Repetytorium z matematyki –ćwiczenia

Transkrypt

Spis treści
1 Liczby rzeczywiste
1
2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy
4
3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej
6
4 Dziedzina i wartości funkcji
8
5 Funkcja liniowa i kwadratowa, przekształcanie wykresów
10
6 Przekształcanie wykresów, funkcja kwadratowa
12
7 Wielomiany, funkcje wymierne
14
8 Funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej.
16
9 Funkcja logarytmiczna zmiennej rzeczywistej.
17
10 Funkcje trygonometryczne
19
Gabriela Adamczyk, Anna Loranty, Aleksandra Karasińska, Renata Wiertelak
Zestaw 1. Liczby rzeczywiste
Oznaczenia:
R - zbiór liczb rzeczywistych;
N - zbiór liczb naturalnych;
Q - zbiór liczb wymiernych;
Z - zbiór liczb całkowitych;
C - zbiór liczb zespolonych.
Zadanie 1.1. Oblicz
√
1. 919 · 3−37
1
√5 ) 2
6. ( 4−
4+ 5
2.
3·9·27·38
311
3.
112 +222 +332
4.
5−3 ·57
7.
6−12 ·(65 )3
2520 ·63
8.
4912
72
7
56
· (74 )−7
√
(−3)0 −( 23 )−3
√
2−5 +( 2)2
√2 + √ 1 √
9. 2+
2− 2
2− 3
p
p
√
√ 2
Zadanie 1.2. Wykaż, że liczba ( 4 − 2 3 + 4 + 2 3) jest całkowita.
5.
Zadanie 1.3. Zapisz w prostszej postaci
1.
a2 −c2
c−a
2.
16b2 −8ab+a2
(4b−a)(2b+a)
3.
a2 −4ab+4b2
a2 −4b2
Zadanie 1.4. Oblicz wartość wyrażenia dla podanych wartości zmiennych:
1.
a2 −3a+c
a−c
2.
(x−y)(x+y)(x+z)(x−z)
x2 −y 2
dla a = 2, c = 3
dla x = 5, y = 1, z = 4.
Zadanie 1.5. Wyznacz każdą ze zmiennych z równości kx − 5 = 5(x − m) + n. Podaj warunki, przy
których jest to możliwe.
Zadanie 1.6. Zapisz podane wyrażenie w takiej postaci, aby symbol pierwiastka nie występował w
mianowniku.
1.
√ √
7− 3
√
21
4.
√ √
a− b
√ √
a+ b
2.
√
2−
√ 3
3+1
5.
√
3.
√ √
√5−√3
5+ 3
6.
√ ab √
a b+b a
a−b√
a− b
Zadanie 1.7. Sprawdź, czy wyrażenia są równe:
1.
abx3 −abx
(x−1)(x+1)
i abx
2.
a2 x2 −a2 y 2
x2 +y 2
i a2
3.
2
x−1
+1 i
x+1
x−1
Zadanie 1.8. Znajdź zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, R \ A. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.
1. A = [−3, 5], B = [−1, 7]
4. A = (−∞, 4], B = [3, +∞)
2. A = (1, 6), B = (−∞, 4)
5. A = [−7, 4], B = (0, 3)
3. A = [5, +∞), B = (0, 7)
6. A = (−∞, 5), B = (−∞, 2)
1
7. A = (−2, 5), B = {5}
8. A = [1, 7], B = {1}
9. A = (0, 3], B = {0, 3}
10. A = {x ∈ R :| x + 2 |< 3}, B = {x ∈ R :
(2x − 1)3 ≤ 8x3 − 13x2 + 6x + 3}
Zadanie 1.9. Zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów rozłącznych.
1. −2 < x < 7
7. R \ {3}
2. 3 ≥ x ≥ −3, 5
3. 12, 5 < x ≤
13 32
4. x > 3, 4
8. (−1, 4) \ [0, 2]
9. (−3, 2] \ N
5. −5 ≤ x
10. zbiór liczb rzeczywistych mniejszych od 5
6. (2, 5) \ {3}
11. zbiór liczb rzeczywistych nie mniejszych niż 35
12. zbiór liczb rzeczywistych większych od -7 i nie większych od 4.
Zadanie 1.10. Znajdź zbiory A ∪ (B \ C), (A \ B) ∩ C, gdzie
1. A = (−3, 1), B = [0, 5], C = (4, 7)
2. A = (7, +∞), B = (−∞, 7), C = [−1, 4]
3. A = (−∞, 4], B = (−6, 11), C = {2, 4, 8}
4. A = (2, ∞), B = (4, 7), C = (3, 9)
5. A = (−7, 4), B = {0, 2}, C = [−1, 3]
Zadanie 1.11. Wyznacz zbiór X \ A
1. A = (3, 6), X = R+
2. A = (1, 3) ∪ {5}, X = [0, 7)
3. A = {x ∈ Q : 0 < x ≤ 1}, X = {x ∈ Q : 0 < x ≤ 3}
4. A = (2, ∞), B = (4, 7), C = (3, 9)
5. A = (−7, 4), B = {0, 2}, C = [−1, 3]
Zadanie 1.12. Dane są zbiory A - zbiór liczb parzystych mniejszych niż 10, B - zbiór liczb pierwszych
większych od 5, C - zbiór liczb wymiernych mniejszych niż 8, D - zbiór liczb niewymiernych dodatnich.
