WZORY DO WYZNACZANIA PRZEMIESZCZEŃ

WZORY NUMERYCZNEGO OBLICZANIA CAŁEK
STOSOWANE PRZY WYZNACZANIU PRZEMIESZCZEŃ
Całki występujące we wzorach stosowanych do wyznaczania przemieszczeń mogą być obliczane jako
Mi ⋅M F
Mi ⋅M F
⋅ dx = ∑ ∫
⋅ dx ,
sumy całek obliczanych w przyjętych przedziałach całkowania np. ∫
EI
EI j
j Lj
gdzie L j jest długością j-tego przedziały całkowania. Jeśli dodatkowo w przedziale całkowania
EI j = const
Mi ⋅M F
1
∫ EI ⋅ dx = EI
i
i
Li
to
i
Uwzględniając, że M oraz M
i wprowadzając oznaczenia:
F
∫M
i
⋅ M F ⋅ dx .
Li
są funkcjami współrzędnej x mierzonej wzdłuż osi pręta
M F (x )
F (x ) =
i f (x ) = M i (x )
gdy EI j = EI j ( x)
EI ( x )
F (x ) = M F (x ) i f (x ) = M i (x )
obliczanie całek w poszczególnych przedziałach sprowadza się
do obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji.
Funkcje F ( x ) i f ( x ) mogą oczywiście oznaczać dowolne
wielkości to jest siły osiowe, siły tnące, zmiany temperatury itd.
Do obliczania tych całek można stosować wzory całkowania
numerycznego np. wzór Simpsona, wzór trapezów, wzór Mohra
lub inne.
gdy EI j = const
L
L/2
L/2
x0 F
Fp
F (x )
Fs
fp
fs
f (x )
f (x0 F )
WZORY DLA JEDNEGO PRZEDZIAŁU CAŁKOWANIA
L
Wzór Simpsona
∫ F (x ) ⋅ f (x ) ⋅ dx = 6 F p ⋅ f p + 4 Fs ⋅ f s + Fk ⋅ f k
L
Wzór trapezów
∫ F (x ) ⋅ f (x ) ⋅ dx = 6 2 ⋅ F p ⋅ f p + Fk ⋅ f k + F p ⋅ f k + Fk ⋅ f p
Wzór Mohra (Wereszczagina)
∫ F (x ) ⋅ f (x ) ⋅ dx = Ω F ⋅ f (x0 F )
(
[ (
gdzie
Fk
fk
x
x
)
)
]
L - długość przedziału,
F p , f p - wartości funkcji na początku przedziału,
Fs , f s - wartości funkcji w środku przedziału,
Fk , f k - wartości funkcji na końcu przedziału,
Ω F - pole wykresu funkcji F ( x) w przedziale całkowania,
f ( x0 F ) - wartość funkcji f ( x) w punkcie x0 F , w którym znajduje się środek ciężkości funkcji F ( x) .
ZAŁOŻENIA
Jeśli funkcje podcałkowe spełniają podane poniżej warunki to wyniki uzyskane z
zastosowaniem tych wzorów są wynikami dokładnymi.
Funkcja f ( x ) jest ciągła i gładka (ma ciągłą pochodną) i najwyżej liniowa
f (x ) = a f ⋅ x + b f
Funkcja F ( x )
we wzorze Simpsona jest ciągła i gładka wraz z pochodnymi i najwyżej drugiego stopnia
F ( x ) = a F ⋅ x 2 + bF ⋅ x + c F
we wzorze trapezów jest ciągła i gładka i najwyżej liniowa
F ( x ) = a F ⋅ x + bF
we wzorze Mohra (Wereszczagina) jest dowolna ale taka, dla której znane jest położenie środka
ciężkości (współrzędna x0 F ).
W przeciwnym razie uzyskany wynik obarczony jest błędem zależnym od tego w jakim
stopniu funkcje podcałkowe nie spełnieniają przedstawionych powyżej warunków.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1