Konspekt do wykładu
Transkrypt
Konspekt do wykładu
Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ∞) → R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ∞) określamy wzorem Z ∞ a f (x)dx = lim Z T T →∞ a f (x)dx o ile ta granica istnieje. Analogicznie Z b −∞ f (x)dx = lim Z b S→−∞ S f (x)dx Określenie całki oznaczonej na prostej Definicja 2 Niech funkcja f : R → R będzie całkowalna na przedziałach [S, T ] dla dowolnych S i T takich, że −∞ < S < T < ∞. Z ∞ f (x)dx = −∞ Z a f (x)dx + −∞ Z ∞ f (x)dx, a gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Jeżeli obie całki Ra −∞ f (x)dx i R∞ a f (x)dx są zbieżne , to mówimy, że całka niewłaściwa Z ∞ −∞ jest zbieżna. f (x)dx Wartość główna całki niewłaściwej Definicja 3 Niech funkcja f : R → R będzie całkowalna na przedziałach [−S, S] dla dowolnych S takich, że 0 < S < ∞. Wielkość VP Z ∞ −∞ f (x)dx = lim Z S S→∞ −S nazywamy wartością główną całki niewłaściwej R∞ −∞ f (x)dx f (x)dx. Kryteria zbieżności całki niewłaściwej Twierdzenie 1 (Kryterium porównawcze) R Jeżeli 0 ¬ f (x) ¬ g(x) dla każdego x ∈ [a, ∞), to zbieżność a∞ g(x)dx R∞ implikuje zbieżność a f (x)dx. R∞ R Rozbieżność a f (x)dx implikuje rozbieżność a∞ g(x)dx. Twierdzenie 2 (Kryterium ilorazowe) Niech funkcje dodatnie (ujemne) f i g będą całkowalne na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a oraz niech f (x) = k, x→∞ g(x) lim gdzie 0 < k < ∞. Wówczas Z ∞ f (x)dx jest zbieżna ⇔ a Analogicznie na (−∞, b]. Z ∞ a g(x)dx jest zbieżna. Zbieżność bezwzględna całki niewłaściwej Definicja 4 Mówimy, że całka zbieżna. Twierdzenie 3 Jeśli całka R∞ a R∞ a f (x)dx jest zbieżna bezwzględnie gdy R∞ a |f (x)| dx jest f (x)dx jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto Z ∞ f (x)dx a ¬ Z ∞ a |f (x)| dx. Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Definicja 5 Niech f : (a, b] → R będzie nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a oraz całkowalna na przedziałach [a + , b] dla każdego 0 < < b − a. Z b a o ile ta granica istnieje. f (x)dx = lim+ →0 Z b a+ f (x)dx Szeregi liczbowe Definicja 6 Niech (an ) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (Sn ), gdzie Sn = a1 + a2 + · · · + an . Szereg oznaczamy przez P∞ n=1 an , an -n-ty wyraz, Sn -n-ta suma częściowa szeregu. Definicja 7 Mówimy, że szereg ciągu (Sn ). Oznaczamy: limn→∞ Sn = P∞ n=1 P∞ an . n=1 an jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica Jeżeli limn→∞ Sn = ∞ (−∞), to mówimy, że szereg ∞ n=1 an jest rozbieżny do ∞ (−∞). Jeżeli limn→∞ Sn nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny. P Twierdzenie 4 Jeżeli szeregi a) P∞ n=1 ∞ X an , P∞ (an + bn ) = n=1 są zbieżne i c ∈ R, to n=1 bn ∞ X an + n=1 b) ∞ X n=1 can = c ∞ X n=1 ∞ X n=1 an . bn , Twierdzenie 5 Szereg geometryczny 1, P∞ ∞ X n=0 n=0 xn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |x| < xn = 1 . 1−x Twierdzenie 6 Jeżeli szereg P∞ n=1 an jest zbieżny, to limn→∞ an = 0. Uwaga 1 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Kryteria zbieżności szeregów Twierdzenie 7 ( Kryterium całkowe) Niech f : [n0 , ∞) → [0, ∞), gdzie n0 ∈ N, będzie funkcją nierosnącą. Wówczas szereg ∞ X f (n) jest zbieżny ⇐⇒ całka Z ∞ n+1 P∞ i=n+1 f (x)dx jest zbieżna. n0 n=1 gdzie Rn = Z ∞ f (x)dx ¬ Rn ¬ Z ∞ f (x)dx, n f (i) jest n−tą resztą szeregu i n n0 . Twierdzenie 8 Szereg P∞ 1 n=1 np jest zbieżny dla p > 1 i jest rozbieżny dla p ¬ 1. Twierdzenie 9 (Kryterium porównacze) Niech 0 ¬ an ¬ bn dla każdego n n0 i niech P P P an jest zbieżny. Jeśli ∞ Wtedy szereg ∞ szereg ∞ n=1 an jest rozn=1 n=1 bn będzie zbieżny. P∞ bieżny do ∞ to szereg n=1 bn jest też rozbieżny do ∞. Twierdzenie 10 (Kryterium ilorazowe) Niech an , bn > 0 (an , bn < 0) dla każdego n n0 oraz niech an = k, lim n→∞ b n gdzie 0 < k < ∞. Wówczas P∞ P szereg ∞ n=1 bn jest zbieżny. n=1 an jest zbieżny ⇐⇒ szereg Twierdzenie 11 (Kryterium d’Alemberta) 1. Jezeli an+1 | < 1, lim | n→∞ a n P to szereg ∞ n=1 an jest zbieżny. 