Wskaż wśród zbiorów A ∩ B, A ∩ C, B ∩ D, C \ D, A \ C, B \ D zbiory puste.
Zadanie 1.13. Zapisz zadanie nie używając symbolu wartości bezwzględnej:
1. a2 − 2 | ab | +b2 , gdzie a, b < 0
2.
x+y
,
|x−y|
gdzie y > x
3. | 2x − 1 |, gdzie x < 0, 1
4. | x | + | y |, gdzie x > 2, y < −1
Zadanie 1.14. Zapisz przedział, który jest zbiorem elementów x spełniająch warunek:
2
1. | x |< 3 ∧ x ≥ 0
3. x ≥ 1∨ | x |< 4
2. x < 2∧ | x |≥ 3
4. x < 2∨ | x |≥ 1
Zadanie 1.15. Rozwiąż równanie:
1.
|2−3x|
2
− 3 | 3x − 2 | +5 = 0
5. | x − 5 |= 2x − 1
2. | 4x − 2 | +3 | 1 − 2x |= 4
6. || x | −3 |= 2
3. | x − 3 |= 2x
4. | x − 2 | + | x + 1 |= 3
7. |
x−2
3
|= 1
Zadanie 1.16. Rozwiąż nierówność:
1. | 2x − 2 |< 3
2. | 6 + 3x |> 4
5. | 2x + 3 |≤ x
6. | 2 − 5x | −3 ≥| 2x − 0, 8 |
3. | 2x − 3 |≤ 2
4. | 8 + 4x |≤ 0
7.
|x−2|
2
+
|2−x|
2
<1+
|3x−6|
2
Zadanie 1.17. Oblicz
1.
5
P
2n+2
3.
n=1
2.
4
P
i=1
7
P
(2i − 1)
i=3
1
i(i+1)
4.
6
P
2 · 3n−2
n=2
Zadanie 1.18. Rozwiąż równanie
1. x2 − 3x + 1 = x2 + x
2. x2 − 2x = 6x − 12
6. (x + 1)2 = x2
7. (9x2 − 6x + 1)(x2 − 25) = 0
3. x(2x + 3) − 6x − 9 = 0
4. 3x2 − x − 6x + 2 = 0
5. x2 − 6x = −9
8. (2 − 3x)2 (4x2 − 1) = 0
9. 2x2 − x − 1 = 0
Zadanie 1.19. Rozwiąż równanie
1. 2x4 − x3 + 6x2 − 3x = 0
4. (3x2 − 2x)2 = x2
2. 3x3 + 2x2 − 6x − 4 = 0
3. x3 − 3x − 2 = 0
5. 2x3 − 5x2 − 32x + 80 = 0
Zadanie 1.20. Rozwiąż nierówność
1. x(x − 3)(x + 2) > 0
2. −x2 (x − 1) < 0
5. x3 + 2x2 − 3x > 0
6. x3 + 3x2 + 3x + 9 ≤ 0
3. (2 − x)(x2 − 1)(x2 + 4) < 0
4. x(x + 1)2 (x − 2)3 ≥ 0
7.
x
x2 −5
≥
x−5
x−1
−1
3
Zestaw 2. Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy
1)
Sprawdź, czy punkty A(1, 2), B(−3, 10), C(−8, 25) są współliniowe
a) korzystając z równania prostej,
b) korzystając z własności odległości na płaszczyźnie.
2)
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej l : y = 2x + 1 przechodzącej
przez punkt A(0, 3).
3)
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej k : y = 4x − 1 przechodzącej
przez punkt B(1, 2).
4)
Dane są proste l : 4x − y + 1 = 0 k : (a + 1)x + 2y − 5 = 0 m : b2 x + y = 0.
Wyznacz wartości a oraz b wiedząc, że proste l i k są równoległe, zaś proste l i m
są prostopadłe.
5)
Wyznacz równanie prostej k przechodzącej przez punkt A(0, 0) i równoległej do
prostej l, gdy
a) l : y = 2x − 1,
b) l : y = x + 2,
c) l : y = x,
d) l : y = −x.
6)
Wyznacz równanie prostej k przechodzącej przez punkt A(0, 0) i prostopadłej do
prostej l, gdy
a) l : y = 2x − 1,
b) l : y = x + 2,
c) l : y = x,
d) l : y = −x.
4
7)
Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów określonych nierównościami:
a) y > 0,
b) x ≥ 0,
c) x + 1 > 0,
d) 2x − 4 ≥ 0,
e) | x |> 1
8)
a) x ≥ 1 oraz y ≤ 2
b) −2 ≤ x ≤ 0,
c) | x + 1 |< 2,
d) 2x − 4 ≥ 0 oraz 2y + 2 ≤ 0
e) | x + 1 |< 2 oraz | y − 1 |< 2
9)
a) x ≥ 1 lub y ≤ 2,
b) | x |< 2 lub | y |< 2.
10)
a) y ≥ x + 11,
b) x − 2 ≤ y ≤ x + 2,
c) | x |< 1 i y ≤ −x + 11,
d) x · y ≥ 0.
11)
Zaznacz na płaszczyźnie zbiory punktów:
a) {(x, y) ∈ R2 : y − x − 1 ≥ 0},
b) {(x, y) ∈ R2 :| y |≥ 3}.
