Page 1 Pochodna funkcji - zastosowania Izolda Gorgol wyciąg z

Pochodna funkcji - zastosowania
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Związek różniczkowalności z ciągłością funkcji
TWIERDZENIE Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 , to jest w tym punkcie ciągła.
UWAGA Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Związek różniczkowalności z monotonicznością funkcji
1.
2.
3.
4.
5.
TWIERDZENIE Niech P oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x ∈ P funkcja f spełnia warunek:
f 0 (x) = 0, to funkcja f jest stała na P ;
f 0 (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca na P ;
f 0 (x) > 0, to funkcja f jest niemalejąca na P ;
f 0 (x) < 0, to funkcja f jest malejąca na P ;
f 0 (x) 6 0, to funkcja f jest nierosnąca na P .
Pochodne wyższych rzędów
DEFINICJA Pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 definiujemy rekurencyjnie
0
f (n) (x0 ) = f (n−1) (x0 ), dla n > 1.
Przyjmujemy, że f (0) (x0 ) = f (x0 ).
Definicja ekstremum funkcji
_ ^
DEFINICJA Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne, jeżeli
f (x) > f (x0 ).
_ ^
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
DEFINICJA Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df minimum lokalne właściwe, jeżeli
f (x) > f (x0 ).
_ ^
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
DEFINICJA Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne, jeżeli
f (x) 6 f (x0 ).
_ ^
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
DEFINICJA Funkcja f ma w punkcie x0 ∈ Df maksimum lokalne właściwe, jeżeli
f (x) < f (x0 ).
δ>0 x∈S(x0 ,δ)
Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi.
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej
TWIERDZENIE (Fermata) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz posiada ekstremum lokalne w
tym punkcie, to f 0 (x0 ) = 0.
UWAGA Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
I i III warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej
TWIERDZENIE Niech x0 ∈ R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x0 , ciągłą w punkcie x0
i różniczkowalną
przynajmniej w sąsiedztwie
punktu x0 . Jeżeli istnieje δ > 0 takie, że
^
^
A
f 0 (x) > 0 oraz
f 0 (x) < 0,
x∈(x0 −δ,x0 )
x∈(x0 ,x0 +δ)
to w^
punkcie x0 funkcja f ma maksimum
lokalne właściwe;
^
0
B
f (x) < 0 oraz
f 0 (x) > 0,
x∈(x0 −δ,x0 )
x∈(x0 ,x0 +δ)
to w punkcie x0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe.
1
II warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej
TWIERDZENIE Niech x0 ∈ R i f będzie funkcją określoną przynajmniej w otoczeniu punktu x0 . Jeżeli
1. f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0,
2. f (n) (x0 ) 6= 0,
to, gdy n > 2 jest parzyste, funkcja f osiąga w punkcie x0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to minimum,
gdy f (n) (x0 ) > 0, zaś maksimum gdy f (n) (x0 ) < 0. Gdy n jest nieparzyste, ekstremum nie występuje.
Zastosowanie pochodnych do obliczanie granic funkcji
TWIERDZENIE (Reguła de l’Hospitala)
Niech funkcje f i g spełniają warunki
0
1. funkcje fg i fg0 będą określone w sąsiedztwie punktu x0
lim f (x) = lim g(x) = ∞
2. lim f (x) = lim g(x) = 0 albo
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
f 0 (x)
3. istnieje granica lim 0
= a.
x→x0 g (x)
f (x)
f (x)
oraz lim
= a.
Wówczas istnieje granica lim
x→x0 g(x)
x→x0 g(x)
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla granic jednostronnych, niewłaściwych oraz dla granic w +∞ lub
w −∞.
2