i inne zadania (w przygotowaniu)

1
Zastosowania
Zadanie 1. Macierz migracji mi˛edzy dwoma miastami ma postać:
0, 6 0, 3
A=
0, 4 0, 7
Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac,
˛ że stan poczatkowy
˛
jest nast˛epujacy:
˛
0, 6
x(0) =
0, 4
Wyznaczyć wektor równowagi.
Zadanie 2. Macierz migracji ludności mi˛edzy miastem a wsia˛ ma postać:
0, 9 0, 6
A=
0, 1 0, 4
Wyznaczyć poczatkowy
˛
rozkład ludności wiedzac,
˛ że po roku jest on nast˛epujacy:
˛
0, 7
x(1) =
.
0, 3
Zadanie 3. Niech
A=
0, 1
0, 4
0, 2
0, 3
b˛edzie macierza˛ przepływu mi˛edzygał˛eziowego systemu składajacego si˛e zdwóch gał˛ezi przemysłu, zaś
1000
d=
1200
wektorem zapotrzebowań zewn˛etrznych. Wyznaczyć wektor produkcji tak, aby system znajdował si˛e w równowadze.
Zadanie 4. Dane sa˛ równania popytu i podaży pewnego towaru PP(c) = 50 − 5c , PD(c) = 2 + 3c. Znajdź cen˛e równowagi
rynkowej.
Zadanie 5. Popyt na pewien towar jest funkcja˛ liniowa˛ ceny i wyraża si˛e wzorem PP(c) = 40 − 8c. Znajdź cen˛e, przy której
dochód D(c) = PP(c)c ze sprzedaży tego towaru b˛edzie maksymalny.
Zadanie 6. Zmienne X1 i X2 opisuja˛ papiery p
wartościowe dwóch róp
żnych spółek. Stopy zwrotu wynosza˛ odpowiednio
EX1 = 0, 05 oraz EX2 = 0, 07, zaś ryzyko - D2 X1 = 0, 02 oraz D2 X2 = 0, 03. Współczynnik korelacji jest równy
ρ(X1 , X2 ) = −0, 5. W jakiej proporcji należy zbudować portfel inwestycyjny z akcji obu spółek, aby zminimalizować
ryzyko?
Zadanie 7. Pewien bank oferuje 9-miesi˛eczna˛ lokat˛e progresywna.˛ Wysokość oprocentowania (w skali roku) w kolejnych
miesiacach
˛
ilustruje poniższa tabela.
miesiac
˛
%
I
0,75
II
0,75
III
0,95
IV
1,15
V
1,35
VI
1,55
VII
1,75
VIII
2,35
IX
3,00
Obliczyć średnie oprocentowanie tej lokaty w stosunku rocznym, jeżeli odsetki doliczane sa˛ na koniec trwania lokaty (a
nie po każdym miesiacu).
˛
Obliczyć średnie oprocentowanie przy założeniu, że odsetki doliczane sa˛ po każdym miesiacu.
˛
Zadanie 8. Pan X zaciagn
˛ ał
˛ kredyt w wysokości 10000zł. B˛edzie go spłacał przez rok w stałych comiesi˛ecznych ratach.
Oprocentowanie wynosi 10% w skali roku. Ile wynosić bedzie miesi˛eczna rata oraz całkowity koszt kredytu?
Zadanie 9. Pan Y zaciagn
˛ ał
˛ kredyt w wysokości 10000zł. B˛edzie go spłacał co miesiac
˛ przez rok w ratach malejacych.
˛
Oprocentowanie wynosi 10% w skali roku. Ile wynosić beda˛ kolejne raty oraz całkowity koszt kredytu?
1
2
Kombinatoryka
Zadanie 10. Ile liczb pi˛eciocyfrowych można utworzyć z cyfr
(i) 1,2,3,4,5
(ii) 0,1,2,3,4
(iii) 1,2,3,4,5,6
(każdej podanej cyfry można użyć tylko raz)?
Zadanie 11. Ile parzystych liczb trzycyfrowych (o różnych cyfrach) można utworzyć z elementów zbioru {1, 2, 3, 4, 5} ?
Zadanie 12. Na ile sposobów można ustawić na półce 10-tomowe dzieło, jeśli
1. tomy I, II i III maja˛ stać obok siebie , niekoniecznie w takiej kolejności,
2. tomy I i II maja˛ nie stać obok siebie?
