Laboratorium Obwodów i Sygnałów

POLITECHNIKA WARSZAWSKA
INSTYTUT RADIOELEKTRONIKI
ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI
WIECZOROWE STUDIA ZAWODOWE
LABORATORIUM OBWODÓW I SYGNAŁÓW
Ćwiczenie 4
Temat: SZEREG I TRANSFORMATA FOURIERA
Opracowała: dr inż. Kajetana Snopek
Warszawa 2005
Cel ćwiczenia
• ilustracja związków między opisem w dziedzinie czasu i częstotliwości dla wybranych
sygnałów ciągłych okresowych i impulsowych
• synteza sygnału okresowego
1. Wprowadzenie teoretyczne
1.1. Szereg trygonometryczny Fouriera
Rozważmy sygnał rzeczywisty okresowy x(t), t∈R o okresie T.
Rozwinięcie tego sygnału względem funkcji harmonicznych sin(kω0t), cos(kω0t), k=0,1,2,...
ma postać trygonometrycznego szeregu Fouriera postaci:
∞
x(t ) = a0 + ∑ [ ak cos(kω 0 t ) + bk sin(kω 0 t ) ]
(1)
k =1
gdzie
T
T
a0 =
oraz
ω0 =
1
x(t )dt
T ∫0
ak =
2
x(t ) cos(2kω 0 t )dt
T ∫0
T
bk =
2
x(t ) sin(2kω 0 t )dt
T ∫0
2π
1
, f0 =
jest częstotliwością podstawową sygnału.
T
T
Amplitudą k-tej harmonicznej nazywamy d k =
ak2 + bk2 , natomiast fazą k-tej
bk
. Widmem amplitudowym nazywamy {|dk|,
dk
k=0,1,2,...}, natomiast widmem fazowym {ψk, k=0,1,2,...}. Jeżeli sygnał jest funkcją
parzystą, to współczynniki bk=0, natomiast w przypadku sygnału nieparzystego ak=0.
harmonicznej nazywamy ψ k = arctg
1.2 Szereg wykładniczy Fouriera
Podstawiając do szeregu (1) znane wzory Eulera
1
cos(α ) = ( e jα + e − jα )
2
1 jα
sin(α ) =
( e − e− jα )
2j
otrzymujemy szereg postaci
∞
∞
k =1
k =1
x(t ) = c 0 + ∑ c k e jkω 0t + ∑ c k∗ e − jkω 0t
(2)
1
1
( ak − jbk ) oraz
c∗k = ( ak + jbk )
2
2
Między współczynnikami zachodzi oczywista zależność c k = c −∗ k .
W tym przypadku k-tą składową harmoniczną nazywamy funkcję
ck e j 2π kf0t + c− k e − j 2π kf0t = 2 ck cos(2π kf 0 t + ϕ k )
(3)
gdzie ck =
Amplitudą k-tej składowej harmonicznej nazywamy moduł 2|ck|, natomiast fazą k-tej
składowej harmonicznej arg(ck)=ϕk.
