Różne rozkłady prawdopodobieństwa 1. Rozkład dwupunktowy D(p

Różne rozkłady prawdopodobieństwa
1. Rozkład dwupunktowy D(p). Zmienna losowa ξ ma rozkład D(p), jeżeli
Pp {ξ = 0} = p oraz Pp {ξ = 1} = 1 − p.
D2 ξ = p(1 − p)
Eξ = p
.........................................................................................................
2. Rozkład dwumianowy Bin(n, p). Zmienna losowa ξ ma rozkład dwumianowy z parametrami (n, p),
jeżeli
( )
n k
Pn,p {ξ = k} =
p (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n.
k
D2 ξ = np(1 − p)
Eξ = np
a. Jeżeli
zmiennymi losowymi o rozkładach Bin(ni , p), to zmienna losowa
∑n ξ1 , ξ2 , . . . , ξn są niezależnymi
∑n
η = i=1 ξi ma rozkład Bin( i=1 ni , p).
b. D(p) = Bin(1, p).
c.
∑nJeżeli ξ1 , ξ2 , . . . , ξn są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach D(p), to zmienna losowa η =
i=1 ξi ma rozkład B(n, p).
.........................................................................................................
3. Rozkład geometryczny Ge(p). Zmienna losowa ξ ma rozkład geometryczny z parametrem p, jeżeli
Pp {ξ = k} = p(1 − p)k , k = 0, 1, 2, . . .
1−p
1−p
D2 ξ =
p
p2
.........................................................................................................
Eξ =
4. Rozkład ujemny dwumianowy N B(r, p). Zmienna losowa ξ ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (r, p), jeżeli
(
)
r+k−1 r
Pr,p {ξ = k} =
p (1 − p)k , k = 0, 1, 2, . . .
k
Eξ =
r(1 − p)
p
D2 ξ =
r(1 − p)
p2
a. Jeżeli
zmiennymi losowymi o rozkładach N B(ri , p), to zmienna losowa
∑n ξ1 , ξ2 , . . . , ξn są niezależnymi
∑n
η = i=1 ξi ma rozkład N B( i=1 ri , p).
b. Ge(p) = N B(1, p).
c.
∑nJeżeli ξ1 , ξ2 , . . . , ξn są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Ge(p), to zmienna losowa η =
i=1 ξi ma rozkład N B(n, p).
.........................................................................................................
5. Rozkład Poissona P o(λ). Zmienna losowa ξ ma rozkład P o(λ), jeżeli
Pλ {ξ = k} =
λk −λ
e , k = 0, 1, . . .
k!
Eξ = λ
D2 ξ = λ
a.
zmiennymi losowymi o rozkładach P o(λi ), to zmienna losowa η =
∑n Jeżeli ξ1 , ξ2 , . . . , ξn są
∑niezależnymi
n
i=1 ξi ma rozkład P o(
i=1 λi ).
.........................................................................................................
W Z Statmat 0.1
6. Rozkład hipergeometryczny H(N, n, M ). Zmienna losowa ξ ma rozkład hipergeometryczny z parametrami (N, n, M ) (0 ≤ M ≤ N ), jeżeli
(M )(N −M )
PN,n,M {ξ = k} =
k
, k = 0, 1, . . . , n.
(Nn−k
)
n
nM
N − n nM N − M
D2 ξ =
N
n−1 N
N
.........................................................................................................
Eξ =
7. Rozkład jednostajny U (a, b). Zmienna losowa ξ ma rozkład jednostajny na przedziale (a, b), jeżeli jej
funkcja gęstości wyraża się wzorem
{
f (x) =
1
b−a ,
0,
jeżeli x ∈ (a, b),
dla pozostałych x.
1 bk+1 − ak+1
(b − a)2
(k = 1, 2 . . .),
D2 ξ =
b−a
k+1
12
.........................................................................................................
Eξ k =
8. Rozkład trójkątny T r(a, b). Zmienna losowa ξ ma rozkład trójkątny na przedziale (a, b), jeżeli jej funkcja
gęstości wyraża się wzorem
{
f (x) =
2
2
−
|a + b − 2x|, jeżeli x ∈ (a, b),
b − a (b − a)2
0,
dla pozostałych x.
[
(
)k+2 ]
4
a+b
k+2
k+2
Eξ =
a
+b
−2
(b − a)2 (k + 1)(k + 2)
2
k
(k = 1, 2 . . .),
D2 ξ =
(b − a)2
24
a. Jeżeli ξ1 oraz ξ2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach U (a, b), to ξ = (ξ1 + ξ2 )/2 ma rozkład
trójkątny na przedziale (a, b).
.........................................................................................................
9. Funkcje specjalne.
∫∞
a. Funkcja gamma: Γ(z) = 0 e−t tz−1 dt.
b. Γ(n) = (n − 1)! dla naturalnych n.
c. Γ(z + 1) =√zΓ(z).
d. Γ(1/2) = π.
