globalne obliczanie całek po obszarze w purc dla dwuwymiarowych

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
33, s.181-186, Gliwice 2007
ISSN 1896-771X
GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC
DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH
MODELOWANYCH RÓWNANIEM NAVIERA-LAMEGO I POISSONA
EUGENIUSZ ZIENIUK, KRZYSZTOF SZERSZEŃ, AGNIESZKA BOŁTUĆ
Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku
Sosnowa 64, 15-887 Białystok
e-mail: {ezieniuk, aboltuc, kszerszen}@ii.uwb.edu.pl
Streszczenie. W pracy przedstawiono globalny sposób numerycznego obliczania
całek powierzchniowych w dwuwymiarowych zagadnieniach brzegowych.
Prezentowana technika opiera się na matematycznym zdefiniowaniu obszarów za
pomocą parametrycznych płatów powierzchniowych oraz wykorzystaniu
kwadratur całkowania numerycznego wyższych rzędów. Praktyczną realizację
proponowanej procedury przedstawiono dla zagadnień brzegowych definiowanych
równaniem Poissona.
1. WSTĘP
Do modelowania szerokiej klasy zagadnień z mechaniki ciała stałego jest stosowane między
innymi tradycyjne równanie przemieszczeniowe Naviera-Lamego. Równanie to służy do
modelowania liniowych zagadnień mechaniki i charakteryzuje się obecnością w nim sił
masowych. Jest ono najczęściej rozwiązywane metodami numerycznymi, takimi jak metoda
elementów skończonych (MES) oraz metoda elementów brzegowych (MEB). Siły masowe
dosyć często w praktycznych obliczeniach są jednak pomijane, szczególnie jest to zauważalne
przy zastosowaniu MEB [1]. Jest to podyktowane tym, że w MEB nie stosuje się
dyskretyzacji obszaru, a jedynie dyskretyzację jego brzegu.
Uwzględnienie jednak sił masowych w MEB pociąga za sobą konieczność obliczania całek
po obszarze. Praktycznie ich obliczenie tradycyjnymi metodami numerycznymi sprowadza się
do podzielenia tego obszaru na tzw. komórki. Podzielenie obszaru na komórki z technicznego
punktu widzenia jest bardzo zbliżone do podzielenia go na tzw. elementy skończone
stosowane w MES. Różnica sprowadza się tylko do innego ich przeznaczenia. W MES
elementy służą do ułatwienia aproksymacji rozwiązań w węzłach należących do elementów
skończonych, modelujących w sposób dyskretny rozpatrywany obszar. Komórki natomiast
w MEB służą tylko do ułatwienia numerycznego obliczania całek po obszarze. Całki te są
obliczane na podstawie zsumowania całek z poszczególnych komórek, na które został
podzielony rozpatrywany obszar.
We własnych pracach do rozwiązywania zagadnień brzegowych otrzymano parametryczny
układ równań całkowych (PURC) [5]. Główną cechą PURC jest fakt, iż geometria brzegu jest
uwzględniona w jego formalizmie matematycznym. Dlatego też w celu praktycznego
182
E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ
zdefiniowania obszarów zadawane są tylko: punkty narożne w przypadku segmentów
liniowych oraz punkty brzegowe do wykreowania segmentów krzywoliniowych. Liczba tych
punktów jest znacząco mniejsza niż liczba węzłów w przypadku MEB, ponadto
zamodelowany w ten sposób brzeg jest brzegiem ciągłym. Zastosowana metoda do
rozwiązania PURC pozwala na otrzymanie rozwiązań w dowolnym punkcie na brzegu
z wysoką dokładnością. Dotychczas otrzymane PURC dotyczyły równania Laplace’a
i Helmholtza, czyli równań, w których nie zachodziła potrzeba całkowania po obszarze.
Ostatnio rozwijany PURC dotyczył równania przemieszczeniowego Naviera-Lamego [5], ale
w celu pozbycia się całkowania po obszarze pominięte zostały siły masowe.
Celem niniejszej pracy jest zaproponowanie i przetestowanie techniki obliczania całek
powierzchniowych (występujących w PURC), polegającej na obliczaniu tych całek w sposób
globalny, czyli bez dzielenia obszaru na komórki. Technika ta jest testowana głównie na
zagadnieniach modelowanych równaniem Poissona, mających rozwiązania dokładne.