5
Zestaw 3. Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej
Zadanie 3.1. Podaj współrzędne punktów przecięcia paraboli z osiami układów współrzędnych oraz
współrzędne wierzchołka paraboli o danym równaniu. Narysuj podane parabole na płaszcyźnie Oxy.
a) y = 3x2 + 3x − 6,
c) −3x2 − 9x + y − 6 = 0,
b) y = −3x2 + 3x + 6,
d) y = 2x − x2 .
Zadanie 3.2. Zapisz równanie paraboli o wierzchołku w poczatku ukladu współrzędnych, której osią
symetrii jest oś Oy i do której należy punkt o współrzędnych (2, 3).
Zadanie 3.3. Zapisz równanie paraboli, której osią symetrii jest prosta x = 1 i do której należy punkt
o współrzędnych (2, 0).
Zadanie 3.4. Dla jakich wartości parametry a prosta o równaniu y = a nie ma punktów wspólnych
z parabolą o równaniu:
a) y = 3x2 + 3x − 6,
c) −2x2 + 2x + y − 6 = 0,
b) y = −3x2 − 3x + 5,
d) y = 1 + 2x − x2 .
Zadanie 3.5. Sprawdź, które z punktów: A = (2, −6), B = (3, 0), C = (−3, −2), D = (3, 3),
E = (−3, 2), należą do okręgu o środku w punkcie O = (−2, 3) i promieniu r = 5.
Zadanie 3.6. Podaj, o ile istnieją, współrzędne punktów w których okrąg o danym równaniu przecina
osie układu współrzędnych.
a) x2 + y 2 = 9,
c) (x − 2)2 + (y − 3)2 = 6,
b) (x − 1)2 + (y + 4)2 = 25,
d) x2 + y 2 − 18 = 0.
Zadanie 3.7. Ile punktów wspólnych ma prosta x + y = 0 z okręgiem o równaniu x2 + y 2 = 4?
Wyznacz współrzedne tych punktów (o ile to możliwe).
Zadanie 3.8. Wyznacz środek i promień okręgu o równaniu:
a) (x + 3)2 + (y − 7)2 − 18 = 0,
c) x2 − 2x + y 2 + 8y + 17 = 49,
b) x2 + y 2 − 6x + 8y − 11 = 0,
d) x2 − 4x + y 2 − 6y + 7 = 0.
Zadanie 3.9. Jak położone są względem siebie okręgi?
a) (x−3)2 +(y−3)2 = 4 i (x−4)2 +(y−3)2 = 1,
c) (x−3)2 +(y−3)2 = 4 i (x−6)2 +(y−2)2 = 4,
b) (x−3)2 +(y−3)2 = 4 i (x−7)2 +(y−3)2 = 4,
d) (x+2)2 +(y−3)2 = 4 i (x−2)2 +(y−2)2 = 1.
Zadanie 3.10. Wyznacz odległość środka okręgu o równaniu (x + 3)2 + (y − 7)2 − 18 = 0 od prostej
o równaniu:
a) y = −2x + 3,
b) x + y − 1 = 0,
c) 3x + 2 = 7y.
6
Zadanie 3.11. Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań nierówności:
a) y − x2 + 4 < 0,
b) 2y + x2 + 4 < 0,
c) 2y + x2 − 2 ≤ 0.
Zadanie 3.12. Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań nierówności:
a) (x − 3)2 + (y − 3)2 ≤ 4,
b) (x − 3)2 + (y − 3)2 − 1 ≥ 0,
c) x2 − 2x + y 2 + 2y − 7 < 0.
Zadanie 3.13. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów opisane nierównościami:
a) (x − 3)2 + (y − 3)2 > 4 i y > x,
c) x2 − 2x + y 2 + 2y − 7 > 0 i y > 0 i x < 0,
b) (x − 3)2 + (y − 3)2 < 16 i y < 0,
d) x2 − 2x + y 2 + 2y − 7 > 0 i xy > 0.
Zadanie 3.14. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów:
a) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 9 ∧ y > x2 + 1},
d) {(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 ≤ 1∨(x−1)2 +y 2 ≥ 1},
b) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 16 ∧ x2 + y 2 > 9},
e) {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 2x2 + 4x − 1 ∧ y < x + 6},
c) {(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 ≤ 1∧(x−1)2 +y 2 ≥ 1},
f) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 2x2 + 4x − 1 ∧ y < x + 6}.
√ √
Zadanie 3.15. Sprawdź, które z punktów: A = (2, −6), B = (3, 0), C = (− 3, 2) należą do elipsy
2
2
o równaniu x9 + y3 = 1.
Zadanie 3.16. Napisz równanie elipsy o ogniskach F1 i F2 oraz wielkiej osi równej a jeśli:
a) F1 = (−2, 0), F2 = (2, 0) i a = 6,
c) F1 = (1, 0), F2 = (3, 0) i a = 4.
b) F1 = (0, −2), F2 = (0, 2) i a = 6,
Zadanie 3.17. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów opisane równaniem:
a)
x2
4
+
y2
9
(x−3)2
9
c) (x + 1)2 +
=1
y2
4
(y−1)2
4
= 1,
d) 9(x − 3)2 + 4y 2 − 36 = 0.