∫1
e. Funkcja beta: B(a, b) = 0 ta−1 (1 − t)b−1 dt.
f. B(a, b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a + b).
.........................................................................................................
10. Rozkład beta Bet(a, b). Zmienna losowa ξ ma rozkład beta z parametrami (a, b), jeżeli jej funkcja
gęstości wyraża się wzorem
{ 1
xa−1 (1 − x)b−1 , x ∈ [0, 1]
f (x) = B(a,b)
0,
x ̸∈ [0, 1]
Eξ k =
Γ(a + k)Γ(a + b)
a(a + 1) · · · (a + k − 1)
=
,
Γ(a)Γ(a + b + k)
(a + b)(a + b + 1) · · · (a + b + k − 1)
D2 ξ =
ab
(a +
b)2 (a
+ b + 1)
a. Bet(1, 1) = U (0, 1).
.........................................................................................................
W Z Statmat 0.2
11. Rozkład wykładniczy E(λ). Zmienna losowa ξ ma rozkład wykładniczy z parametrem λ, jeżeli jej
funkcja gęstości wyraża się wzorem
{1 x
e− λ , x > 0
f (x) = λ
0,
x≤0
Eξ k = λk ,
D2 ξ = λ2
.........................................................................................................
12. Rozkład gamma G(α, λ). Zmienna losowa ξ ma rozkład gamma z parametrami (α, λ), jeżeli jej funkcja
gęstości wyraża się wzorem
{ 1
x
xα−1 e− λ , x > 0
f (x) = λα Γ(α)
0,
x≤0
Eξ k = α(α + 1) · · · (α + k − 1)λk ,
D2 ξ = αλ2
a.
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach G(αi , λ), to zmienna losowa η =
∑n Jeżeli ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ∑
n
i=1 ξi ma rozkład G(
i=1 αi , λ).
b. G(1, λ) = E(λ).
c.
∑nJeżeli ξ1 , ξ2 , . . . , ξn są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach E(λ), to zmienna losowa η =
i=1 ξi ma rozkład G(n, λ).
.........................................................................................................
13. Rozkład normalny N (µ, σ 2 ). Zmienna losowa ξ ma rozkład normalny z parametrami µ oraz σ 2 , jeżeli
jej funkcja gęstości wyraża się wzorem
fµ,σ2 (x) =
Eξ = µ,
1 x−µ 2
1
√ e− 2 ( σ ) , −∞ < x < ∞.
σ 2π
E(ξ − µ)2k = 1 · 3 · 5 · (2k − 1)σ 2k ,
E(ξ − µ)2k+1 = 0,
D2 ξ = σ2 .
.........................................................................................................
14. Rozkład Cauchy’ego. Zmienna losowa ξ ma rozkład Cauchy’ego z parametrami (α, λ), jeżeli jej funkcja
gęstości wyraża się wzorem
1
λ
f (x) =
, ∞ < x < ∞.
π λ2 + (x − α)2
a. Zmienna losowa ξ nie ma wartości oczekiwanej.
b. Jeżeli zmienne losowe ξ oraz η są niezależne o rozkładach N (0, 1), to zmienna losowa ξ/η ma rozkład
Cauchy’ego z parametrami (0, 1).
.........................................................................................................
15. Rozkład chi–kwadrat χ2 (v). Zmienna losowa ξ ma rozkład chi–kwadrat z v stopniami swobody, jeżeli
jej funkcja gęstości wyraża się wzorem
fv (x) =
x
v
1
x 2 −1 e− 2 , x > 0.
2v/2 Γ(v/2)
Eξ k = v(v + 2) · · · [v + 2(k − 1)],
D2 ξ = 2v.
a. Jeżeli ξ1∑
, ξ2 , . . . , ξn są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie N (0, 1), to zmienna
n
losowa ξ = i=1 ξi2 ma rozkład chi–kwadrat z n stopniami swobody.
b. χ2 (v) = Γ(v/2, 2).
.........................................................................................................
W Z Statmat 0.3
16. Rozkład t (Studenta) t(v). Zmienna losowa ξ ma rozkład t z v stopniami swobody, jeżeli jej funkcja
gęstości wyraża się wzorem
1
1
√ ·
, −∞ < x < ∞.
B(1/2, v/2) v (1 + x2 /v)(v+1)/2
(
) (
)
{ v
v k Γ v2 − k Γ k + 12
, v > 2,
2k
2
( )
Eξ = √
(2k < v), D ξ = v−2
∞,
v ≤ 2.
π
Γ v2
fv (x) =
Eξ 2k−1 = 0,
a. Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład N (0, 1), zmienna losowa√η ma rozkład chi–kwadrat z v stopniami
swobody oraz zmienne te są niezależne, to zmienna losowa t = ξ/ η/v ma rozkład t z v stopniami swobody.
.........................................................................................................