Zaproponowana technika, w odróżnieniu od techniki stosowanej w tradycyjnej MEB,
charakteryzuje się tym, że nie wymaga dzielenia obszaru na komórki. W zaproponowanym
sposobie obszar jest traktowany globalnie jako makroelement (czyli jedna komórka). Tylko
w przypadkach bardzo skomplikowanych obszarów dopuszczalne jest jego podzielenie na
niewielką liczbę podobszarów. Sposób ten dla rozpatrywanych przykładów okazał się bardzo
efektywny, ponadto zamieszczone przykłady numeryczne potwierdzają wysoką dokładność
zaproponowanej metody w porównaniu z rozwiązaniami analitycznymi.
2. GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC
Dwuwymiarowe zagadnienie brzegowe modelowane równaniem Naviera-Lamego,
w obszarach wielokątnych może być rozwiązywane za pomocą PURC, przedstawionym w [5],
natomiast w obszarach krzywoliniowych za pomocą równania przedstawionego w [6]. W obu
tych przypadkach w celu uproszczeń w trakcie otrzymywania PURC zostały pominięte siły
masowe. Stosując sposób przedstawiony w tych pracach do modyfikacji BRC
z uwzględnieniem sił masowych, otrzymano PURC w następującej postaci
n
0.5u p ( s1 ) = ∑
∫ {U
sr
r =1 s r −1
∗
pr
}
(s1 , s ) p r ( s ) − Ppr (s1 , s )ur ( s ) J r ( s )ds + ∫ U *p (s1 , y )b( y )dΩ( y ), (1)
Funkcje podcałkowe U pr oraz Ppr
∗
∗
Ω
(w pierwszej całce) w jawnej postaci zostały
przedstawione w [5,6], natomiast funkcja U *p dla całki po obszarze Ω ma następującą postać
η 12

ν
η
−
−
(
3
4
)
ln(
)

1
η2

U p* ( s1 , y ) = −
ηη
8π (1 − ν ) µ 
− 1 22

η
η 1η 2
η2


 , p = 1,2,.....n
η 22 
(3 − 4ν ) ln( η ) − 2
η 
−
(2)
gdzie
η = [η12 + η 22 ]0.5 , η 1 = y1 − Γp(1) ( s1 ) oraz η 2 = y 2 − Γ p( 2 ) ( s1 ).
W formule (1) obok całek przedziałowych zdefiniowanych na linii prostej
w parametrycznym układzie odniesienia dodatkowo pojawia się druga całka po obszarze Ω .
Całka ta też pojawiała się i w tradycyjnej MEB. Była ona obliczana na dwa różne sposoby,
w niektórych szczególnych przypadkach w zależności od postaci funkcji podcałkowej można
było ją sprowadzić do całki po brzegu [1].
GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC...
183
W większości przypadków jednak bardziej ogólnym sposobem jest bezpośrednie
całkowanie po obszarze Ω . W celu przeprowadzenia tego całkowania obszar ten był dzielony
na komórki. Taki podział wizualnie jest bardzo podobny do podziału obszaru na elementy
skończone stosowane w tradycyjnej MES, niezależnie jednak od tego podobieństwa
merytorycznie podział ten ma zupełnie inne przeznaczenie. Obliczenie całki po obszarze
praktycznie sprowadza się do obliczenia całek na poszczególnych komórkach, a następnie na
zsumowaniu otrzymanych wartości. Całki na poszczególnych komórkach obliczane są na
podstawie numerycznych kwadratur niższego rzędu, z niewielką liczbą współczynników.
W tym celu wykorzystywany jest następujący wzór [1]
E
N
B = ∫ F ( y ) dΩ( y ) ≈∑  ∑ wn F ( yn )  ,
(3)
e =1  n =1
e
Ω
przy czym wn jest wagą, natomiast F ( yn ) całkowaną funkcją obliczaną dla n -tego
współczynnika zastosowanej kwadratury, E - liczbą komórek, na które podzielono obszar.
