5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Transkrypt
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Budownictwo, sem. II rok akademicki 2008/2009 5 studia niestacjonarne MATEMATYKA - wykład Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F x, y, y 0 , y 00 = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x) i w którym występuje pochodna pierwszego i drugiego rzędu dy 00 d2 y tej funkcji, tzn. y 0 = ,y = . dx dx2 5.1 Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego różniczkowego drugiego rzędu Definicja 5.2. Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 w przedziale (a, b) nazywamy każdą funkcję zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej y = y(x) lub w postaci uwikłanej h(x, y) = 0, która ma pochodne do rzędu n włącznie i spełnia równanie F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 dla x ∈ (a, b). Definicja 5.3. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 zależne od dwóch dowolnych stałych C1 , C2 wyrażone w postaci jawnej y = y(x, C1 , C2 ) lub w postaci uwikłanej h(x, y, C1 , C2 ) = 0, i takie, że podstawiając dowolne wartości za C 1 , C2 otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Podstawiając za C1 , C2 konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną rozwiązanie szczególne lub równania F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0. 5.2 Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe) Zagadnienie Cauchy’ego dla równania F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 polega na znalezieniu całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe: y 0 (x0 ) = y1 y(x0 ) = y0 , (W ) gdzie wartość początkowa x0 ∈ (a, b), zaś wartości początkowe y0 i y1 są dowolnymi z góry wybranymi liczbami. 5.3 Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego Równanie postaci F (x, y 0 , y 00 ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie y0 = u Wówczas y 00 = u0 i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F x, u, u0 = 0 . 12 Opracowała: Małgorzata Wyrwas Budownictwo, sem. II rok akademicki 2008/2009 studia niestacjonarne MATEMATYKA - wykład Równanie postaci F (y, y 0 , y 00 ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie y 0 = v(y) Wówczas dy 0 dv dv dy = = · = v0 · y0 = v0 · v dx dx dy dx y 00 = i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F (y, v, v 0 · v) = 0 . Przykład 5.4. Rozważmy równanie y 00 x2 + 1 = 2xy 0 . Stosując podstawienie u = y 0 , otrzymujemy u0 x2 2x du = 2 dx ⇒ + 1 = 2xu ⇒ u x +1 Z du = u Z 2x dx x2 + 1 ⇓ ln |u| = ln x2 + 1 + ln |C1 | u = C 1 · x2 + 1 . ⇒ Ponieważ u = y 0 , więc otrzymujemy 0 2 y = C1 · x + 1 ⇒ y = C1 · 1 3 x + x + C2 . 3 Rozważmy zagadnienie Cauchy’ego y 00 x2 + 1 = 2xy 0 , y(0) = 1, y 0 (0) = 3 , Wówczas C2 = 1 i C1 = 3 . Zatem rozwiązaniem danego zagadnienia Cauchy’ego jest całka y = x3 + 3x + 1 . Przykład 5.5. Rozważmy równanie y · y 00 = (y 0 )2 . Stosując podstawienie y 0 = v(y) ⇒ y 00 = v 0 · v , otrzymujemy yv 0 v = v 2 v y dv dy = v y ⇒ v0 = ⇒ ln |v| = ln |y| + ln |C1 | ⇒ ⇒ ⇒ Z dv = v Z dy y ⇒ v = C1 · y . Ponieważ v = y 0 , więc otrzymujemy y 0 = C1 · y ⇒ dy = C1 · dx y ⇒ ln |y| = C1 x + ln |C2 | 13 ⇒ y = C 2 · e C1 x . Opracowała: Małgorzata Wyrwas Budownictwo, sem. II rok akademicki 2008/2009 5.4 studia niestacjonarne MATEMATYKA - wykład Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego Definicja 5.6. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci: y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f (x) , (13) gdzie a1 , a2 i f są danymi funkcjami ciągłymi na (a, b). Jeśli f ≡ 0, to równanie (13) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli f 6≡ 0, to to równanie (13) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. 