Zadanie 13. Ile liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr
(i) 1,1,3,3,4,5
(ii) 0,1,1,3,3,4 ?
Zadanie 14. Mała Hania ma 10 koralików: 3 czerwone, 3 niebieskie, 2 żólte i 2 zielone. Ile różnych wzorów może uzyskać
dziewczynka nawlekajac
˛ je na sznurek?
Zadanie 15. Ile pi˛eciocyfrowych liczb nieparzystych można utworzyć z cyfr 1,1,2,3,4 ?
Zadanie 16. Ile jest liczb pi˛eciocyfrowych, których pierwsza i ostatnia cyfra sa˛ takie same?
Zadanie 17. Ile sześciocyfrowych liczb parzystych można utworzyć z cyfr 1,2,2,3,4,4 ?
Zadanie 18. W ilu permutacjach zbioru {1,2,3,4,5} jedynka stoi przed (niekoniecznie bezpośrednio) dwójka?
˛
Zadanie 19. Na ile sposobów można przy okragłym
˛
stole posadzić 10 osób, jeśli dwie z nich chca˛ koniecznie siedzieć obok
siebie?
Zadanie 20. Z talii 52 kart losujemy 6 kart. Ile jest możliwych wyników, w których wylosujemy dokładnie 3 asy?
Zadanie 21. Z talii 52 kart losujemy 8 kart. Ile jest możliwych wyników, w których
1. wylosujemy co najmniej 2 asy
2. wylosujemy jedna˛ dam˛e i 2 króle
3. nie wylosujemy żadnego asa ?
Zadanie 22. Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesi˛etnym wyst˛epuja˛ dwie pary różnych cyfr ?
Zadanie 23. Ilu uczniów jest w klasie, jeśli wiadomo, że dwuosobowa˛ "delegacj˛e z kwiatkiem" można wybrać na 300
sposobów?
Zadanie 24. Na przyj˛eciu spotkało si˛e n osób. Wszyscy znajomi przywitali si˛e podaniem r˛eki. Nastapiło
˛
10 powitań. Ile
osób si˛e spotkało?
Zadanie 25. Ile elementów ma zbiór A, jeżeli zawiera on dokładnie 67 podzbiorów o co najwyżej dwóch elementach?
Zadanie 26. Rozmieszczamy losowo 10 ponumerowanych kul w trzech szufladach.
1. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia?
2. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli co najmniej jedna szuflada ma pozostać pusta?
3. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli dokładnie jedna szuflada ma pozostać pusta?
4. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia, jeśli żadna szuflada ma nie być pusta?
Zadanie 27. Rozmieszczamy losowo 10 jednakowych kul w trzech szufladach.
1. Na ile sposobów można to zrobić?
2. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli co najmniej jedna szuflada ma pozostać pusta?
3. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli dokładnie jedna szuflada ma pozostać pusta?
4. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli żadna szuflada ma nie być pusta?
2
3
Rachunek prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Zadanie 28. Niech A i B b˛eda˛ zdarzeniami. Za pomoca˛ działań na zbiorach zapisać nast˛epujace
˛ zdarzenia:
1. zaszło A lub B,
2. zaszły oba,
3. nie zaszło żadne z nich,
4. zaszło tylko A.
Zadanie 29. Dwaj piłkarze chodza˛ niezbyt regularnie na treningi. Pierwszy chodzi na co drugi trening, drugi opuszcza
10% treningów, zaś na 45% treningów obecni sa˛ obaj. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
1. chociaż jeden z nich jest na treningu,
2. dokładnie jeden z nich jest na treningu,
3. żadnego z nich nie ma na treningu.
Zadanie 30. Rzucamy 3 razy moneta.˛ Skonstruować zbiór zdarzeń elementarnych. Określamy zmienna˛ losowa˛ X jako ilość
wyrzuconych reszek. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i narysować wykres jej dystrybuanty.