√ √
Zadanie 3.18. Sprawdź, które z punktów: A = (2, −6), B = (3, 0), C = (− 3, 2) należą do
2
2
hiperboli o równaniu x3 − y9 = 1.
b)
+
=1
Zadanie 3.19. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów opisane równaniem:
a)
x2
4
−
y2
9
=1
c)
y2
4
b)
x2
9
−
y2
4
=1
d) −9x2 + 4y 2 − 36 = 0.
−
x2
4
= 1,
Zadanie 3.20. Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów:
a) {(x, y) ∈ R2 : y 2 = 4x},
b) {(x, y) ∈ R2 :
x2
4
+
y2
9
< 1},
c) {(x, y) ∈ R2 :
x2
9
+
y2
4
≥ 1},
d) {(x, y) ∈ R2 : y 2 < 4x}.
7
Zestaw 4. Dziedzina i wartości funkcji
Zadanie 4.1. Sprawdź która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji f .
a) f (x) = 6 − x,
x ∈ [0, 5] ,
liczby −3, 0, 3, 6;
b) f (x) = 3x + 2, x ∈ [−2, 3],
liczby −2, 0, 3, 6;
c) f (x) = 2x − 7, x ∈ [−3, 5],
liczby −10, 0, 2, 6;
d) f (x) = 2 − 3x, x ∈ [−3, 4],
liczby −10, 0, 2, 6;
Zadanie 4.2. Z wypełnionego basenu o pojemności 4000 m3 spuszczono wodę. Prędkość odpływu wynosiła 20 m3 na minutę. Zapisz wzór funkcji liniowej przedstawiający
ilość wody w basenie wraz z upływem czasu. Określ dziedzinę tej funkcji i narysuj jej
wykres. Oblicz ile wody będzie po 160 minutach.
Zadanie 4.3. Długość torów kolejowych między miastem A i B wynosi 600 km. Pociąg towarowy wyrusza ze stacji A z prędkością 60 km/h. Zapisz wzór funkcji liniowej
przedstawiający odległość pociągu od miasta B w zależności od czasu. Określ dziedzinę
tej funkcji i narysuj jej wykres. Oblicz w jakiej odległości od miasta B będzie pociąg
po 6 godzinach.
Zadanie 4.4. Odległość między miastem A i B wynosi 400 km. Samochód wyrusza z
miasta A z prędkością 80 km/h. Zapisz wzór funkcji liniowej przedstawiający odległość
samochodu od miasta A w zależności od czasu. Określ dziedzinę tej funkcji i narysuj
jej wykres. Oblicz w jakiej odległości od miasta A będzie samochód po 3 godzinach.
Zadanie 4.5. Wyznacz dziedzinę podanej funkcji:
a) f (x) = (x − 5)(3 − x);
c) f (x) = 3 +
√
e) f (x) = 3x +
√
x−
√
x − 2;
d) f (x) =
1
;
x+2
f) f (x) =
2x + 5 1
+ ;
x−1
x
h) f (x) =
3 − 2x x + 3
+
;
1 + x2 x − 1
3x − 2
;
4 − x2
√
3x − 2
i) f (x) = 2
;
x −9
√
4x − 2
k) f (x) = √
;
9 − x2
g) f (x) =
b) f (x) = x3 − 3x + 7;
5 − x;
√
x+3
x2 − 4 + √
;
x−1
√
√
x+3
l) f (x) = 4x2 − 1 +
;
x−1
j) f (x) =
8
Zadanie 4.6. Naszkicuj wykres podanej funkcji i znajdź jej najmniejszą i największą
wartość.
a) f (x) = 2x + 3,
x ∈ [−3, 2];
b) f (x) = x2 − 4,
c) f (x) = |x + 3|,
x ∈ [−5, 2];
d) f (x) =
e) f (x) = (x − 1)3 ,
x ∈ [−1, 3];
√
x − 1,
f) f (x) = x3 − 1,
x ∈ [−2, 4];
x ∈ [1, 9];
x ∈ [−1, 3];
Zadanie 4.7. Naszkicuj wykres podanej funkcji i odczytaj z niego jej najmniejszą i
największą wartość.
(
x + 4 dla x > 0
a) f (x) =
,
x ∈ [−3, 2];
2x − 3 dla x ≤ 0
(
2x − 4 dla x ≥ 1
b) f (x) =
,
x ∈ [−2, 4];
3 − x dla x < 1
(
1 − x dla x < −1
c) f (x) =
,
x ∈ [−5, 2];
x − 1 dla x ≥ −1
(
2x + 3 dla x > 0
d) f (x) =
,
x ∈ [−3, 4];
3 − 2x dla x ≤ 0
Zadanie 4.8. Dla funkcji f (x) = x2 − 1 znajdź:
f (2), f (a) , f (a + 1), f (a − 1), f (2a), 2f (a).