5.5 Układ fundamentalny całek (rozwiązań) Definicja 5.7. Rozwiązania y1 , y2 są liniowo niezależne na przedziale (a, b) ⇔ dla każdego x ∈ (a, b) spełniony jest warunek y (x) y (x) 1 2 (14) 0 6= 0 y1 (x) y20 (x) Wyznacznik występujący w (14) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (lub wrońskianem) i ozn. symbolem W [y1 , y2 ](x). Definicja 5.8. Układem fundamentalnym całek (rozwiązań) nazywamy układ liniowo niezależnych rozwiązań. 5.6 Całka ogólna (rozwiązanie ogólne) liniowego równania niejednorodnego Niech całki y1 , y2 będą fundamentalnym układem rozwiązań równania y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = 0 , RJ wówczas całka ogólna równania RJ jest kombinacją liniową tych rozwiązań, tzn. y = C 1 y1 + C 2 y2 . Twierdzenie 5.9. Niech y1 , y2 , . . . , yn – liniowo niezależne rozwiązania równania RJ na przedziale (a, b) ⊆ R ys – całka szczególna RN. Wtedy całka ogólna równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać y = C 1 y1 + C 2 y2 + y s , czyli CORN = CORJ 14 + CSRN . Opracowała: Małgorzata Wyrwas Budownictwo, sem. II rok akademicki 2008/2009 5.7 MATEMATYKA - wykład studia niestacjonarne Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach Definicja 5.10. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y 00 + py 0 + qy = f (x) , (15) gdzie p, q ∈ R zaś f jest daną funkcją ciągłą na (a, b). Jeśli f ≡ 0, to równanie (15) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli f 6≡ 0, to to równanie (15) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. 5.8 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego II-ego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie y 00 + py 0 + qy = f (x) , RN szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: y 00 + py 0 + qy = 0 RJ Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y = erx Wtedy y = erx y 0 = rerx y 00 = r 2 erx i podstawiając funkcję y do RJ otrzymujemy równanie r 2 + pr + q = 0 zwane równaniem charakterystycznym. Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0 (?) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Pierwiastki (?) ∆>0 ∆=0 ∆<0 r1 = 6 r2 r0 r1,2 = α ± βi Całki szczególne RJ y1 y1 y1 y2 = e r1 x , y 2 = e r2 x = er0 x , y2 = xer0 x = eαx sin βx = eαx cos βx 15 Całka ogólna RJ y = C 1 e r1 x + C 2 e r2 x y = C1 er0 x + C2 xer0 x y = C1 eαx sin βx + C2 eαx cos βx Opracowała: Małgorzata Wyrwas Budownictwo, sem. II rok akademicki 2008/2009 MATEMATYKA - wykład studia niestacjonarne W celu znalezienia rozwiązania liniowego równania różniczkowego niejednorodnego rzędu drugiego postaci y 00 + py 0 + qy = f (x), p, q ∈ R stosujemy na przykład Metodę wpółczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) która polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: CORN = CORJ + CSRN . Metodę stosujemy, gdy równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (p, q ∈ R) f (x) = wielomian stopnia n lub f (x) jest sumą lub iloczynem funkcji obok. a sin ωx + b cos ωx aeλx , Przewidywane postacie całki szczególnej y s (x) równania y 00 + py 0 + qy = f (x), , RN p, q ∈ R Niech λ + ωi, λ, ω ∈ R, będzie k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0. Wówczas Postać f (x) Postać przewidywana ys (x) Pn (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 a · eλx Pn (x) · eλx a cos ωx + b sin ωx Pn (x) cos ωx + Qm (x) sin ωx, n>m Pn (x)eλx cos ωx + Qm (x)eλx sin ωx,n>m xk (An xn + . . . + A1 x + A0 ) Axk eλx xk (An xn + . . . + A0 )eλx xk · (A cos ωx + B sin ωx) xk · Wn (x) cos ωx + xk · Mn (x) sin ωx xk · Wn (x)eλx cos ωx + xk · Mn (x)eλx sin ωx gdzie Wn (x) = An xn + . . . + A0 i Mn (x) = Bn xn + . . . + B0 Przykład 5.11. y 00 − 5 · y 0 + 6y = x2 + 8 =⇒ ys (x) = Ax2 + Bx + C y 00 − 5 · y 0 + 6y = x · ex =⇒ ys (x) = (Ax + B) · ex y 00 −5 · y 0 +6y = x · e3x =⇒ ys (x) = x·(Ax + B)·e3x y 00 − 4 · y 0 + 4y = x · ex =⇒ ys (x) = (Ax + B) · ex y 00 − 4 · y 0 + 4y = x · e2x ⇒ ys (x) = x2 (Ax + B) · e2x y 00 + 9y = sin 3x =⇒ ys (x) = Ax sin 3x + Bx cos 3x 16 Opracowała: Małgorzata Wyrwas Budownictwo, sem. II rok akademicki 2008/2009 studia niestacjonarne MATEMATYKA - wykład Innym sposobem wyznaczenia całki równania postaci y 00 + py 0 + qy = f (x), p, q ∈ R jest Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcje y1 (x), y2 (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y 00 + py 0 + qy = 0, p, q ∈ R , y 00 + py 0 + qy = f (x), p, q ∈ R , ma postać to całka ogólna równania RN y(x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) , gdzie C1 (x), C2 (x) jest dowolnym rozwiązaniem układu " # " # " # y1 (x) y2 (x) C10 (x) 0 · = . 0 0 0 y1 (x) y2 (x) C2 (x) f (x) Przykład 5.12. Rozważmy równanie y 00 − y = e2x (16) 8 . +1 Równanie jednorodne y 00 − y = 0 ma następujące równanie charakterystyczne r 2 − 1 = 0 , którego pierwiastkami są r1 = 1 i r2 = −1 . Zatem CORJ ma postać y = C1 ex + C2 e−x , CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y = C1 (x)ex + C2 (x)e−x , W celu wyznaczenia funkcji C1 (x), C2 (x) rozwiązujemy układ: ex C10 (x) + e−x C20 (x) = 0 ex C10 (x) − e−x C20 (x) = e2x 8 +1 . 4e−x ⇒ C1 (x) = −4e−x − 4 arc tg ex + C̃1 e2x + x1 4e C20 (x) = − 2x ⇒ C2 (x) = −4 arc tg ex + C̃2 e +1 Wtedy C10 (x) = y(x) = C̃1 ex + C̃2 e−x − 4 − 4ex arc tg ex − 4e−x arc tg ex 17 Opracowała: Małgorzata Wyrwas Budownictwo, sem. II rok akademicki 2008/2009 6 studia niestacjonarne MATEMATYKA - wykład Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Definicja 6.1. Układ równań postaci y 0 = a (x)y + a (x)y + h (x) 11 1 12 2 1 1 y 0 = a (x)y + a (x)y + h (x) 21 1 22 2 2 2 (17) , nazywamy układem dwóch równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Funkcje a ij , gdzie i, j = 1, 2 nazywamy współczynnikami , funkcje h 1 i h2 wyrazami wolnymi tego układu. Jeśli h1 ≡ 0 i h2 ≡ 0, to układ (17) nazywamy jednorodnym i oznaczamy UJ. Jeśli h1 6≡ 0 i h2 6≡ 0, to to układ (17) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy UN Jeżeli aij (x) ≡ aij = const, gdzie i, j = 1, 2, to układ (17) nazywamy układem równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego o stałych współczynnikach. Definicja 6.2. Rozwiązaniem układu równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego na przedziale (a, b) nazywamy funkcje y1 (x), y2 (x), które podstawione do układu (17) dają tożsamość dla wszystkich wartości x ∈ (a, b). Uwaga 4. W celu rozwiązania układu (17) można zastosować metodę eliminacji , która sprowadza układ (17) do równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu z jedną tylko funkcją niewiadomą. Przykład 6.3. Dwa stulitrowe zbiorniki Y1 i Y2 , z których pierwszy zawiera 10% wodny roztwór soli, a drugi czysta wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającymi przepływ cieczy między nimi. Przy czym pierwszą rurą roztwór przepływa w jedną stronę, a drugą odwrotnie. Przepływy te odbywają się z prędkością 2 litrów na minutę. Określić ilość soli y 1 (t) i y2 (t) odpowiednio w zbiornikach Y1 i Y2 . Przyjąć, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jest natychmiastowy. Y1 Y2 10% soli y1 (t) - ilość soli w zbiorniku Y1 w litrach w chwili t; y2 (t) - ilość soli w zbiorniku Y2 w litrach w chwili t. y10 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 1 ; y20 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 2 . l l W chwili t do zbiornika Y1 wpływa 0,02y2 (t) min oraz wypływa 0,02y1 (t) min soli. l l Ponadto w chwili t do zbiornika Y2 wpływa 0,02y1 (t) min oraz wypływa 0,02y2 (t) min soli. Zatem przebieg procesu w danych zbiornikach można opisać: y 0 = −0,02y + 0,02y 1 2 1 y 0 = 0,02y − 0,02y 1 2 2 z warunkami początkowymi y1 (0) = 10 i y2 (0) = 0. 18 Opracowała: Małgorzata Wyrwas