Szereg (2) daje się zapisać w skróconej postaci
x(t ) =
∞
∑c
k = −∞
k
e j 2πkf 0t
(4)
T
gdzie c k =
1
x(t )e − j 2πkf 0t dt , zwanej wykładniczym szeregiem Fouriera. W tym
∫
T 0
przypadku widmem amplitudowym określamy ciąg {|ck|, k=0,∓1, ∓2,...}, widmem
fazowym ciąg {ϕk: ϕk=arg(ck), k=0,∓1, ∓2,...}, natomiast widmem mocy {|ck|2,
k=0,1,2,...}. Zauważmy, że w widmie zespolonym występują częstotliwości ujemne,
których nie posiada widmo wyznaczone za pomocą trygonometrycznego szeregu
Fouriera. Współczynniki ck szeregu (4) oraz współczynniki ak i bk szeregu (2) powiązane
są relacjami
1
1
ck =
ak2 + bk2 = d k oraz c0 = a0
(5)
2
2
Przykłady
1. sygnał okresowy prostokątny o amplitudzie =1 i współczynniku wypełnienia d ma
rozwinięcie w szereg Fouriera postaci
∞
4
 2π 
x(t ) = 2d − 1 + ∑
kt 
(6)
sin(π kd ) cos 
 T 
k =1 π k
2. sygnał okresowy trójkątny o amplitudzie=1 i współczynniku wypełnienia d ma
rozwinięcie w szereg Fouriera postaci
∞
2
 2π 
x(t ) = ∑ 2 2
kt 
(7)
sin(π kd ) sin 
 T 
k =1 π k d (1 − d )
Współczynnik wypełnienia d jest zdefiniowany jako iloraz
T
d= 1
T
gdzie parametry T1 oraz T pokazane są na poniższym rysunku
(8)
T
A
t
-A
T1
T
t
T1
1.3 Przekształcenie Fouriera
Przekształcenie Fouriera znajduje zastosowanie w analizie widmowej sygnałów
nieokresowych (np. impulsowych). Jest ono zdefiniowane w sposób następujący
∞
∫ x(t )e
X (ω ) =
− jω t
dt
(9)
−∞
1
x(t ) =
2π
∞
∫ X (ω )e
jω t
dω
(10)
−∞
gdzie X (ω ) = a(ω ) − jb(ω ) = X (ω ) e − jϕ (ω )
∞
∫ x(t ) cos(ω t )dt
a (ω ) =
ϕ (ω ) = arctg
−∞
∞
∫ x(t ) sin(ω t )dt
b(ω ) =
b(ω )
a(ω )
(11)
X (ω ) = a (ω ) + b (ω )
2
2
−∞
X (ω ) nosi nazwą widma amplitudowego, natomiast ϕ(ω) - widma fazowego sygnału
x(t).
1.4 Synteza sygnału
Zadanie syntezy polegające na rekonstrukcji sygnału na podstawie jego widma można
efektywnie rozwiązać przy dostatecznie dużej liczbie składowych harmonicznych m
(teoretycznie przy m=∞). Do oceny dokładności przybliżenia kształtu danego przebiegu
przez szereg Fouriera mogą służyć zależności energetyczne. Jako miarę przybliżenia
przyjmijmy odchylenie średniokwadratowe o postaci
T
1
2
(12)
σ m2 = ∫ {x(t ) − xm (t )} dt
T 0
gdzie x(t) jest szeregiem Fouriera określonym wzorem (2), natomiast xm(t) szeregiem
zawierającym tylko m harmonicznych. Można pokazać, że błąd średniokwadratowy jest
równy sumie mocy pominiętych składowych harmonicznych, tzn.
σ m2 = 2
∞
∑
ck
k = m +1
2
=
1 ∞ 2
∑ dk
2 k = m +1
(13)
1.5 Współczynnik zawartości harmonicznych
Współczynnikiem zawartości harmonicznych nazywamy wielkość
∞
h=
∑c
2
∑c
2
k =2
∞
k =1
k
k
(14)
2. Zadania do wykonania w domu
2.1 Wyznaczyć korzystając z wzorów (6) i (7) oraz naszkicować widma amplitudowe, fazowe
i widmo mocy następujących sygnałów okresowych o częstotliwości f =1kHz , A=1 V
(pierwszych 10 prążków):
a) przebiegu prostokątnego o współczynnikach wypełnienia d=1/2, 1/3
b) przebiegu trójkątnego o współczynnikach wypełnienia d=0,1/2
Obliczyć dla powyższych sygnałów współczynniki zawartości harmonicznych oraz moc
zawartą w pierwszych 10 prążkach widma. Jaki procent całkowitej mocy sygnału stanowi
moc zawarta w pierwszych 10 harmonicznych? Wyznaczyć moc całkowitą sygnału z definicji
czasowej.
2.2 Wyznaczyć i narysować transformatę Fouriera
a) impulsu prostokątnego o czasie trwania Tw
b) impulsu trójkątnego o czasie trwania Tw
2.3 Wyznaczyć błąd średniokwadratowy aproksymacji fali prostokątnej o amplitudzie A=1V i
okresie T=0.001 w funkcji liczby harmonicznych szeregu Fouriera (m=1,2,...10).