9
Zestaw 5. Funkcja liniowa i kwadratowa, przekształcanie wykresów
Zadanie 5.1. Napisz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez podane punkty oraz
wyznacz jej punkty przecięcia z osiami ukadu współrzędnych.
a) A = (0, 0), B = (1, 4),
b) A = (−1, 3), B = (1, −3),
c) A = (1, 2, B = (−1, 4),
d) A = (2, 7), B = (7, 10),
Zadanie 5.2. Jaką liczbą powinno być m aby podana funkcja była rosnąca, malejąca,
stała.
a) f (x) = (m − 2)x − 3,
b) f (x) = (m + 1)x + 1,
c) f (x) = (2m − 1)x + 5,
d) f (x) = (3 − 2m)x − 5,
e) f (x) = (m2 + 1)x + 9,
f) f (x) = (m2 − 1)x + 4,
Zadanie 5.3. Rozwiąż równania i nierówności:
x+4
x+3 x−2
a)
−x+5=
−
,
5
3
2
b)
9x − 0, 7 5x − 1, 5 7x − 1, 1 5(0, 4 − 2x)
−
=
−
,
4
7
3
6
2
5
1
1
c) y − (12y − 18) + (4y − 8) = (3 − 9y) − 2,
3
6
12
9
2
4
1
1
d) y − (y − 2) + (y − 8) ≥ (y − 9),
3
5
12
9
x
e) −
2
3x
2
+ 1 2 + x+2
4
+
< 1,
4
3
1 − 3x
2−
2
f) x −
−
4
3
x
4
> 2,
Zadanie 5.4. Znajdź wszystkie liczby spełniające nierówności i należące do podanego
zbioru:
2
2x − 3 x
a) 3x + > 1 − x,
C− ;
b)
+ < 1,
N;
7
4
2
3 − 2x
1
c)
+ x ≥ −1,
R+ ;
d) 8x + 3 ≤ − x,
C− ;
3
2
10
Zadanie 5.5. Naszkicuj wykres podanej funkcji.
a) f (x) = |x − 3|,
b) f (x) = −|x + 2|,
c) f (x) = |2x − 3|,
d) f (x) = 2|x| − 3,
e) f (x) = 3 − 2|x|,
f) f (x) = |3 − 2|x||,
Zadanie 5.6. Przesuwając wykres funkcji g(x) = x2 narysuj wykres funkcji:
a) f (x) = x2 − 3,
b) f (x) = (x − 3)2 ,
c) f (x) = (x + 2)2 − 4,
d) f (x) = (x − 3)2 + 5,
e) f (x) = (x + 2)2 + 3,
f) f (x) = (x − 2)2 − 3,
Zadanie 5.7. Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Następnie ją
narysuj.
a) f (x) = 2x2 + 3x + 1,
b) f (x) = −3x2 + 4x + 2,
c) f (x) = 5x2 − 8x,
d) f (x) = 16x2 − 24x + 9,
e) f (x) = −2x2 + 1,
f) f (x) = −x2 + x − 1,
Zadanie 5.8. Znajdź funkcję kwadratową, której pierwiastkami są liczby:
a) 1 i 2, b)3 i -2, c) 2 i -3 , d) -3 i -4.
Zadanie 5.9. Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.
a) f (x) = x2 + x − 30,
b) f (x) = x2 − x − 20,
c) f (x) = −2x2 + 3x − 1,
d) f (x) = 2x2 − 3x − 20,
e) f (x) = 9x2 − 6x + 1,
f) f (x) = −2x2 − 8x − 8,
Zadanie 5.10. Napisz wzór funkcji, która powstała przez przesunięcie wykresu funkcji
f (x) = 3x2 o wektor ~u. Następnie narysuj jej wykres.
a) ~u = [−3, 2],
b) ~u = [2, −3],
c) ~u = [0, 3],
d) ~u = [−5, 0],
e) ~u = [−1, 3],
f) ~u = [2, 4],
11
Zestaw 6. Przekształcanie wykresów, funkcja kwadratowa
Zadanie 6.1. Przekształcając wykres funkcji f (x) narysuj wykresy funkcji:
f (−x), −f (x), |f (x)|, f (|x|).
a) f (x) = x2 − 4,
b) f (x) = (x − 4)2 ,
c) f (x) = 2x2 + 1,
d) f (x) = 2(x + 1)2 ,
e) f (x) = (x + 1)2 − 3,
f) f (x) = (x − 2)2 + 4,
g) f (x) = (x + 3)2 + 2,
h) f (x) = (x − 1)2 − 4,
Zadanie 6.2. Wyznacz funkcje h(x) = f (g(x)) oraz i(x) = g(f (x)), określ ich dziedziny i naszkicuj ich wykresy.
g(x) = x2 ;
a) f (x) = x + 3,
g(x) = 1 − 2x;
b) f (x) = x + 4,
c) f (x) = x2 + 1,
g(x) = x − 2;
d) f (x) = 2x + 3,
g(x) = x2 − 1;
f) f (x) = |x| − 1,
g(x) = 2 − x;
h) f (x) = |x| − 1,
g(x) = 3 − 2x;
e) f (x) = |x|,
g(x) = x + 2;
g) f (x) = |2x|,
i) f (x) =
√
x,
g(x) = x + 3;
g(x) = x − 1;
j) f (x) =
√
x,
g(x) = −x + 2;
Zadanie 6.3. Nie rozwiązując równań określ znaki pierwiatków:
a) x2 − 6x + 5 = 0,
b) x2 + 20x + 19 = 0,
c) x2 − 20x − 300 = 0,
d) 2x2 + 5x = −2,
e) 3x2 + 8x = 4,
f) 8x2 − 1 = 2x,
g) 4x2 + 5 = 10x,
h) 4x2 + 9x + 2 = 0,
12
Zadanie 6.4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale.
