−
→
−
za¢, »e r × a = A jest równaniem prostej równolegªej do wektora a
→
−
→
−
a ×A .
→
−
i przechodz¡cej przez punkt r0 =
a2
27. Wykaza¢, »e
28.
29. Napisa¢ równanie prostej b¦d¡cej przeci¦ciem pªaszczyzn o równaniach
→
−
→
−
−
−
r ·→
a = α, →
r · b = β.
30. Znale¹¢ punkt przeci¦cia pªaszczyzny
− →
→
−c , (→
b · −c = 0). Zakªadamy,
→
− →
−
czyzny tzn. b · a 6= 0.
→
−
−
r ·→
a =c
z prost¡
→
−
→
−
r × b =
»e prosta nie jest równolegªa do pªasz-
31. Znale¹¢ warunek, który musz¡ speªnia¢ wektory
→
−
ai , i = 1, 2, 3,
aby
→
− →
−
pªaszczyzny o równaniach r · ai = αi byªy równolegªe do jednej prostej.
32. Napisa¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez trzy zadane punkty
Mi , i = 1, 2, 3,
zakªadaj¡c, »e wektory
→
−
r (Mi )
nie le»¡ w jednej
pªaszczy¹nie.
33. Znale¹¢ odlegªo±¢ mi¦dzy prostymi
−
→
→
−
−
r ×→
ai = Ai , i = 1, 2.