17. Rozkład F (Snedecora) F (u, v). Zmienna losowa ξ ma rozkład F (Snedecora) z u oraz v stopniami
swobody, jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem
uu/2 v v/2 Γ( u+v
2 ) u/2−1
x
(v + ux)−(u+v)/2 , x > 0.
Γ(u/2)Γ(v/2)
(
) (
)
Γ v2 + k Γ v2 − k v k
2v 2 (u + v − 2)
2
k
(u)
(v)
(2k
<
v)
D
ξ
=
(v > 4)
Eξ =
u(v − 2)2 (v − 4)
Γ 2 uk Γ 2
fu,v (x) =
a. Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład chi–kwadrat z u stopniami swobody, zmienna losowa η ma rozkład
chi–kwadrat z v stopniami swobody i zmienne te są niezależne, to zmienna losowa F = (ξ/u)/(η/v) ma
rozkład F z (u, v) stopniami swobody.
1
b. Jeżeli ξ ∼ F (2r, 2p), to 1+ξ
∼ Bet(p, r).
√
c. Jeżeli ξ ∼ F (1, v), to ξ ∼ t(v).
.........................................................................................................
18. Rozkład z Fishera. Zmienna losowa ξ ma rozkład z Fishera z (r, s) stopniami swobody, jeżeli jej
funkcja gęstości wyraża się wzorem
) rx
(
r
s
2r 2 s 2 Γ r+s
e
2
f (x) = ( r ) ( s )
r+s , x ∈ R
Γ 2 Γ 2 (s + re2x ) 2
Eξ = 0,
D2 ξ =
1r+s
2 rs
a. Jeżeli ξ ∼ F (r, s), to 12 ln ξ ma rozkład z Fishera z (r, s) stopniami swobody.
.........................................................................................................
19. Rozkład wielomianowy. Wektor losowy ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) ma rozkład wielomianowy z parametrami
(n, p1 , . . . , pk ), jeżeli
P {ξ = m} = P {ξ1 = m1 , . . . , ξk = mk } =
gdzie m = (m1 , . . . , mk ),
∑k
i=1
mk = n, 0 < pi < 1,
Eξ = n(p1 , . . . , pk ),
∑k
i=1
n!
k
pm1 · · · pm
k
m1 ! · · · mk ! 1
pk = 1.
Covξi ξj = −npi pj (i ̸= j),
D2 ξi = npi (1 − pi ).
a. Jeżeli ξ(1) , . . . , ξ(k) są niezależnymi k–wymiarowymi
wektorami losowymi o rozkładach wielomianowych
∑
∑
z parametrami (n1 , p), . . . , (nk , p), to ξ = ξ(i) ma rozkład wielomianowy z parametrami ( ni , p).
b. Rozkład wielomianowy jest wielowymiarowym analogiem rozkładu dwumianowego.
.........................................................................................................
W Z Statmat 0.4
20. Rozkład Dirichleta. Wektor losowy ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) ma rozkład Dirichleta z parametrami α =
(α1 , . . . , αk ) (αi > 0), jeżeli funkcja gęstości wyraża się wzorem
{ Γ(α
1 +···+αk ) α1
Γ(α1 )···Γ(αk ) x1
f (x) =
gdzie S = {x ∈ Rk :
∑k
i=1
α
Eξ =
,
α0
0,
k
· · · xα
k , x∈S
x ̸∈ S
xk = 1, xi > 0}.
αi αj
Covξi ξj = − 2
(i ̸= j),
α0 (1 + α0 )
αi
D ξi =
α0
2
(
α0 =
k
∑
)
αi
.
i=1
a. Rozkład Dirichleta jest wielowymiarowym analogiem rozkładu beta.
.........................................................................................................
21. Wielowymiarowy rozkład normalny Nn (µ, Σ). Wektor losowy ξ = (ξ1 , . . . , ξn )T ma n–wymiarowy
rozkład normalny, jeżeli jego funkcja gęstości wyraża się wzorem
f (x) = √
{
}
1
exp − (x − µ)T Σ−1 (x − µ) .
2
(2π)n det Σ
1
Ex = µ,
D2 x = Σ
a. Jeżeli ξ ∼ Nn (µ, Σ), A – p × n macierz stałych, to Ax ∼ Np (Aµ, AΣAT ).
b. Jeżeli ξ1 , . . . , ξn są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych o tej samej wariancji
oraz T jest macierzą ortogonalną, to elementy wektora losowego Tξ są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładach normalnych.
c. Jeżeli ξ ma n–wymiarowy rozkład normalny, to każda składowa ma jednowymiarowy rozkład normalny
(twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.)
d. Wektor ξ ma wielowymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy, gdy (∀ a ̸= 0) aT ξ ma jednowymiarowy rozkład normalny.
e. Niech ξ ∼ Nn (µ, Σ). Zmienne losowe aT ξ oraz bT ξ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy aT Σb = 0.
.........................................................................................................
W Z Statmat 0.5