a) f (x) = 2x2 − x + 1,
x ∈ [0, 2];
d) f (x) = x2 + x − 6,
x ∈ [−3, 3];
b) f (x) = x2 − 9,
x ∈ [0, 4];
e) f (x) = x2 − 6x + 8,
x ∈ [−1, 2];
c) f (x) = x − x2 ,
x ∈ [0, 1];
f) f (x) = x2 − x − 12,
x ∈ [−2, 2];
Zadanie 6.5. Rozwiąż równanie dwukwadratowe.
a) x4 − 10x2 + 9 = 0,
b) x4 − 29x2 + 100 = 0,
c) x4 − 5x2 + 4 = 0,
d) x4 − 17x2 + 16 = 0,
e) 4x4 − 5x2 + 1 = 0,
f) 3x4 − 28x2 + 9 = 0,
g) 4x4 − 4x2 + 1 = 0,
h) 3x4 + 18x2 + 27 = 0,
i) 4x4 − 3x2 + 1 = 0,
j) x4 + 5x2 + 7 = 0,
Zadanie 6.6. Rozłóż na czynniki wyrażenia:
a) x4 − 13x2 + 36,
b) x4 − 125x2 + 484,
c) x4 − x2 − 2,
d) x4 + 3x2 − 4,
e) 4x4 + 3x2 − 1,
f) 3x4 − 2x2 − 1,
Zadanie 6.7. Znajdź wszystkie liczby spełniające nierówności i należące do podanego
zbioru:
a) −x2 + 3x − 12 < 0,
C;
b) −3x2 + x − 4 > 0,
c) −4x2 − 3x − 7 < 0,
N;
d) x2 − 6x + 5 ≤ 0,
C;
N;
e) x2 − 7x + 12 ≤ 0,
N;
f) x2 − 8x + 16 ≥ 0,
g) 3x2 + 4x − 4 ≤ 0,
C+ ;
h) x2 − 18x + 81 ≥ 0,
N;
j) −6x2 + 2x − 3 ≥ 0,
C− ;
i) −5x2 − 13x + 6 ≥ 0,
C− ;
C− ;
13
Zestaw 7. Wielomiany, funkcje wymierne
Zadanie 7.1. Dla wielomianu W (x) = x3 − 2x2 + 3x − 3 oblicz:
W (0), W (1), W (−1), W (a + 1), W (2a).
Zadanie 7.2. Rozwiąż równanie W (x + 1) = W (x − 1), jeżeli:
a) W (x) = x2 + 2x − 3,
b) W (x) = 2x2 + 3x + 1,
c) W (x) = x2 − 2x − 3,
d) W (x) = 2x2 + 5x + 2,
Zadanie 7.3. Sprawdź czy liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W .
a) W (x) = x3 − 3x2 + 3x − 2,
p = 2;
b) W (x) = 2x4 + 3x3 − 9x2 + x + 3,
p = −3;
c) W (x) = x5 + x3 − 6x,
p=
d) W (x) = 3x3 − 5x2 + 8x + 2,
p = 0;
e) W (x) = 2x3 − 9x2 + 14x − 13,
p = 3;
√
2;
Zadanie 7.4. Dla wielomianów f (x) = x2 + x i g(x) = x2 − x oblicz:
f (g(x)), g(f (x)), f (f (x)), g(g(x)).
Zadanie 7.5. Napisz po 2 różne wieomiany czwartego stopnia, których pierwiastkami
są tylko liczby:
a) 1 i 2, b) -2 i 5, c) -1, 0 i 1 , d) -3, 1 i 2.
Zadanie 7.6. Rozwiąż równania:
a) x4 − 5x3 + 6x2 = 0,
b) x5 − 3x4 + 6x3 − 18x2 + 9x − 27 = 0,
c) x4 − x3 − 3x + 3 = 0,
d) 2x5 − x4 + 10x3 − 5x2 + 12x − 6 = 0,
e) x6 + 4x4 − x2 + 4 = 0,
f) x5 − 2x4 − 3x3 + 8x2 − 16x − 24 = 0,
Zadanie 7.7. Rozwiąż nierówności:
a) 3x(x − 1)3 (x + 2)4 < 0,
b) (x − 1)(x2 + 1)(x + 3) > 0,
c) −4x3 + 4x2 + x − 1 ≤ 0,
d) x5 + 3x4 + 2x3 + 6x2 − 3x − 9 ≥ 0,
e) x10 − x8 − 8x7 + 8x5 > 0,
f) x5 − x4 − 6x3 − x2 + x − 6 ≤ 0,
14
Zadanie 7.8. Wyznacz zbiór tych liczb całkowitych, które spełniają nierówność:
a) −3x2 (x2 − 9) > 0,
b) (x − 1)(x2 + 1)(x + 3) < 0,
c) x4 − 15x2 + −16 ≥ 0,
d) −4x3 + 4x2 + x − 1 ≤ 0,
Zadanie 7.9. Rozwiąż równania:
1
a) 2x = ,
2x
c)
x−1
2
+
= 0,
x
x+1
x + 1 x2 + 1
e)
=
,
x − 1 x2 + 2
b)
2x − 3
6x − x2 − 6
+1=
,
x−1
x−1
d)
2x + 1
4x
+
= 5,
x
2x + 1
f)
2
1
1
−
=
,
x2 + x x2
6x2
x2 − 4
6x − 5
< 0,
b) 2
≤ 0,
a)
4x + 1
x − 5x
x2 − 2x
d) 2
> 0,
x +1
x2 + x + 2
e) 2
≥ 0,
x −x−2
3
4x + 3
a)
< 1,
b)
≤ 6,
x−2
2x − 5
d)
5x − 1
> 1,
x2 + 3
x2 + 5x + 6
c) 2
≥ 0,
x + 2x + 1
e)
x−2
1
≥
−
,
x2 + 1
2
x2 − 7x + 12
f) 2
≤ 0,
2x + 4x + 5
c)
x2 − 5x + 12
≥ 3,
x2 − 4x + 5
f)
x2 − 3x + 24
≤ 4,
x2 − 3x + 3
1
1
1
2
a) 2x2 + > 0,
b)
− ≤
,
x
x−2 x
x+2
c)
2(x − 3)
1
≥
,
x(x − 6) x − 1
d)
1
1
1
+
> ,
x−2 x−1 x
e)
2x
1
≤
,
x2 − 9 x + 2
f)
1+x
1 − 2x
−
< −1,
1 + 2x
x+1
15
Zestaw 8. Funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej.
