Wykład – „Symbol Newtona”

Wykład – „Symbol Newtona”
Newton Isaac
Urodzony w 1642 r. Angielski fizyk, astronom, matematyk i filozof; odkrywca prawa powszechnego ciążenia.
Zmarł w 1727 r., w wieku 84 lat.
Powszechnie znana jest opowieść o spadającym z drzewa jabłku, które naprowadziło Newtona na trop
prawa powszechnego ciążenia. Otóż obserwujący ruch owocu dwudziestotrzyletni Newton zrozumiał, że ta
sama siła przyciągania ziemskiego, która ściągnęła jabłko na ziemię, utrzymuje Księżyc na jego orbicie. Gdyby
nie istniała siła przyciągania. Księżyc "uleciałby" w kosmos. Grawitacja, czyli ciążenie powszechne, sprawia,
że utrzymujemy się na powierzchni Ziemi. Wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie. Im większą masę ma
przedmiot, tym większa jest jego siła ciążenia.
Słynny uczony był człowiekiem bardzo roztargnionym. Podobno kiedyś zaprosił przyjaciela na obiad,
ale o tym zapomniał i był nieobecny. Służący podał pieczone kurczę pod przykrywką; przyjaciel, po dłuższym
oczekiwaniu, sam zjadł obiad, a kości włożył pod przykrywkę. Gdy Newton wreszcie wrócił do domu, podniósł
przykrywkę i zobaczywszy kości, zdziwił się, że zapomniał, iż zjadł już obiad.
1
Część I - Silnia
Jeśli mamy wyrażenie, którym jest ciąg mnożeń kolejnych liczb od 1, np. 1 * 2 * 3 * 4 * 5, możemy zapisać go
w skrócie jako 5! (pięć silnia).
DEFINICJA
Silnia z liczby naturalnej n jest oznaczana przez n!. Dla n = 0 lub n = 1 wynosi
ona 1, natomiast dla n > 1jest równa iloczynowi wszystkich liczb naturalnych
od 1 do n.
Przykłady:
0! = 1
1! = 1
2!=1·2=2
3!=1· 2·3=6
5!=1· 2· 3· 4· 5 = 120
7! · 8 = 8!
3! · 4· 5· 6 = 6!
5! 120 1
=
=
6 ! 720 6
5!
5!
1
=
=
6 ! 5!∙6 6
12 ! 10 ! ∙11 ∙ 12
=
=132
10 !
10 !
8!
8!
1
=
=
10 ! 8 ! ∙ 9 ∙10 90
n! · (n+1) = (n+1)!
(n-1)! · n = n!
(n-3)! · (n-2) ·(n-1) · n · (n+1) = (n+1)!
2
(n−1 ) ! ∙ n
n!
=
=n
( n−1 ) ! ( n−1 ) !
( n+2 ) ! n! ∙ ( n+1 ) ∙(n+2)
n!
=
n!
=( n+1 ) ·(n+2)
( n−1 ) !
( n−1 ) !
1
=
=
( n+1 ) ! (n−1 ) ! ∙ n ∙(n+1) n ∙ ( n+1 )
Część II – Symbol Newtona
DEFINICJA
Symbolem Newtona nazywamy wyrażenie postaci
(czytane jako n po k), gdzie n, k
∈
n
n!
  
 k  k!(n  k )!
N oraz n ≥ k.
Przykłady
7
   35
 3
 n
   1
 0
 3
   1
 0
 n
   n
1
 6
   1
 6
 n
 n   1
 