Obliczyć wartość oczekiwana.˛
Zadanie 31. Rzucamy 2 razy kostka.˛ Określamy zmienna˛ losowa˛ X jako sum˛e wyrzuconych oczek. Wyznaczyć rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i narysować wykres jej dystrybuanty. Obliczyć wartość oczekiwana.˛
Zadanie 32. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem

0
dla
t<0



0, 1 + t dla
0 ≤ x < 0, 5
F(t) =
0, 4 + t dla 0, 5 ≤ x < 0, 55



1
dla
x ≥ 0, 55
Obliczyć P(X < 0, 55), P(X > 0, 55), P(X = 12 ), P(0, 5 < X < 0, 55).
Zadanie 33. W urnie sa˛ 2 kule białe i 4 kule czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne:
wyciagni˛
˛ ecie dwóch kul tego samego koloru czy wyciagni˛
˛ ecie dwóch kul różnych kolorów?
Zadanie 34. Rzucamy moneta˛ do chwili wyrzucenia orła. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegajacego
˛
na tym,
że liczba rzutów b˛edzie parzysta?
Zadanie 35. Rzucamy moneta˛ do chwili aż upadnie dwa razy po kolei ta˛ sama˛ strona˛ do góry. Jakie jest prawdopodobieństwo
zdarzenia polegajacego
˛
na tym, że rzucamy parzysta˛ ilość razy?
Zadanie 36. Ile osób powinna liczyć grupa, aby prawdopodobieństwo, że wśród nich znajda˛ si˛e dwie osoby obchodzace
˛
urodziny tego samego dnia było wi˛eksze niż 0, 5?
Zadanie 37. Z talii 24 kart wybieramy 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy dwie pary (dokładnie dwie pary,
nie fulla ani karet˛e)?
Zadanie 38. Z talii 52 kart losujemy 6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kart sa˛ zarówno czerwone
jak i czarne?
Zadanie 39. Urzadzenie
˛
elektryczne składa si˛e z czterech podzespołów, z których każdy charakteryzuje si˛e niezawodnościa˛
0, 85. Jakie jest prawdopodobieństwo, że urzadzenie
˛
zadziała, jeżeli działa ono:
1. tylko wtedy, gdy wszystkie podzespoły sa˛ sprawne
2. gdy przynajmniej jeden podzespół jest sprawny?
Zadanie 40. Ilu szóstek można si˛e spodziewać w losowaniu Lotto, jeżeli kuponów jest ok. 107 ?
Zadanie 41. Obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że wśród 365 osób trzy urodziły si˛e 10 lub 11 lutego.
Zadanie 42. Niech X bedzie zmienna˛ losowa˛ o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1]. Znaleźć jej dystrybuant˛e.
Zadanie 43. Niech X bedzie zmienna˛ losowa˛ o nast˛epujacym
˛
rozkładzie:
xi
pi
-3
-2
-1
0
1
2
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Wyznaczyć rozkład zmiennej X 2 .
Zadanie 44. Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1. Obliczyć P(−2 ≤ X ≤ 4).
3
4
Rozkład normalny
Zadanie 45. Niech Z b˛edzie standaryzowana˛ zmienna˛ losowa˛ normalna.˛
1. Oblicz P(Z ≤ −0, 89).
2. Oblicz P(−2, 66 < Z).
3. Oblicz P(−1 < Z < 1).
Zadanie 46. Niech X bedzie normalna˛ zmienna˛ losowa˛ o średniej µ = 410 i odchyleniu standardowym σ = 2. Znajdź
P(407 ≤ X ≤ 415).
Zadanie 47. Dla normalnej zmiennej losowej X o średniej µ = −44 i odchyleniu standardowym σ = 16 znajdź P(X > 0).
Zadanie 48. Czas zrealizowania przelewu bankowego ma rozkład normalny N(7, 2). Określić:
prawdopodobieństwo uzyskania pieni˛edzy na koncie w czasie nie dłuższym niż 3 dni
jaki procent zleceń jest realizowany w czasie od 10 do 14 dni.
Zadanie 49. Automat produkuje cz˛eści, których długość (w cm) jest zmienna˛ losowa˛ o rozkładzie N(2; 0, 2). Wyznaczyć
prawdopodobieństwo wyprodukowania braku, jeżeli dopuszczalna długość cz˛eści powinna zawierać si˛e w przedziale
(1, 7; 2, 3).
Zadanie 50. Czas przejazdu pociagu
˛ mi˛edzy dwiema stacjami jest normalna˛ zmienna˛ losowa˛ o średniej 129 minut i nieznanej wariancji. W 30% przypadków przejazd pociagu
˛ trwa wi˛ecej niż 142 minuty. Znajdź wariancj˛e czasu przejazdu.