2. Jeżeli an+1 lim | | > 1, n→∞ a n P to szereg ∞ n=1 an jest rozbieżny. W przypadku an+1 lim | |=1 n→∞ a n kryterium nie rozstrzyga zbieżności. Twierdzenie 12 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli q n |an | < 1 lim n→∞ to szereg 2. Jeżeli P∞ n=1 an jest zbieżny. lim q lim n→∞ q n n→∞ |an | > 1 P∞ to szereg n=1 an jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. n |an | = 1 Twierdzenie 13 (Leibnitza o zbieżności szeregu naprzemiennego) Jeżeli ciąg (bn ) jest P n+1 bn nierosnący od numeru n0 ∈ N i limn→∞ bn = 0 to szereg naprzemienny ∞ n=1 (−1) jest zbieżny. Prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu |Rn | ¬ bn+1 dla każdego n n0 . Definicja 8 Mówimy, że szereg jest zbieżny. P∞ n=1 an jest zbieżny bezwzględnie gdy szereg P∞ Twierdzenie 14 Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny. n=1 |an | Definicja 9 Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo. Szeregi potęgowe Definicja 10 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 ∈ R i współczynnikach cn ∈ R, nazywamy szereg postaci ∞ X n=0 cn (x − x0 )n . Granica górna i dolna ciągu Definicja 11 Niech (kn ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych oraz niech (an ) będzie dowolnym ciągiem. Podciągiem ciągu (an ) nazywamy ciąg (bn ) określony wzorem bn = akn , gdzie n ∈ N. Twierdzenie 15 Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy. Definicja 12 Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a. Symbol −∞(∞) jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do −∞(∞). Definicja 13 Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu (an ) (właściwych lub niewłaściwych). Wtedy limn→∞ an = inf S jest granicą dolną ciągu, a limn→∞ an = sup S jest granicą górną ciągu. Twierdzenie 16 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli q limn→∞ n |an | < 1 to szereg 2. Jeżeli P∞ n=1 an jest zbieżny. q limn→∞ n |an | > 1 to szereg ∞ n=1 an jest rozbieżny. W przypadku P q limn→∞ n |an | = 1 kryterium nie rozstrzyga zbieżności. Promień zbieżności szeregu potęgowego R= 0 1 √ n limn→∞ |cn | ∞ q gdy limn→∞ n |cn | = ∞, gdy 0 < limn→∞ n |cn | < ∞, gdy limn→∞ n |cn | = 0. q q Uwaga 2 R = n→∞ lim q n R = lim | n→∞ - o ile granice w tych wzorach istnieją. 1 |cn | cn cn+1 , | Twierdzenie 17 (Cauchy’ego-Hadamarda) Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem zbieżP n ności szeregu potęgowego ∞ n=0 cn (x − x0 ) . Wtedy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny w każdym punkcie przedziału (x0 − R, x0 + R) i rozbieżny w każdym punkcie zbioru (−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, ∞). Definicja 14 Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego ( x ∈ R : szereg ∞ X n=0 P∞ n n=0 cn (x−x0 ) ) n cn (x − x0 ) jest zbieżny . nazywamy zbiór Szereg Taylora funkcji Wzór Taylora Niech f ma w przedziale (x0 − δ, x0 + δ) pochodne dowolnego rzędu. Wtedy f (x) = n−1 X f (k) (x0 ) (x − x0 )k + Rn (x) k! k=0 gdzie Rn (x) = c-punkt pośredni między x i xo . f (n) (c) (x − x0 )n , n! Twierdzenie 18 Jeżeli dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) limn→∞ Rn (x) = 0, to f (x) = dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0 Uwaga 3 Jeżeli istnieje M > 0 takie, że |f (n) (x)| ¬ M dla każdego n ∈ N ∪ {0} oraz dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), to limn→∞ Rn (x) = 0. Różniczkowanie szeregu potęgowego Twierdzenie 19 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego P∞ n n=0 cn x . Wtedy ( ∞ X cn xn )0 = n=0 ∞ X ncn xn−1 n=1 dla każdego x ∈ (−R, R). Wniosek 1 Jeżeli f (x) = to dla n = 0, 1, ... P∞ n=0 cn (x − x0 ) n dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), gdzie δ > 0, f (n) (x0 ) cn = n! Całkowanie szeregu potęgowego Twierdzenie 20 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu Wtedy Z x X ∞ ∞ X cn n+1 ( cn tn )dt = x 0 n=0 n=0 n + 1 dla każdego x ∈ (−R, R). P∞ n=0 cn x n . Twierdzenie 21 (Abela) Jeżeli szereg f (x) = dziale zbieżności (np. w R), to lim− f (x) = x→R P∞ n=0 cn x ∞ X n=0 cn R n . n jest zbieżny w końcowym prze- Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} oznacza płaszczyznę, R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: |P1 P0 | = |P1 P0 | = q (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 , P0 = (x0 , y0 ), P1 = (x1 , y1 ), q (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 + (z1 − z0 )2 , P0 = (x0 , y0 , z0 ), P1 = (x1 , y1 , z1 ). Definicja 15 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na płaszczyźnie lub w przestrzeni nazywamy zbiór n o O(P0 , r) = P ∈ R2 (R3 ) : |P0 P | < r . Definicja 16 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorze wraz z pewnym swoim otoczeniem Definicja 17 Funkcją f dwóch (trzech) zmiennych określoną na zbiorze A ⊂ R2 (R3 ) o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. z = f (x, y), (x, y) ∈ A Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df . Definicja 18 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ Df } . Definicja 19 Poziomicą wykresu funkcji f , odpowiadającą poziomowi h ∈ R, nazywamy zbiór {(x, y) ∈ Df : f (x, y) = h} . Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0 , y0 ). Definicja 20 f jest ciągła w punkcie (x0 , y0 ), gdy ^ _ ^ >0 δ>0 (x,y)∈D q [( (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ) ⇒ (|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < )] Pochodne cząstkowe Definicja 21 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x0 , y0 ) określamy wzorem ∂f f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim , ∆x→0 ∂x ∆x o ile ta granica istnieje. Uwaga 4 Niech F (x) = f (x, y0 ). Wtedy ∂f (x0 , y0 ) ∂x = F 0 (x0 ). Analogicznie ∂f f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim , ∆y→0 ∂y ∆y o ile ta granica istnieje. Uwaga 5 Niech G(y) = f (x0 , y). Wtedy ∂f (x0 , y0 ) ∂y = G0 (y0 ). Definicja 22 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D ⊂ R2 , to funkcje ∂f ∂f (x, y), (x, y), gdzie (x, y) ∈ D ∂x ∂y nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D. Płaszczyzna styczna Załóżmy, że pochodne cząstkowe ∂f , ∂f są ciągłe w punkcie (x0 , y0 ). Wtedy płaszczyzna ∂x ∂y o równaniu ∂f ∂f (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ) + f (x0 , y0 ) z= ∂x ∂y jest styczna do wykresu funkcji z = f (x, y) w punkcie (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Niech f ma pochodne ∂f ∂f , ∂x ∂y na zbiorze otwartym D oraz niech (x0 , y0 ) ∈ D. Definicja 23 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x0 , y0 ) określamy wzorami: ∂ 2f ∂ ∂f ( )(x0 , y0 ) = fxx (x0 , y0 ) (x , y ) = 0 0 ∂x2 ∂x ∂x ∂ ∂f ∂ 2f (x0 , y0 ) = ( )(x0 , y0 ) = fxy (x0 , y0 ) ∂x∂y ∂x ∂y ∂ 2f ∂ ∂f (x0 , y0 ) = ( )(x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) ∂y∂x ∂y ∂x ∂ 2f ∂ ∂f ( )(x0 , y0 ) = fyy (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = 2 ∂y ∂y ∂y Twierdzenie 22 (Schwartza o pochodnych mieszanych) ∂2f ∂2f , ∂y∂x istnieją na otoczeniu punktu (x0 , y0 ) oraz będą ciągłe Niech pochodne cząstkowe ∂x∂y w punkcie (x0 , y0 ). Wtedy ∂ 2f ∂ 2f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ). ∂x∂y ∂y∂x Pochodna cząstkowa n-tego rzędu ∂ nf (x0 , y0 ), gdzie k + l = n ∂y k ∂xl -pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) powstała w wyniku lkrotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowania względem zmiennej y Pochodne cząstkowe funkcji złożonej Twierdzenie 23 Niech 1. funkcje x = x(u, v), y = y(u, v) mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (u0 , v0 ), 2. funkcja z = f (x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 )). Wtedy funkcja złożona F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) ma w punkcie (u0 , v0 ) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu wyrażone wzorami: ∂f ∂x ∂f ∂y ∂F ∂f ∂x ∂f ∂y ∂F = · + · , = · + · . ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v W szczególności jeśli x = x(t), y = y(t) to dF ∂f dx ∂f dy = · + · . dt ∂x dt ∂y dt Pochodna kierunkowa funkcji Niech ~v = (vx , vy ) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D ⊂ R2 oraz niech punkt (x0 , y0 ) ∈ D. Definicja 24 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) w kierunku wersora ~v określamy wzorem: f (x0 + tvx , y0 + tvy ) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = lim+ . t→0 ∂~v t Uwaga 6 Niech F (t) = f (x0 + tvx , y0 + tvy ). Wtedy ∂f (x0 , y0 ) ∂~v = F+0 (0). Gradient funkcji Definicja 25 Niech istnieją pochodne cząstkowe f w punkcie (x0 , y0 ) nazywamy wektor grad f (x0 , y0 ) = ( ∂f (x0 , y0 ), ∂f (x0 , y0 ). ∂x ∂y ∂f ∂f (x0 , y0 ), (x0 , y0 )). ∂x ∂y Gradientem funkcji Twierdzenie 24 Niech pochodne punkcie (x0 , y0 ) ∈ D. Wtedy ∂f ∂f , ∂x ∂y istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe w ∂f (x0 , y0 ) = grad f (x0 , y0 ) ◦ ~v . ∂~v Interpretacja geometryczna Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie. Ekstrema lokalne Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0 , y0 ). Definicja 26 f ma w punkcie (x0 , y0 ) minimum lokalne, jeżeli _ ^ δ>0 (x,y)∈D [(x, y) ∈ O((x0 , y0 ), δ) ⇒ f (x, y) f (x0 , y0 )]. Twierdzenie 25 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x0 , y0 ). Jeśli f ma ekstremum lokalne w (x0 , y0 ) i istnieją pochodne cząstkowe ∂f (x0 , y0 ), ∂f (x0 , y0 ) to ∂x ∂y ∂f ∂f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) = 0. ∂x ∂y Twierdzenie 26 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x0 , y0 ) i ∂f (x0 , y0 ) = ∂f (x0 , y0 ) = 0 oraz ∂x ∂y det ∂2f (x0 , y0 ) ∂x2 2 ∂ f (x0 , y0 ) ∂x∂y ∂2f (x0 , y0 ) ∂x∂y 2 ∂ f (x0 , y0 ) ∂y 2 >0 to f ma ekstremum lokalne w (x0 , y0 ) i jest to : 2 minimum lokalne właściwe , gdy ∂∂xf2 (x0 , y0 ) > 0 albo 2 maksimum lokalne właściwe, gdy ∂∂xf2 (x0 , y0 ) < 0. Uwaga 7 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x0 , y0 ) ekstremum lokalnego. Ekstrema warunkowe Definicja 27 Funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) minimum lokalne właściwe z warunkiem g(x, y) = 0 gdy g(x0 , y0 ) = 0 i _ ^ δ>0 (x,y)∈D [(x, y) ∈ S((x0 , y0 ), δ) ∧ g(x, y) = 0] ⇒ [f (x, y) > f (x0 , y0 )] Reguła nieoznaczonego czynnika Lagrange’a Określamy nową funkcję Φ(x, y) = f (x, y) + λg(x, y) gdzie λ jest stałe. Szukamy punktów, w których Φ może mieć ekstremum lokalne Φx = fx + λgx = 0, Φy = fy + λgy = 0. Następnie z układu równań : fx (x, y) + λgx (x, y) = 0, fy (x, y) + λgy (x, y) = 0, g(x, y) = 0 wyznaczamy punkt (x, y), w którym możliwe jest ekstremum funkcji f przy warunku g = 0, Zbiory domknięte Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni: Definicja 28 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli ^ r>0 A0 -dopełnienie zbioru A. O(P, r) ∩ A 6= ∅ oraz O(P, r) ∩ A0 6= ∅. Definicja 29 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych. Definicja 30 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg. Definicja 31 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu __ D ⊂ O(P0 , r). P0 r>0 Twierdzenie 27 (Weierstrassa o osiąganiu kresów) Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to _ f (x1 , y1 ) = sup {f (x, y) : (x, y) ∈ D} (x1 ,y1 )∈D _ (x2 ,y2 )∈D f (x2 , y2 ) = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ D} Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na zbiorze domkniętym 1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne. 2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne (ekstrema warunkowe). Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza. Całki podwójne Całka podwójna po prostokącie Niech P = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} = [a, b] × [c, d] i P = {P1 , P2 , ..., Pn } będzie podziałem prostokąta P na prostokąty Pk , 1 ¬ k ¬ n. Oznaczmy ∆xk , ∆yk -wymiary prostokąta Pk , 1 ¬ k ¬ n, dk = q (∆xk )2 + (∆yk )2 -długość przekątnej prostokąta Pk , 1 ¬ k ¬ n, δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n} -średnica podziału P, (x∗k , yk∗ ) ∈ Pk -punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P, 1 ¬ k ¬ n Σ = {(x∗k , yk∗ ) : 1 ¬ k ¬ n} -zbiór punktów pośrednich podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P. Definicja 32 Sumę σ(f, P) = n X f (x∗k , yk∗ )∆xk ∆yk k=1 nazywamy sumą całkową. Ciąg podziałów (Pn ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli lim δ(Pn ) = 0. n→∞ Definicja 33 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem RR P f (x, y)dxdy = lim σ(f, Pn ) n→∞ gdzie (Pn ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σn Twierdzenie 28 (Warunek wystarczający całkowania funkcji) Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty nieciągłości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y). Twierdzenie 29 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c ∈ R, to RR P (f (x, y) + g(x, y))dxdy = RR P RR P RR P f (x, y)dxdy + cf (x, y)dxdy = c f (x, y)dxdy = RR P1 RR P RR P g(x, y)dxdy, f (x, y)dxdy, f (x, y)dxdy + RR P2 f (x, y)dxdy gdzie {P1 , P2 } jest podziałem prostokąta P na prostokąty P1 , P2 . Twierdzenie 30 Jeżeli istnieje x, to RR P RR P f (x, y)dxdy = Rd f (x, y)dxdy oraz istnieje całka f (x, y)dy dla każdego c Zb dx Zd f (x, y)dy = dy Zb f (x, y)dx. a c c a Zd Wniosek 2 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b] × [c, d]. Wtedy RR P f (x, y)dxdy = Zb a dx Zd c f (x, y)dy = Zd c dy Zb a f (x, y)dx. Interpretacja geometryczna Niech V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ P, 0 ¬ z ¬ f (x, y)} . Wtedy |V | = RR P f (x, y)dxdy. Obszary Definicja 34 Zbiór D ⊂ R2 (R3 ) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwa punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą. Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym. Całka podwójna po obszarze Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D ⊂ R2 . Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D ⊂ P. Określamy funkcję ( ∗ f (x, y) = f (x, y) dla (x, y) ∈ D 0 dla (x, y) ∈ R2 − D. Definicja 35 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem RR D f (x, y)dxdy = RR P f ∗ (x, y)dxdy. Definicja 36 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)} gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x ∈ (a, b). b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)} gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y ∈ (c, d). Twierdzenie 31 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym a) D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}, to RR D f (x, y)dxdy = Zb h(x) Z f (x, y)dy)dx, ( a g(x) b)D = {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)} , to RR D f (x, y)dxdy = Zd q(y) Z ( c p(y) f (x, y)dx)dy. Całka podwójna po obszarze regularnym Definicja 37 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem osi Ox lub Oy ) D1 , ..., Dn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie. Twierdzenie 32 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to RR D f (x, y)dxdy = RR f (x, y)dxdy + ... + D1 RR Dn f (x, y)dxdy. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych Niech będą dane dwie płaszczyzny uOv i xOy. Na obszarze ∆ płaszczyzny uOv określona jest para funkcji x = ξ(u, v), y = η(u, v). Zbiór D = {(x, y) : x = ξ(u, v), y = η(u, v), (u, v) ∈ ∆} nazywamy obrazem zbioru ∆ przez przekształcenie T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)). Załóżmy, że ξ(u, v) i η(u, v) mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze ∆. Definicja 38 Jakobianem przekształcenia T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)) nazywamy funkcję " JT (u, v) = det Inne oznaczenie ∂(ξ,η) ∂(u,v) lub D(ξ,η) . D(u,v) ∂ξ (u, v) ∂u ∂η (u, v) ∂u ∂ξ (u, v) ∂v ∂η (u, v) ∂v # . Twierdzenie 33 ( o zamianie zmiennych w całce podwójnej ) Niech 1. przekształcenie T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)) odwzorowuje różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego ∆ na wnętrze obszaru regularnego D, 2. funkcje ξ, η mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar ∆, 3. funkcja f jest ciągła na obszarze D, 