 4
   4
1
 n 

  n
 n  1
5  5
      50
 2  4
 n  1

  n  1
 n 
10  10 
  :    1
8 2
n  n 
   

k  n  k 
3
4
Część III – Ciekawostka: Trójkąt Pascala
Zacznijmy od tego czym jest ten "trójkąt Pascala". Wbrew nazwie nie jest to żadna figura geometryczna. Jest to
trójkątna tablica, w której każda liczba jest sumą dwóch stojących nad nią (z wyjątkiem jedynek, tworzących
"boki" trójkąta). Oto kilka pierwszych wersów tego trójkąta:
Trójkąt Pascala
Nr. wiersza
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
...
Nr. wiersza
1
1
1
1
1
1
2
3
3
6
1
1
10 10
5
1
1
6
15 20 15
6
1
1
7
21 35 35 21
7
1
1
8
28 56 70 56 28
8
1
....................................
..
1
4
1
4
5
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
...
Zauważmy coś jeszcze
Trókąt Pascala jest ściśle związany z symbolem Newtona (wyrazy i wiersze są liczone od 0)
k-ty wyraz w n-tym wierszu =
- wiersz zerowy
 0
 
 0
1
 
0
 2
 
0
- wiersz pierwszy
1 
 
1 
 2
 
1
 n
 
k 
 2
 
 2
- wiersz drugi
 3
 
 0
 3
 
1
 3
 
 2
 3
 
 3
- wiersz trzeci
SYMBOL NEWTONA
konkurs dla gimnazjalistów
Masz do rozwiązania 12 zadań zamkniętych, w
których tylko jedna odpowiedź jest prawidłowa. Po
rozwiązaniu zadań zaznacz właściwe odpowiedzi na karcie
odpowiedzi.
Praca zostanie oceniona w następujący sposób:
 wskazanie poprawnej odpowiedzi to 1 punkt,
 wskazanie błędnej odpowiedzi to -1 punkt,
 brak odpowiedzi to 0 punktów.
Możesz zatem uzyskać od -12 do 12 punktów.
W czasie konkursu obowiązuje całkowita cisza. Wolno
ci korzystać z własnych notatek zrobionych w czasie
wykładu. Przy każdym zadaniu jest miejsce na twoje
obliczenia
i notatki.
Czas pracy – 30 minut.
Powodzenia!
Zadanie 1
Oblicz:
5! =
A.
B.
C.
D.
24
120
720
więcej niż 1000
Zadanie 2
Oblicz:
KARTA ODPOWIEDZI
Imię
………………….
……………..
Nazwisko
…………………………………
Klasa
………………
Numer
zadania
Wybrana
Liczba
odpowiedź uzyskanych
np. A
punktów
B
1
2
D
3
B
4
D
5
B
6
B
7
D
8
C
9
D
10
D
11
C
12
D
Łączna liczba
punktów
A.
B.
C.
D.
11 !
=¿
9!
990
99
90
110
Zadanie 3
Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci:
( n+1 ) !
n!
A.
B.
C.
D.
=¿
n
n+1
n-1
n·(n+1)
Zadanie 4
Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci:
(n-3)! · (n-2) =
A.
B.
C.
D.
(n-2)
(n-5)!
(n-1)!
(n-2)!
Zadanie 5
Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci:
( n−1 ) ! ∙(n+1)
=¿
( n+1 ) !
A. 1
1
n
C. n+1
D. n
B.
Zadanie 6
Oblicz:
15 ! ∙ 16
=¿
13 ! ∙ 14 ∙15
A.
B.
C.
D.
więcej niż 1000
16
240
mniej niż 10
Zadanie 7
Oblicz:
5! · 7· 8 =
A.
B.
C.
D.
8!
mniej niż 1000
3256
odpowiedź inna niż powyższe
Zadanie 8
Oblicz:
 5
  
 0
A.
B.
C.
D.
5
0
1
120
Zadanie 9
Oblicz:
 6
  
 4
A.
B.
C.
D.
30
1
60
odpowiedź inna niż powyższe
Zadanie 10
Oblicz:
12  12 
     
10   11 
A. 132
B. 12
C. 144
D. 792
Zadanie 11
Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci:
n
  
 2
n
2
B. n∙(n -1)
( n−1 ) ∙ n
C.
2
D. odpowiedź inna niż powyższe
A.
Zadanie 12
Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci:
( )
()
n
n−k
n
k
A. n-k
B. k!
C.
D. 1
=¿
k!
( n−k ) !