Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 8, grupa zaawansowana (28.11.2009)
Kongruencje liczbowe
1. Definicja. Niech m będzie liczbą naturalną, a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Jeśli m | a − b (czyli a i b dają równe reszty w dzieleniu przez m), to
piszemy a ≡ b (mod m). Czytamy to: ”a przystaje do b modulo m”.
Przykłady.
7 ≡ 7 (mod 5)
2 ≡ 14 (mod 4)
2009 ≡ 1809 (mod 100)
−1 ≡ 9 (mod 10)
−22 ≡ 18 (mod 10)
Dalsze przykłady. Jeśli r jest resztą z dzielenia liczby a przez m, to a ≡ r
(mod m).
2009 ≡ 9 (mod 10)
12 ≡ 0 (mod 3)
65 ≡ 5 (mod 10)
−14 ≡ 4 (mod 6)
Własności. Jasne jest, że:
1) liczby a i a dają tę samą resztę w dzieleniu przez m,
2) jeśli a i b dają tę samą resztę, to b i a też,
3) jeśli a i b dają równe reszty w dzieleniu przez m, b i c też dają równe reszty
w dzieleniu przez m, to również a i c dają równe reszty w dzieleniu przez m.
1
Te oczywiste spostrzeżenia może zapisać następująco:
1) a ≡ a (mod m) dla każdego a,
2) jeśli a ≡ b (mod m), to b ≡ a (mod m),
3) jeśli a ≡ b (mod m) i b ≡ c (mod m), to a ≡ c (mod m).
Można te własności uzasadnić w sposób bardziej formalny tak:
1) a − a = 0 – podzielne przez m,
2) Jeśli a − b jest podzielne przez m, czyli a − b = km, to b − a = (−k)m – też jest
podzielne przez m,
3) Jeśli a − b i b − c są podzielne przez m, to znaczy a − b = km, b − c = lm, więc
a − c = (a − b) + (b − c) = km + lm = (k + l)m, czyli a − c też jest podzielne przez
m.
Dalsze własności.
4) Jeśli a ≡ b (mod m), to dla każdego c będzie a + c ≡ b + c (mod m).
5) Jeśli a ≡ b (mod m), to dla każdego c będzie a − c ≡ b − c (mod m).
6) Jeśli a ≡ b (mod m), to dla każdego c będzie ac ≡ bc (mod m).
7) Jeśli a ≡ b (mod m) i c ≡ d (mod m), to a + c ≡ b + d (mod m).
8) Jeśli a ≡ b (mod m) i c ≡ d (mod m), to a − c ≡ b − d (mod m).
9) Jeśli a ≡ b (mod m) i c ≡ d (mod m), to ac ≡ bd (mod m).
9 12 ) Jeśli a1 ≡ b1 (mod m), a2 ≡ b2 (mod m), ..., ak ≡ bk (mod m), to a1 a2 . . . ak ≡
b1 b2 . . . bk (mod m).
10) Jeśli a ≡ b (mod m), to an ≡ bn (mod m).
2. (XI OM, II stopień, zad. 4) Dowieść, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną,
to liczba 2n+2 + 32n+1 jest podzielna przez 7.
Rozwiązanie. Zauważmy, że 2 ≡ 32 (mod 7), więc 2n ≡ 32n (mod 7). Mnożąc
stronami powyższą kongruencję przez 22 ≡ −3 (mod 7), otrzymujemy
2n+2 ≡ −32n+1
(mod 7),
co oznacza, że 2n+2 + 32n+1 dzieli się przez 7.
3. (VI OM, I stopień, zad. 10) Dowieść, że liczba 5353 − 3333 jest podzielna przez
10.
Rozwiązanie. Ponieważ 53 ≡ 3 (mod 10), 33 ≡ 3 (mod 10), 34 ≡ 1 (mod 10),
więc
5353 ≡ 353 ≡ (34 )13 · 3 ≡ 3 (mod 10),
3333 ≡ 333 ≡ (34 )8 · 3 ≡ 3
(mod 10),
zatem
5353 − 3333 ≡ 0
2
(mod 10)
4. (XII OM, II stopień, zad. 4) Znaleźć cztery ostatnie cyfry liczby 55555 .
Rozwiązanie. Ponieważ 54 ≡ 1 (mod 16), więc 58 ≡ 54 (mod 10000) i ogólnie
54k ≡ 54 (mod 10000), gdzie k jest liczbą naturalną. Stąd wynika, że
55555 ≡ 54·1388+3 ≡ 54 · 53 ≡ 8125 (mod 10000).
5. (XLII OM, II stopień, zad. 3) Dane są liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, e, f
takie, że
a + b = c + d = e + f = 101.
m
ace
Udowodnić, że liczby
nie można zapisać w postaci ułamka , gdzie m, n
bdf
n
są liczbami całkowitymi dodatnimi o sumie mniejszej od 101.
Rozwiązanie. Z założenia zadania wynika, że zachodzą kongruencje
a ≡ −b,
c ≡ −d,
e ≡ −f
(mod 101).
Po pomnożeniu stronami otrzymujemy
ace ≡ −bdf
Przypuśćmy, wbrew tezie, że
(mod 101).
ace
m
= ,
bdf
n
gdzie m, n są liczbami całkowitymi dodatnimi takimi, że m + n < 101. Mamy
więc zależność
mbdf = nace ≡ −nbdf
(mod 101),
czyli
(m + n)bdf ≡ 0
(mod 101).
To znaczy, że liczba 101 jest dzielnikiem iloczynu (m + n)bdf . Musi więc, jako
liczba pierwsza, dzielić któryś z czynników. Otrzymaliśmy sprzeczność, bo każda z liczb b, d, f , m + n jest dodatnia oraz mniejsza od 101. Sprzeczność kończy
dowód.
6. Dowieść, że suma 3105 + 4105 jest podzielna przez 181.
Rozwiązanie. Zauważmy, że
34 = 81 ≡ −100 (mod 181)
oraz
44 = 256 ≡ 75 (mod 181).
Zatem
35 ≡ −300
(mod 181)
oraz
45 ≡ 300 (mod 181),
3
skąd
35 ≡ −45
(mod 181).
Podnosząc obie strony otrzymanej kongruencji do potęgi 21 mamy
3105 ≡ −4105
(mod 181).
5
7. Dowieść, że liczba 22 + 1 dzieli się przez 641.
Rozwiązanie. Zauważmy, że 641 = 29 + 27 + 1, więc 29 ≡ −27 − 1 (mod 641),
skąd
2n ≡ −2n−2 − 2n−9 (mod 641)
dla n > 9.
Korzystając z powyższej kongruencji otrzymujemy następujący ciąg kongruencji modulo 641:
232 ≡ −230 − 213 ≡ 228 − 223 + 221 ≡ −226 − 223 + 221 − 219 ≡ 223 + 221 − 219 + 217 ≡
≡ −219 + 217 − 214 ≡ 218 − 214 + 210 ≡ −216 − 214 + 210 − 29 ≡ 29 + 27 ≡ −1.
Ostatecznie
232 ≡ −1
4
(mod 641).