Celem niniejszej pracy jest przedstawienie nowej techniki obliczania niektórych całek po
obszarze Ω , opartej na globalnym traktowaniu obszaru, czyli bez konieczności dzielenia jego
na komórki. Realizacja tego celu stała się możliwa dzięki:
- zastosowaniu kwadratur wysokiego rzędu do całkowania numerycznego [4],
- wykorzystaniu płatów powierzchniowych (stosowanych w grafice komputerowej) do
modelowania obszaru Ω [2].
W takim przypadku formuła (3) całkowania numerycznego może być zredukowania do
następującego wyrażenia
M
B = ∫ F ( y ) dΩ( y ) ≈ ∑ wm F ( y m ) ,
Ω
(4)
m =1
przy czym wm jest wartością wagową, zaś F ( ym ) wartością całkowanej funkcji określoną dla
m -tego współczynnika kwadratury całkowania numerycznego wyższego rzędu M .
Kolejnym problemem przy obliczaniu całki po obszarze pozostaje praktyczne
uwzględnianie tego obszaru w całce. Na podstawie drugiej całki we wzorze (1) możemy
stwierdzić, że obszar Ω , po którym obliczamy całkę w sposób bezpośredni, nie jest
uwzględniony w formalizmie matematycznym tej całki. Na podstawie tej całki możemy tylko
stwierdzić, że y ∈ Ω , ale rozpatrywany obszar musi być dodatkowo zdefiniowany, aby można
było po nim obliczyć całkę. Dlatego też modelowanie obszarów za pomocą komórek należy
traktować jako pośredni sposób uwzględnia obszarów w całkach po obszarze.
Do bezpośredniego uwzględniania obszaru Ω w całkach zaproponowano trójwymiarowe
płaty powierzchniowe (Coonsa, Beziera) stosowane w grafice komputerowej [2]. Płaty te są
bardzo efektywne, ponieważ za pomocą niewielkiej ilości punktów kontrolnych możemy
kreować ich kształt w przestrzeni trójwymiarowej. W związku z tym, że w całkach obszary są
płaskie, płaty powierzchniowe (Coonsa, Beziera) zostały sprowadzone do płaszczyzny przez
wyzerowanie jednej współrzędnej. Dlatego też w płatach powierzchniowych Coonsa lub
Beziera stosowanych do modelowania obszarów w całkach po obszarze należy przyjąć, że
y 3 = 0 , natomiast za y1 oraz y 2 należy podstawić wzory wynikające z płatów
powierzchniowych Coonsa lub Beziera przedstawianych w postaci parametrycznej.
Przykładowo dla płatów Coonsa w (2) należy podstawiać następujące wyrażenia [2]
y j = (1 − v )(1 − w )P1 ( y j ) + (1 − v )wP2 ( y j ) + vwP3 ( y j ) + v (1 − w )P4 ( y j ),
(5)
v, w ∈ [0,1], j = 1,2
gdzie Pi ( y j ) , (i = 1,2,3,4 ) są odpowiednio kolejnymi współrzędnymi punktów kontrolnych.
184
E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ
2.1. Modelowanie i modyfikowanie obszarów za pomocą płatów
W proponowanym sposobie całkowania obszar jest globalnie zdefiniowany w całce
w postaci pojedynczej makrokomórki opisanej sparametryzowanym płatem powierzchni. Na
rys. 1 przedstawiono trzy obszary modelowane płatami powierzchni Beziera i Coonsa.
Charakterystyczną cechą rozpatrywanych płatów jest możliwość efektywnego modelowania
i modyfikowania kształtu obszarów w sposób globalny, za pomocą niewielkiego zbioru
punktów kontrolnych. Kolejną zaletą wprowadzonych płatów jest też łatwość analitycznego
obliczenia jakobianu. Płaty powierzchniowe dają możliwość zamodelowania obszaru w sposób
globalny, czyli bez dzielenia na komórki. Całkowanie jednak po tak dużych obszarach wymaga
zastosowania kwadratur wyższego rzędu. W dotychczasowej literaturze, między innymi
w [1,3], można znaleźć głównie współczynniki wi dla kwadratur niższego rzędu, jakie były
stosowane do całkowania po komórkach, na które został podzielony obszar.
