Skojarzenia i faktory Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Skojarzenia i faktory
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Twierdzenie Halla (1935) - wersja małżeńska
TWIERDZENIE Danych jest n dziewcząt i m chłopców. Chcemy zaaranżować małżeństwa tak, aby każda z
dziewcząt wyszła za mąż za chłopca, którego zna. Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy podzbiór k
dziewcząt zna w sumie co najmniej k chłopców.
Skojarzenia i faktory
DEFINICJA Skojarzeniem w grafie G = (V, E) nazywamy zbiór wierzchołkowo rozłącznych krawędzi grafu. Skojarzenie nazywamy pełnym (doskonałym) wtedy i tylko wtedy, gdy krawędzie pokrywają cały zbiór wierzchołków
grafu.
DEFINICJA r-faktorem w grafie G = (V, E) nazywamy r-regularny podgraf rozpinający graf G.
UWAGA Podgraf H grafu G jest 1-faktorem w G wtedy i tylko wtedy, gdy E(H) jest skojarzeniem pełnym w G.
Twierdzenie Halla - wersja grafowa
[
Niech S ⊂ V (G). Wtedy N (S) =
N (s) nazywamy sąsiedztwem zbioru S w G.
s∈S
TWIERDZENIE Niech G = (V1 ∪ V2 , E) będzie grafem dwudzielnym. Wówczas istnieje pełne skojarzenie z V1 do
V2 wtedy
^ i tylko wtedy, gdy
|N (S)| > |S|.
S⊂V1
Twierdzenie Tutte’a (1947)
Niech G = (V, E) będzie dowolnym grafem i niech q(G) oznacza liczbę składowych grafu G o nieparzystej liczbie
wierzchołków.
TWIERDZENIE Graf G zawiera 1-faktor wtedy i tylko wtedy, gdy q(G − S) 6 |S| dla każdego S ⊂ V (G).
Twierdzenie Petersena (1891)
TWIERDZENIE Każdy 3-regularny graf bez mostów zawiera 1-faktor.
1