Rok akademicki 2010/2011 Semestr 1 Przedmiot Matematyka

Rok akademicki
Przedmiot
Kierunek
Tryb studiów
Jednostka organizacyjna
Typ zajęć
Godz.sem.
30
2010/2011
Semestr
1
Matematyka dyskretna
Kod przedmiotu
MD
informatyka
Rodzaj studiów
I stopień
stacjonarne
Specjalność
Katedra Informatyki Teoretycznej
Wykład
Status
obowiązkowy
Godz.tyg/na 2
Język
polski
ECTS
4
zjazd
Standardy
A.3 A.1
Prowadzący
dr hab. Piotr Grzeszczuk
Wymagania wstępne przedmiotu
Podstawowa wiedza matematyczna na poziomie wymagań maturalnych oraz w dalszej kolejności z logiki i teorii
mnogości (przedmiot: Logika dla informatyków).
Efekty kształcenia przedmiotu
Opanowanie podstawowych pojęć z teorii rekurencji, funkcji tworzących, asymptotyki funkcji. Zapoznanie się z
własnościami podstawowych obiektów kombinatorycznych i technikami ich zliczania. Opanowanie
podstawowych pojęć teorii grafów.
Treści kształcenia
1.
Indukcja matematyczna, definicje rekurencyjne, zależności rekurencyjne. Dowody indukcyjne własności
ciągów zadanych rekurencyjnie
2.
Wstęp do arytmetyki modularnej: relacja podzielności liczb całkowitych, liczby pierwsze, największy
wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność, algorytm Euklidesa.
3.
Arytmetyka modularna: kongruencje, grupa klas reszt modulo n. Małe twierdzenie Fermata, twierdzenie
Eulera.
4.
Podstawowe pojęcia kombinatoryczne: kombinacje, kombinacje z powtórzeniami, wariacje, wariacje z
powtórzeniami, rozmieszczenia. Własności dwumianowego symbolu Newtona.
5.
Podstawowe techniki zliczania obiektów kombinatorycznych. Szufladkowa zasada Dirichleta, Zasada
włączeń i wyłączeń.
6.
Podziały zbioru na bloki. Rozkład permutacji na cykle. Liczby Stirlinga pierwszego i drugiego rodzaju
oraz ich podstawowe własności.
7
Podstawowe pojęcia teorii grafów. Komputerowa reprezentacja grafu. Drzewa, ich charakteryzacja i
zliczanie drzew rozpinających graf. Twierdzenie Cayley'a.
8.
Grafy Eulera i ich charakteryzacja. Algorytm Fleury'ego i jego analiza. Grafy hamiltonowskie i ich
charakteryzacja.
9.
Grafy planarne i ich własności. Twierdzenia Eulera i Kuratowskiego.
10.
Grafy dwudzielne. Twierdzenie Halla o małżeństwach i jego zastosowania. Kwadraty łacińskie.
11.
Kolorowanie wierzchołków grafu. Kolorowanie krawędzi grafu. Kolorowanie ścian grafu płaskiego.
12.
Liniowe równania rekurencyjne i metody ich rozwiązywania.
13-14 Funkcje tworzące i ich własności. Zastosowania techniki funkcji tworzących w rozwiązywaniu
rekurencji.
15.
Elementy asymptotyki. Notacja wielkie O, Omega, Theta.
Kryteria oceny przedmiotu
Warunkiem koniecznym przystąpienia do egzaminu jest uzyskanie pozytywnej oceny z ćwiczeń. Egzamin
pisemny, sprawdzający umiejętność rozwiązywania zadań, rozumienie pojęć oraz znajomość twierdzeń.
Warunkiem zdania egzaminu jest uzyskanie 50% możliwych do uzyskania punktów.
Literatura i wykorzystywane oprogramowanie
Literatura podstawowa:
1. Victor Bryant, Aspekty kombinatoryki, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1997.
2. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Matematyka konkretna, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 1998.
3. Donald E. Knuth, Sztuka programowania, t. 1-3, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003.
4. Witold Lipski, Kombinatoryka dla programistów, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982.
5. Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright, Matematyka dyskretna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
2001.
6. Robin J. Wilson, Wstęp do teorii grafów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
Literatura uzupełniająca:
1. Martin Aigner, Gunter M. Ziegler, Dowody z Księgi, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004.
2. Tadeusz Gerstenkorn, Tadeusz Śródka, Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa
1974.
3. Ralph P. Grimaldi, Discrete and combinatorial mathematics - An applied introduction, Addison-Wesley
Publishing Company.
4. Leon Jeśmianowicz, Jerzy Łoś, Zbiór zadań z algebry, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976.
5. Bohdan Korzan, Elementy teorii grafów i sieci, metody i zastosowania, WNT, Warszawa 1978.
6. Witold Lipski, Wiktor Marek, Analiza kombinatoryczna, PWN, Warszawa 1986.
7. K. A. Rybnikow (red.), Analiza kombinatoryczna w zadaniach, PWN, Warszawa 1988.