W pracy z 2003 roku [4] przedstawiono zestawione tabelarycznie współczynniki wi dla
kwadratur wyższego rzędu. Podano wartości 85, 126 oraz 175 współczynników dla kwadratur
zdefiniowanych na powierzchni trójkątnej. Dodatkowo na podstawie zawartych w tej pracy
wzorów możliwe jest bezpośrednie wygenerowanie współczynników dla kwadratury
dowolnego rzędu M . Umożliwia to bezpośrednią ich generację w programie komputerowym
oraz elastyczny dobór liczby niezbędnych współczynników.
3. PRZYKŁADY TESTOWE
Zaproponowana metoda była testowana na równaniu Poissona zdefiniowanym na różnych
obszarach przedstawionych na rys.1, modelowanych za pomocą różnych płatów
powierzchniowych. Zbadano też wpływ globalnego modelowania obszarów i obliczania całek
po obszarze na wyniki rozwiązań uzyskiwane za pomocą PURC w porównaniu
z rozwiązaniami dokładnymi.
a)
b)
c)
Rys. 1. Modelowanie obszaru: a) trójkątnym płatem Beziera, b) prostokątnym i trójkątnym
płatem Coonsa, c) zmodyfikowanym prostokątnym płatem Beziera
Wyniki obliczeń PURC uzyskane w wybranych punktach na brzegu dla każdej z trzech
geometrii z rys.1 zestawiono w przedstawionych poniżej tabelach. W każdym z przykładów
zadawano warunki brzegowe typu Dirichleta w postaci jawnej. Dla obszaru trójkątnego
(rys.1a) na brzegu zadano warunek w postaci elementarnej funkcji u ( x1 , x 2 ) = x12 + x 22 ,
natomiast w postaci bardziej złożonej u ( x1 , x 2 ) = x13 + x 23 + 3x1 x 22 + 3x12 x 2 dla obszarów
z rys.1b,c. Rozwiązania otrzymane na brzegu za pomocą PURC porównywano z warunkami
Neumanna (kolumna 3), analitycznie otrzymanymi na podstawie zadanych warunków
GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC...
185
Dirichleta. W kolumnach czwartej i piątej przedstawiono błąd rozwiązań PURC w stosunku
do wartości dokładnych z kolumny 3 w zależności od podanej w nawiasie liczby
rozwiązywanych równań algebraicznych.
Tabela 1. Wyniki na brzegu dla obszaru trójkątnego z rys.1a
PURC
Punkt
Rozwiązanie
Nr. obliczeniowy( x , x )
Błąd rozwiązań [%] Błąd rozwiązań [%]
dokładne
1
2
(12 równań)
(24 równania)
1
(2.55, 0.45)
4.24264
0.00736
0.05729
2
(2.1, 0.9)
4.24264
0.00258
0.00876
3
(1.65, 1.35)
4.24264
0.00710
0.02227
4
(1.2, 1.8)
4.24264
0.00620
0.00884
5
(0.75, 2.25)
4.24264
0.00013
0.00429
6
(0.3, 2.7)
4.24264
0.01189
0.03144
Tabela 2. Wyniki na brzegu dla obszaru modelowanych płatami Coonsa z rys.1b
PURC
Punkt
Rozwiązanie
Nr. obliczeniowy( x , x )
Błąd rozwiązań [%] Błąd rozwiązań [%]
dokładne
1
2
(16 równań)
(24 równania)
1
(2.55, 3)
92.40750
0.00002
0.00031
2
(2.1, 3)
78.03000
0.00005
0.00029
3
(1.65, 3)
64.86750
0.00009
0.00022
4
(1.2, 3)
52.92000
0.00008
0.00007
5
(0.75, 3)
42.18750
0.00002
0.00062
6
(0.3, 3)
32.67000
0.00006
0.00015
Tabela 3. Wyniki na brzegu dla obszaru modelowanych płatem Beziera z rys.1c
PURC
Punkt
Rozwiązanie
Nr. obliczeniowy( x , x )
Błąd rozwiązań [%] Błąd rozwiązań [%]
dokładne
1
2
(16 równań)
(32 równania)
1
(0.62885, 4.88658)
-119.29000
0.00265
0.00106
2
(2.34363, 2.34363)
-93.19290
0.00020
0.00157
3
(4.88658, 0.62885)
-119.29000
0.00265
0.00106
4
(8.0, 1.24672)
256.96100
0.00177
0.00020
5
(8.0, 2.49625)
330.56700
0.00015
0.00045
6
(8.0, 3.74766)
413.60300
0.00101
0.00021
Analiza uzyskanych rozwiązań na brzegu wskazuje na ich dużą zbieżność w stosunku do
wartości dokładnych. Zostało to osiągnięte przy niewielkiej liczbie rozwiązywanych równań
algebraicznych (od 12 do 32 równań) oraz zaproponowanym globalnym sposobie całkowania
całek po obszarze.