Zadanie 51. Waga pewnego tropikalnego owocu hodowanego eksperymentalnie w Stanach Zjednoczonych ma rozkład
normalny z wariancja˛ 0, 04 i nieznana˛ średnia.˛ Wiadomo, że 65% owoców waży mniej niż 0, 5 funta. Jaka jest oczekiwana
waga losowo wybranego owocu?
Zadanie 52. Waga towarów wysyłanych w kontenerach określonych wymiarów jest normalna˛ zmienna˛ losowa.˛ Wiadomo,
że 65% kontenerów wykazuje wag˛e netto ponad 4, 9 tony, a 25% kontenerów - wag˛e netto mniejsza˛ 4, 2 tony. Znajdź średnia˛
i odchylenie standardowe wagi towarów wysyłanych w tego typu kontenerach.
5
Percentyle, miary tendencji centralnej, miary zmienności
Zadanie 53. Dla nast˛epujacych
˛
danych:
38, 41, 44, 45, 45, 52, 54, 56, 60, 64, 69,
71, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 87, 88, 90, 98
oblicz median˛e, pierwszy i trzeci kwartyl, 30-ty i 60-ty percentyl oraz odst˛ep mi˛edzykwartylowy. Znajdź dominant˛e.
Zadanie 54. Dla nast˛epujacych
˛
danych:
2, 3, 2, 4, 3, 5, 1, 1, 6, 4, 7, 2, 5, 1, 6
oblicz średnia,˛ wariancj˛e i odchylenie standardowe.
Zadanie 55. Z partii bawełny pobrano próbk˛e złożona˛ z 64 włókien, a nast˛epnie zmierzono długości tych włókien (w mm).
Po uporzadkowaniu
˛
otrzymano nast˛epujace
˛ wyniki:
4, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 12, 12,
13, 13, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17,
18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 21,
21, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23,
24, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 26, 27,
27, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 31, 31, 31,
32, 32, 33, 35
Zbuduj szereg rozdzielczy, przyjmujac
˛ liczb˛e klas k = 8 i jako poczatek
˛
pierwszej klasy liczb˛e 3, 5. Dla szeregu oblicz
median˛e, średnia,˛ odchylenie standardowe. Narysuj histogram.
4
Zadanie 56. W poniższej tabeli umieszczono wyniki podzielone na klasy. Oblicz średnia˛ i odchylenie standardowe. Znajdź
klas˛e dominujac
˛ a,˛ klas˛e medialna˛ i median˛e.
klasa
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
liczebność
5
7
10
16
11
9
Zadanie 57. Poniższa tabela przedstawia procentowa˛ zawartość skrobi w każdym z 80 ziemniaków wylosowanych z pratii
ziemniaków. Oblicz średnia˛ i odchylenie standardowe. Znajdź klas˛e dominujac
˛ a,˛ klas˛e medialna˛ i median˛e.
zaw. % skrobi
9-11
11-13
13-15
15-17
17-19
19-21
21-23
23-25
6
liczba ziemniaków
1
2
7
20
30
16
3
1
Przedziały ufności
Zadanie 58. W 100 losowo wybranych gospodarstwach domowych średnia miesi˛eczna opłata za energi˛e elektryczna˛
wyniosła 74 zł , a odchylenie standardowe 16 zł. Wyznacz 90% przedział ufności dla średnich miesi˛ecznych wydatków
na prad
˛ w całej populacji.
Zadanie 59. Dla 20 losowo wybranych uczniów pewnej wiejskiej szkoły podstawowej średni czas dojazdu do szkoły
wynosi 45 minut, a odchylenie standardowe 7 minut. Oszacuj za pomoca˛ przedziału ufności przeci˛etny czas dojazdu
w całej populacji uczniów tej szkoły przyjmujac
˛ poziom ufności 0, 85
7
Korelacja, regresja
Zadanie 60. W poniższej tabeli umieszczono wyniki pomiarów cechy X oraz cechy Y. Oblicz współczynnik korelacji tych
dwóch cech. Oszacuj parametry linii regresji cechy Y wzgl˛edem cechy X.
cecha X
2
4
6
8
10
cecha Y
65
38
30
10
1
5