Uwaga! Wykonanie zadań domowych jest warunkiem dopuszczenia do
wykonywania ćwiczenia.
3. Zadania do wykonania w laboratorium
Potrzebne przyrządy:
• generator sygnałowy TG230 2MHz
• oscyloskop OX803 35MHz
• komputer z oprogramowaniem (programy analiza.tpt, four.m, syntez.m)
3.1 Badanie widma sygnałów okresowych
Połączyć wyjście generatora sygnałowego MAIN OUT przy pomocy trójnika z oscyloskopem
(kanał CH1 lub CH2) i komputerem. Na generatorze ustawić kształt sygnału o zadanej
amplitudzie i częstotliwości (patrz punkt 2.1). Obserwować na oscyloskopie generowany
sygnał dobierając właściwy współczynnik wypełnienia. Przebiegi niesymetryczne (d≠1/2)
otrzymujemy wciskając na generatorze przycisk SYM. Po uzyskaniu właściwego sygnału
uruchomić program analiza.tpt . Na ekranie monitora pojawia się okno z dwoma przyciskami
POMIAR i ANALIZA. Po naciśnięciu przycisku POMIAR na wykresie górnym rysowany
jest generowany przebieg, natomiast na wykresie dolnym jego widmo. Istnieje możliwość
powiększania wykresów, zmiany ich skali itd.
• przeanalizować widma amplitudowe sygnałów wymienionych w punkcie 2.1.
• dla każdego z sygnałów należy odczytać wartości pierwszych 10 prążków widma, nanieść
je na wykres sporządzony w domu oraz porównać je z obliczonymi teoretycznie.
• na podstawie odczytanych wartości obliczyć współczynniki zawartości harmonicznych
dla każdego z sygnałów
• na podstawie odczytanych wartości wyznaczyć widmo mocy badanych sygnałów
• obliczyć moc zawartą w 10 pierwszych prążkach widma dla każdego z sygnałów
• skomentować rozbieżności między wynikami teoretycznymi a obliczonymi
3.2 Badanie widma sygnałów impulsowych
Widmo sygnałów impulsowych prostokątnych i trójkątnych obserwowane jest przy pomocy
programu four.m uruchamianego w środowisku Matlab 5.1 komendą four. Korzystamy z
opcji impuls na pasku głównym menu, która umożliwia analizę transformaty Fouriera
sygnałów wymienionych w punkcie 2.2.
• Zaobserwować i opisać zachowanie się widma amplitudowego, fazowego i gęstości
energii impulsu prostokątnego oraz impulsu trójkątnego w funkcji czasu trwania impulsu.
Zwrócić uwagę na szerokość lista głównego oraz miejsca zerowe widm.
• Czym różni się widmo amplitudowe i fazowe impulsu prostokątnego od widma impulsu
trójkątnego?
3.3 Synteza sygnału
Uruchomić program syntez.m komendą syntez w środowisku Matlab 5.1. Program ten
umożliwia wprowadzenie wartości amplitud i faz pierwszych dziesięciu wyrazów szeregu
trygonometrycznego Fouriera i obserwację powstającego sygnału.
• Korzystając z wyznaczonego w domu widma amplitudowego i fazowego i wprowadzając
stopniowo wartości amplitud i faz kolejnych składowych harmonicznych dokonać
syntezy sygnałów opisanych w punkcie 2.1.
• Skomentować rozbieżności między sygnałem aproksymowanym i aproksymującym.
• Zaobserwować i opisać efekt Gibbsa widoczny przy syntezie przebiegu prostokątnego.
• W którym przypadku aproksymacja przy użyciu 10 harmonicznych jest najlepsza?