1)
Uprość wyrażenia
a) 32x−1 · 32 ,
b)
16x√·2−x+1
,
( 8)6x
√
c) 9x−1 · ( 3)4x+2 .
2)
Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej własności (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe, ...)
a) f (x) = 2x ,
b) f (x) = 3−x ,
c) f (x) = 3x+2 + 3
d) f (x) = 2x−1 + 1
e) f (x) = 2−x + 4,
3)
Podaj miejsca zerowe funkcji
a) f (x) = 3x−1 − 3,
b) f (x) = 21−x − 1,
c) f (x) = ( 12 )x−1 − 3,
d) f (x) = 42x+1 + 1.
4)
Rozwiąż równania wykładnicze
a) 6 · 36x−2 = 1,
b) 92x+1 = 27,
c) 4x+1 = 32,
d) 4x−1 = 219 ,
e) ( 12 )2x+1 = 8,
f) 3x−2 = 32−x ,
g) 2x+3 = 12 ,
h) 3 · 3x − 4 = 5.
5)
Rozwiąż nierówności wykładnicze
a) 6x−2 ≤ 1,
b) 9x+1 ≥ 3,
c) 4x−5 < 2,
d) 2x−1 ≤ 21−x .
16
Zestaw 9. Funkcja logarytmiczna zmiennej rzeczywistej.
1)
Obliczyć
√
a) log2 4 8
b) log5 625,
c) log3 81,
d) log3 91 ,
e) log 1000, log 0.01.
2)
Sprawdź, że
a) liczba log 24 jest równa log 6 + 2 log 2,
b) liczba log5 5 − log5 125 jest równa −2,
c) liczba log4 8 + log4 2 jest równa 2,
d) różnica log3 9 − log3 1 jest równa 2,
e) liczba log3 27 − log2 8 jest równa 0.
3)
Oblicz
a) log6 3 + log6 12,
b) log2 96 − log2 3,
c) log 5 · log 20 + log24 2,
d) 2 log 5 + log 4.
4)
Oblicz
a) log 125, wiedząc, że log 2 ' 0.301
b) log2 0.4, wiedząc, że log2 5 ' 2.32
c) log 5 · log 20 + log24 2,
d) 2 log 5 + log 4.
5)
Sprawdź dla jakich x ∈ R podane wyrażenie ma sens matematyczny
a) log (x − 1),
b) log2 (2 − 4x),
c) log5 (2x − 4),
d) 2 log (5 − x) + log (x + 4).
17
6)
Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej własności (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe, ...)
a) f (x) = log2 x,
b) f (x) = log 31 x,
c) f (x) = log2 x + 4
d) log (x − 1)
e) log2 (−x),
7)
Podaj miejsca zerowe funkcji
a) f (x) = log2 (x − 1) − 2,
b) f (x) = log3 (1 − x) − 1,
c) f (x) = log( 21 )(x − 1) − 3,
d) f (x) = log (x + 100).
8)
Rozwiąż równanie
a) log2 (x − 2) = 1,
b) log9 (1 − x) = 0,
c) log (x + 2) − log (x − 4) = 0,
d) log (x − 1) + log (x + 1) = log 1,
e) log2 (x2 − x) = 1,
f) 2 log(x + 1) = log (2x).
9)
Rozwiąż nierówności
a) log2 (2x − 1) ≥ 1,
b) log4 (1 − x) ≤ 0,
c) log (x + 2) − log (x − 2) > 0,
d) log (1 − x) + log (1 + x) < 0,
e) log2 (x2 − x) ≤ 1,
f) 2 log(x + 1) ≥ log (2x).
18
Zestaw 10. Funkcje trygonometryczne
√
Zadanie 10.1. W trójkącie ABC dane są: |AC| = 4, |BC| = 2 5, |∠ACB| = 90◦ . Oblicz
a) ctg ∠ABC,
b) sin ∠CAB,
c) cos ∠CAB.