4. WNIOSKI
Przedstawione w tabelach wyniki potwierdzają słuszność globalnego obliczania całek po
obszarze w PURC modelowanych za pomocą płatów powierzchniowych. Takie ich obliczanie
nie wymaga jego dzielenia na komórki. Wymaga jednak stosowania do numerycznego
całkowania kwadratur wyższego rzędu. Ważną zaletą proponowanej techniki jest też łatwość
186
E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ
modyfikowania obszarów za pomocą punktów kontrolnych. Okazało się na podstawie
przeprowadzonych testów, że nieznaczna modyfikacja brzegu globalnego obszaru trójkątnego
(rys.1a) nie miała wpływu na pogorszenie wyników niezależnie od tego, że współczynniki do
kwadratury były stosowane dla obszaru trójkątnego. W przypadkach bardziej
skomplikowanych obszarów dopuszczalne jest podzielenie obszaru na niewielką liczbę
podobszarów (rys. 1b). Bardzo interesujący jest przykład z obszarem pokazany na rys.1c. Do
jego globalnego zamodelowania wstępnie był wykorzystany płat kwadratowy Beziera oraz
współczynniki kwadratury również dla obszaru kwadratowego. Następnie ten płat został za
pomocą punktów kontrolnych dość znacznie zmodyfikowany do kształtu pokazanego na
rys.1c. Modyfikacja obszaru, jak się okazało na podstawie uzyskanych obliczeń, nie ma
negatywnego wpływu w tym przykładzie na dokładność uzyskiwanych rozwiązań.
Praca naukowa finansowana ze środków budżetowych na naukę w latach 2005-2007 jako
projekt badawczy 3T11F01528.
LITERATURA
1. Brebbia C. A., Telles J. C. F., Wrobel L. C.: Boundary element techniques, theory and
applications in engineering. New York: Springer, 1984.
2. Foley J. D.: Wprowadzenie do grafiki komputerowej. Warszawa: WNT 2001.
3. Lyness J., Jespersen D.L.: Moderate degree symmetric quadrature rules for the triangle. “Journal of the Institute of Mathematics and its Applications”, Volume 15, Number 1, February 1975, s. 19-32.
4. Wandzura S., Xiao H.: Symmetric quadrature rules on a triangle. “Computers and
Mathematics with Applications”, Volume 45, s. 1829-1840, 2003.
5. Zieniuk E., Bołtuć A.: Non-element method of solving 2D boundary problems defined
on polygonal domains modeled by Navier equation.” International Journal of Solids
and Structures”, 2006, vol 43, s. 7939-7958.
6. Zieniuk E., Bołtuć A.: Krzywe Beziera w modelowaniu ciągłej geometrii brzegu
w zagadnieniach brzegowych opisywanych równaniem Naviera. Prace Naukowe
„Transport" Politechniki Radomskiej nr 3(23), Radom 2005, s.561-566.
GLOBAL COMPUTATION OF DOMAIN INTEGRALS
IN PIES FOR TWO-DIMENSIONAL BOUNDARY
PROBLEMS MODELLED
BY NAVIER-LAMÉ AND POISSON EQUATIONS
Summary. The paper presents a novel technique for global considerations
and numerical integration of domains in 2D boundary problems. It base on
computation of these integrals in global way, i.e. without division of the domain
into cells. In proposed approach the domain is treated globally as single parametric
surface and using numerical quadratures of high orders. Included numerical
examples for boundary problems described by Poisson confirm high accuracy of
proposed method compared with analytical results.