4. Opis programu four.m
Program four.m służy do obserwacji widma amplitudowego, fazowego i mocy:
• wybranych przebiegów periodycznych
• wybranych sygnałów impulsowych
• sygnałów zmodulowanych AM
• sygnałów okresowych po przejściu przez układ liniowy (filtr RC)
Uruchamiany jest on w programie MATLAB komendą four, po której wywołaniu na ekranie
pojawiają się trzy okna. Prawe okno służy do obserwacji widma wybranego sygnału. Lewe
górne okno służy do wprowadzania danych, natomiast w lewym dolnym oknie pojawia się
analizowany sygnał..
Opis opcji lewego okna:
• przebieg – generowanie wybranego przebiegu okresowego o współczynniku
wypełnienia d. Parametry sygnału wprowadzane są z klawiatury po zaznaczeniu
wybranego pola myszą. ZAKRES ZMIENNOŚCI SYGNAŁU określa przedział, w
którym obserwujemy sygnał. Na wejściu dane przyjmują wartości: A=1 V, f=1000 Hz,
w lewym dolnym oknie pojawia się wykres sygnału sinusoidalnego, natomiast w
prawym oknie jego widmo amplitudowe.
• impuls – generowanie impulsu o zadanym czasie trwania Tw i amplitudzie A=1 V.
• mod.sygnałem – modulacja sygnału sinusoidalnego o amplitudzie równej 1 i
częstotliwości F0 innym sygnałem (sinusoidalnym bądź falą prostokątną) o
amplitudzie Am i częstotliwości f0. Po zaznaczeniu tej opcji myszą w lewym części
ekranu pojawia się okno służące do wprowadzania parametrów sygnałów
modulowanego i modulującego (zmiana amplitudy sygnału modulującego pociąga za
•
sobą zmianę współczynnika mAm). Przycisk KONIEC umożliwia powrót do menu
wyjściowego.
Pobudzenie – obserwacja charakterystyk amplitudowej i fazowej filtru RC o
zadanych parametrach oraz widma amplitudowego i fazowego sygnału na wyjściu
filtru. Sygnałem wejściowym jest bądź sygnał sinusoidalny, bądź fala prostokątna o
amplitudzie A i częstotliwości f. Po wywołaniu tej opcji pojawia się okno służące do
wprowadzania parametrów filtru (R, C, zakres częstotliwości pracy filtru fmin...fmax)
oraz parametrów sygnału wejściowego. Klawisz KONIEC umożliwia wyjście z tego
menu i powrót do menu wyjściowego.
We wszystkich okienkach klawisz ODCZYT umożliwia odczytanie współrzędnych
punktów wykresu widma, które po zaznaczeniu myszą pojawiają się w lewym dolnym
rogu prawego okna.
Klawisze
umieszczone przy osiach współrzędnych umożliwiają zmianę skali
odpowiedniej osi.
Klawisze WIDMO AMPLITUDY, WIDMO FAZOWE i WIDMO MOCY
umożliwiają narysowanie wykresów widma amplitudowego, fazowego oraz widma mocy
zadanego sygnału.
Klawisz OK służy do zaakceptowania zmian wprowadzanych danych.
Klawisz KONIEC powoduje całkowite wyjście z programu z równoczesnym
zamknięciem wszystkich otwartych okienek.
5. Opis programu syntez.m
Program syntez.m jest uruchamiany w MATLAB komendą syntez, po której
wywołaniu pojawiają się dwa okna. Lewe okno umożliwia wprowadzanie amplitud i faz
aproksymowanego sygnału. Wywołanie opcji przebieg w pasku głównym umożliwia syntezę
wybranego sygnału prostokątnego lub trójkątnego o zadanym współczynniku wypełnienia d.
Po wprowadzeniu danych i zaakceptowaniu ich przyciskiem OK w prawym oknie można
zaobserwować widmo amplitudowe sygnału aproksymowanego oraz wynik aproksymacji.
Klawisz KONIEC zapewnia wyjście z programu i zamknięcie wszystkich otwartych okienek.
LITERATURA
A. Papoulis, Obwody i układy, WKiŁ, Warszawa 1988
J. Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKiŁ, Warszawa 1990
Sygnały i systemy, Ćwiczenia laboratoryjne, praca zbiorowa pod redakcją Jacka
Wojciechowskiego, Warszawa 1998