4. jakobian JT 6= 0 wewnątrz obszaru ∆. Wtedy RR RR f (x, y)dxdy = ∆ f (ξ(u, v), η(u, v))|JT (u, v)|dudv. D Współrzędne biegunowe P = (x, y) ≈ (ϕ, ρ), gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P 0 ¬ ϕ < 2π (albo −π < ϕ ¬ π), ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych. ( B := x = ρcosϕ y = ρsinϕ. B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y) i JB = −ρ. Twierdzenie 34 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, g(ϕ) ¬ ρ ¬ h(ϕ)} , gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] ⊂ [0, 2π]. Niech f będzie ciągła na obszarze D = B(U ). Wtedy RR D f (x, y)dxdy = Zβ h(ϕ) Z [ α g(ϕ) RR U f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ = f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ. Całki potrójne Całka potrójna po prostopadłościanie Niech P = {(x, y, z) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q} = [a, b] × [c, d] × [p, q] i P = {P1 , P2 , ..., Pn } będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany Pk , 1 ¬ k ¬ n. Oznaczmy ∆xk , ∆yk , ∆zk -wymiary prostopadłościanu Pk , 1 ¬ k ¬ n, dk = q (∆xk )2 + (∆yk )2 + (∆zk )2 -długość przekątnej prostopadłościanu Pk , 1 ¬ k ¬ n, δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n} -średnica podziału P, (x∗k , yk∗ , zk∗ ) ∈ Pk -punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P, 1 ¬ k ¬ n Σ = {(x∗k , yk∗ , zk∗ ) : 1 ¬ k ¬ n} -zbiór punktów pośrednich podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P. Definicja 39 Sumę σ(f, P) = n X f (x∗k , yk∗ , zk∗ )∆xk ∆yk ∆zk k=1 nazywamy sumą całkową. Ciąg podziałów (Pn ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli lim δ(Pn ) = 0. n→∞ Definicja 40 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem RRR P f (x, y, z)dxdydz = lim σ(f, Pn ) n→∞ gdzie (Pn ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σn Interpretacja fizyczna całki potrójnej Niech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę M= RRR P f (x, y, z)dxdydz. Twierdzenie 35 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α ∈ R, β ∈ R, to RRR P (αf (x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α RRR P f (x, y, z)dxdydz = RRR P1 RRR P f (x, y, z)dxdydz + β f (x, y, z)dxdydz + RRR P2 RRR P g(x, y, z)dxdydz, f (x, y, z)dxdydz gdzie {P1 , P2 } jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P1 , P2 . Twierdzenie 36 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną) Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b] × [c, d] × [p, q]. Wtedy RRR P f (x, y, z)dxdydz = Zb a dx Zd c dy Zq p f (x, y, z)dz Całka potrójna po obszarze Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V ⊂ R3 . Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję ( ∗ f (x, y, z) = f (x, y, z) dla (x, y, z) ∈ V 0 dla (x, y, z) ∈ R3 − V. Definicja 41 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem RRR V f (x, y, z)dxdydz = RRR P f ∗ (x, y, z)dxdydz. Definicja 42 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xOy nazywamy zbiór {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)} gdzie U jest obszarem regularnym na xOy, funkcje D i G są ciągłe na U , przy czym D(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U. Analogicznie: b) względem xOz {(x, y, z) : (x, z) ∈ U, D(x, z) ¬ y ¬ G(x, z)} c) względem yOz {(x, y, z) : (y, z) ∈ U, D(y, z) ¬ x ¬ G(y, z)} . Twierdzenie 37 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)} normalnym względem płaszczyzny xOy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regularnym U , to RRR V f (x, y, z)dxdydz = RR U ( G(x,y) Z f (x, y, z)dz)dxdy. D(x,y) Jeżeli U = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, d(x) ¬ y ¬ g(x)} , gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to RRR V f (x, y, z)dxdydz = Zb a dx g(x) Z d(x) dy G(x,y) Z D(x,y) f (x, y, z)dz. Całka potrójna po obszarze regularnym Definicja 43 Obszar V , który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem płaszczyzn układu ) V1 , ..., Vn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni. Twierdzenie 38 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V , to RRR V f (x, y, z)dxdydz = RRR V1 f (x, y, z)dxdydz + ... + RRR Vn f (x, y, z)dxdydz. Zamiana zmiennych w całkach potrójnych Współrzędne walcowe P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ρ, h), gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y), 0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), 0 ¬ ρ < ∞, −∞ < h < ∞ x = ρcosϕ W := y = ρsinϕ z= h. W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z). Twierdzenie 39 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ρ, h) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ρ) ¬ h ¬ G(ϕ, ρ)} , gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ)} . Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U ), to RRR V Zβ α dϕ g(ϕ) Z d(ϕ) dρ f (x, y, z)dxdydz = G(ϕ,ρ) Z D(ϕ,ρ) f (ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh. Współrzędne sferyczne P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ψ, ρ), 0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), − π2 ¬ ψ ¬ π2 , 0 ¬ ρ < ∞. x = ρcosϕcosψ S := y = ρsinϕcosψ z= ρsinψ. S- przekształcenie, które trójce (ϕ, ψ, ρ) przyporządkowuje trójkę (x, y, z). Twierdzenie 40 Niech obszar U we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ψ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ψ) ¬ ρ ¬ G(ϕ, ψ)} , gdzie funkcje d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ψ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ)} . Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = S(U ), to RRR V Zβ α dϕ g(ϕ) Z d(ϕ) dψ G(ϕ,ψ) Z D(ϕ,ψ) f (x, y, z)dxdydz = f (ρcosϕcosψ, ρsinϕcosψ, ρsinψ)ρ2 cosψdρ. Zastosowania całek wielokrotnych Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, wyraża się wzorem |Σ| = Zakładamy, że ∂f ∂f , ∂x ∂y RR D s 1+( ∂f 2 ∂f ) + ( )2 dxdy. ∂x ∂y są ciągłe na obszarze D. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru U ⊆ R3 o gęstości objętościowej masy γ. M Sxy = RRR U zγ(x, y, z)dxdydz, M Sxz = M Syz = RRR U RRR U yγ(x, y, z)dxdydz, xγ(x, y, z)dxdydz. Współrzędne środka masy obszaru U xc = M Sxz M Sxy M Syz , yc = , zc = M M M Przekształcenie Laplace’a Niech funkcja f będzie określona na przedziale [0, ∞). Definicja 44 Przekształceniem Laplace’a funkcji f nazywamy funkcję F (s) = L {f (t)} = Z ∞ 0 gdzie s jest zmienną rzeczywistą. f (t)e−st dt, Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Laplace’a. Twierdzenie 41 Jeżeli f spełnia następujące warunki: 1. ma na każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0, skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, 2. istnieją C ∈ R, M > 0 takie, że |f (t)| ¬ M eCt dla każdego t 0, to L {f (t)} istnieje dla s > C. Funkcję f spełniającą założenia powyższego twierdzenia będziemy nazywali oryginałem. Linowość przekształcenia Laplace’a Twierdzenie 42 Jeżeli istnieją L {f (t)} i L {g(t)} oraz c ∈ R, to L {f (t) + g(t)} = L {f (t)} + L {g(t)} , L {cf (t)} = cL {f (t)} . Twierdzenie 43 Jeżeli funkcje f, g są ciągłe i L {f (t)} = L {g(t)} , to f (t) = g(t) dla każdego t ∈ [0, ∞). Własności przekształcenia Laplace’a Twierdzenie 44 Niech f będzie oryginałem, i F (s) = L {f (t)}, wtedy 1.L {f (at)} = a1 F ( as ), gdzie a > 0, 2. L {tn f (t)} = (−1)n F (n) (s), 3. L {eat f (t)} = F (s − a), 4. L {1(t − τ )f (t − τ )} = e−sτ F (s), gdzie τ > 0, 5. L nR t o 0 f (τ )dτ = F (s) . s 6. f (0+ ) = lims→∞ sF (s). 7. Jeżeli istnieje granica f (t) w nieskończoności, to limt→∞ f (t) = lims→0 sF (s). Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji f : R → R takich, że całka niewłaściwa Z ∞ |f (x)| dx −∞ jest zbieżna. Definicja 45 Niech f, g ∈ L(R). Wtedy funkcję h(x) = Z ∞ f (y)g(x − y)dy −∞ nazywamy splotem funkcji f, g i oznaczamy f ∗ g. Uwaga 8 Niech funkcje f (t) i g(t) będą określone na przedziale [0, ∞) oraz całkowalne w każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0 wtedy f (t) ∗ g(t) = Z t 0 f (τ )g(t − τ )dτ. Twierdzenie 45 (Wzór Borela) Jeżeli funkcje f (t) i g(t) są oryginałami, to L {f (t) ∗ g(t)} = L {f (t)} L {g(t)} . Transformata n-tej pochodnej Twierdzenie 46 Jeżeli f oraz jej pochodne f 0 , f 00 , ..., f (n−1) są oryginałami, n oa ponadto funkcja ta ma na przedziale (0, ∞) ciągłą n-tą pochodną, to istnieje L f (n) (t) oraz n o L f (n) (t) = sn L {f (t)} − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f 0 (0+ ) + ... − sf (n−2) (0+ ) − f (n−1) (0+ ). Równania różniczkowe zwyczajne liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach Definicja 46 Są to równania postaci 1) an y (n) + an−1 y (n−1) + ... + a1 y 0 + a0 y = f , gdzie an 6= 0, a0 , ..., an -liczby rzeczywiste i f jest funkcją ciągłą w przedziale (a, b). Definicja 47 Rozwiązaniem równania różniczkowego (1) jest każda funkcja y = y(t) n-krotnie różniczkowalna w przedziale określoności (c, d), która spełnia równość an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + ... + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = f (t) dla każdego t ∈ (c, d). Zagadnienie początkowe Znaleźć rozwiązanie y = y(t) równania (1) takie, że y(t0 ) = y0 , y 0 (t0 ) = y1 , ..., y (n−1) (t0 ) = yn−1 gdzie t0 ∈ (a, b) i (y0 , y1 , ..., yn−1 ) ∈ Rn . Twierdzenie 47 Każde zagadnienie początkowe ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone i n-krotnie różniczkowalne w całym przedziale (a, b). Transformata Fouriera Definicja 48 Transformatą Fouriera funkcji f ∈ L(R) nazywamy funkcję 1 Z∞ f (x)e−ixy dx. fb(y) = √ −∞ 2π Twierdzenie 48 Jeżeli f ∈ L(R), to transformata fb istnieje i jest funkcją ciągłą. Uwaga 9 Jeżeli f ∈ L(R) oraz f jest funkcją 1. parzystą, to s 2Z∞ b f (y) = f (x)cosxydx, π 0 2. nieparzystą, to s 2Z∞ f (x)sinxydx. fb(y) = −i π 0 Transformata odwrotna do transformaty Fouriera e Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji F : R → C takich, że całka niewłaściwa Z ∞ |F (x)| dx −∞ jest zbieżna. e Definicja 49 Transformatą odwrotną do transformaty Fouriera funkcji F ∈ L(R) nazywamy funkcję 1 Z∞ e √ F (y)eixy dy. F (x) = 2π −∞ Zauważmy, że Fe (x) = Fb (−x). Twierdzenie 49 Jeśli f ∈ L(R), to w każdym punkcie x, w którym funkcja f jest różniczkowalna, Z ∞ 1 fb(y)eixy dy, f (x) = √ V P −∞ 2π gdzie Z Z ∞ VP T = lim −∞ T →∞ −T . Uwaga 10 Różniczkowalność można zastąpić słabszym warunkiem: Jeżeli istnieje δ > 0 taka, że f jest monotoniczna w S− (x, δ) i S+ (x, δ) oraz jest ograniczona w O(x, δ) to Z ∞ f (x+ ) + f (x− ) 1 = √ VP fb(y)eixy dy. 2 −∞ 2π Własności transformaty Fouriera Twierdzenie 50 Niech f ∈ L(R) i a ∈ R. Wtedy 1. jeżeli g(x) = f (x − a), to gb(y) = fb(y)e−iay , 2. jeżeli a 6= 0, g(x) = f ( xa ), to gb(y) = afb(ay), 3. jeżeli założymy dodatkowo, że f jest funkcją różniczkowalną i f 0 ∈ L(R), to fb0 (y) = iy fb(y). Twierdzenie 51 Jeżeli f, g ∈ L(R), to f ∗ g ∈ L(R) i f[ ∗g = √ 2π fb · gb. Twierdzenie 52 Jeżeli xn f (x) ∈ L(R) gdzie n ∈ N, to k f (x)(y) = ik fb(k) (y) dla k = 1, 2, ..., n. x\ Niezależne zmienne losowe Funkcje f : [0, 1] → R, które mają skończoną liczbę punktów nieciągłości, będziemy nazywali zmiennymi losowymi. Oznaczmy przez {f < x} = {t : f (t) < x} . Definicja 50 Dystrybuantą zmiennej losowej f nazywamy funkcję Ff (x) = Z 1 0 1{f <x} (t)dt. Definicja 51 Dystrybuantą typu absolutnie ciągłego nazywamy funkcję postaci F (x) = Z x −∞ ∞ gdzie p(t) 0, −∞ p(t)dt = 1. Funkcję p(x) nazywamy gęstością rozkładu. R p(t)dt, Definicja 52 Zmienne losowe f i g nazywamy niezależnymi, jeśli Z 1 0 dla dowolnych x, y ∈ R. 1{f <x}∩{g<y} (t)dt = Ff (x)Fg (y) Twierdzenie 53 Jeżeli f i g są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach typu absolutnie ciągłego z gęstościami p i q to f + g ma rozkład o gęstości p ∗ q. Definicja 53 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej f o gęstości rozkładu p nazywamy funkcję √ e ϕf (t) = 2π p(t). Twierdzenie 54 Jeżeli zmienne losowe f i g o gęstościach rozkładu p i q są niezależne, to ϕf +g (t) = ϕf (t) · ϕg (t).