Zadanie 10.2. Oblicz cos ∠CAB i tg ∠CAB, znając współrzędne punktów: A(1, 3), B(5, 1), C(5, 3).
Zadanie 10.3. Przedstaw podaną miarę kąta skierowanego w postaci α + k · 360◦ , gdzie α jest miarą
główną i k ∈ Z:
a) −130◦ ,
b) 900◦ ,
c) 1970◦ .
Zadanie 10.4. Podaną miarę stopniową zamień na miarę łukową:
a) 60◦ ,
b) −270◦ ,
c) 240◦ .
Zadanie 10.5. Podaną miarę łukową zamień na miarę stopniową:
a)
5
π,
3
b) −2 41 π,
c) 5 79 π,
d)
3
π.
2
Zadanie 10.6. Zaznacz w układzie współrzędnych kąt o podanej mierze:
a) 225◦ ,
b) −300◦ ,
g) 5 41 π.
e) − 16 π,
Zadanie 10.7. Punkt P leży na końcowym ramieniu kąta skierowanego o mierze α w układzie współrzędnych. Oblicz sin α, cos α, tg α, ctg α:
√
a) P (−3, 4);
b) P (1, 3);
c) P (−2, −4);
d) P (5, − 11).
Zadanie 10.8. Kątem której ćwiartki układu współrzędnych jest kąt skierowany α, jeśli:
a) sin α > 0 i cos α > 0;
b) tg α < 0 i sin α > 0;
c) ctg α > 0 i cos α < 0?
Zadanie 10.9. Wiedząc, że α oznacza miarę główną pewnego kąta skierowanego, oblicz:
a) sin(α + 2π), jeśli sin α = 0, 9;
c) tg(α − 5π), jeśli tg α = 0, 7;
b) cos(α + 4π), jeśli cos α = 0, 3;
d) ctg(α + 2π), jeśli sin α = 0, 9.
Zadanie 10.10. Oblicz:
a) tg α, jeśli cos α = 0, 6 i α ∈ ( 32 π, 2π);
Zadanie 10.11. Oblicz:
a) sin π2 + α , jeśli cos α = 0, 35;
b) cos 32 π − α , jeśli sin (−α) = 0, 2;
c) tg π2 + α , jeśli ctg (α) = 3;
√
b) ctg α, jeśli sin α =
7
4
i α ∈ ( π2 , π).
d) ctg (π + α), jeśli ctg (α) = −2, 5;
e) tg 2 12 π − α , jeśli ctg (−α) = 0, 8;
f) sin 32 π + α , jeśli cos (α) = 0, 75.
19
Zadanie 10.12. Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem:
a) f (x) = tg x − π3 ;
b) f (x) = tg x + ctg x;
b) f (x) = sin x +
π
7
.
Zadanie 10.13. Rozwiąż równanie.
√
a) sin x =
3
,
2
√
b) cos x = −
2
,
2
√
c) tg x =
3
,
3
e) sin 2x = − 12 ,
√
d) ctg x = −1,
f) cos 3x =
3
,
2
√
= 3,
− x = 1.
g) tg x +
h) ctg
π
3
π
4
Zadanie 10.14. Rozwiąż równanie.
a) 2 sin x · cos x = cos x,
b) tg x · cos x − sin 2x = 0.
Zadanie 10.15. Naszkicuj wykres funkcji sinus w przedziale [−π, π].
a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji sinus należące do przedziału [−π, π].
b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji sinus zawarte w przedziale [−π, π].
c) Uzupełnij tabelę, jeśli x ∈ [−π, π].
√
d) Odczytaj z wykresu, dla√ jakich x ∈ [−π.π] zachodzą poszczególne nierówności: sin x >
sin x ≤ 12 , − 12 ≤ sin x ≤ 23 .
Zadanie 10.16. Naszkicuj wykres funkcji tangens w przedziale 0, π2 ∪ π2 , π .
2
,
2
a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji tangens należące do przedziału [0, π].
b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji tangens zawarte w przedziale [0, π].
c) Uzupełnij tabelę, jeśli x ∈ [0, π].
√
d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x ∈ [0, π] zachodzą poszczególne nierówności: tg x ≤ 1, tg x ≥
√
−1 ≤ tg x ≤ 3.
3
,
3
Zadanie 10.17. Rozwiąż nierówność:
√
a) sin x >
3
;
2
b) cos x < 21 ;
√
c) tg x <
3
;
3
d) ctg x > −1.
Zadanie 10.18. Rozwiąż nierówności z zadania 10.17 w przedziale (−π, 2π).
20

Repetytorium z matematyki –ćwiczenia

Transkrypt

Podobne dokumenty

V Powiatowa Olimpiada Matematyczna - II etap

Tematy prac kontrolnych z matematyki dla kl. III

Zadanie 1. Przekształcając wykres funkcji y = x2 naszkicuj wykresy

Lista 0 - ,,Prawie`` powtórka ze szkoły średniej!

PRZYK¸ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

ZESTAW II „Wyrażenia algebraiczne” 1. Średnia płaca w zakładzie

Analiza matematyczna 1 Lista 8 (1) Stosując całkowanie przez

Zestawienie przydzielonych tematów prac kontrolnych z chemii

Zadania przygotowujące do Sprawdzianu II.