tutaj

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Ćwiczenia – lista zadań nr 1
Proste zastosowania równań różniczkowych
Zad. 1
Liczba potencjalnych użytkowników portalu społecznościowego wynosi 4 miliony osób. Tempo, w
jakim rośnie liczba użytkowników, jest proporcjonalne do różnicy potencjalnych użytkowników i
aktualnych użytkowników. Po 2 latach połowa potencjalnych użytkowników zarejestrowała się na
portalu. Ile przewidywalnie użytkowników będzie zarejestrowanych do końca 4 roku?
Zad. 2
W basenie o pojemności 500 [m3 ] mogą kąpać się ludzie, jeśli wskaźnik zanieczyszczenia wody
nie przekracza 1% objętości. Z powodu awarii systemu oczyszczającego wskaźnik zanieczyszczenia osiągnął poziom 10%. Po jakim czasie wskaźnik czystości osiągnie dopuszczalną normę przy
założeniu, że system oczyszczający wpompowuje i wypompowuje 5 [m3 /h].
Transformata Laplace’a
Zad. 3
Wyznacz transformaty Laplace’a poniższych funkcji, korzystając z definicji:
a) 1(t)
d) cos at
b) eat
e) tn , n ∈ N
c) sin at
f ) δ(t) – delta Diraca
Liniowe równania różniczkowe. Systemy wejściowo-wyjściowe
Zad. 4
Amortyzator w rowerze jest obciążany masą m. Zgodnie z prawem Hooke’a siła działająca na
ciało o masie m jest odwrotnie skierowana do kierunku wychylenia i proporcjonalna do niego
zgodnie ze współczynnikiem sprężystości k. Dodatkowo na ciało działa siła tłumienia, która jest
także odwrotnie skierowana do kierunku wychylenia i proporcjonalna do prędkości ciała zgodnie ze
1
współczynnikiem tłumienia c. Zakładając, że amortyzator jest skierowany prostopadle do kierunku
jazdy, sformułuj odpowiednie równanie różniczkowe i rozwiąż następujące zagadnienia, przyjmując
m = 20[kg], k = 2000[N/m], c = 200[kg/s]:
a) Początkowe wychylenie wynosi x(0) = 10cm i na ciało nie działają żadne siły zewnętrzne.
Wyznacz i narysuj x(t).
b) Dodatkowo zakładamy, że na rower działa dodatkowa siła zewnętrzna F (t). Wyznacz transmitancję systemu (dla zerowych warunków początkowych).
c) Wyznacz x(t), gdy na ciało działa stała siła grawitacji F (t) = −mg1(t) i na początku rower
wpada na przeszkodę o wysokości h = 5[cm].
Zad. 5
Przebieg zmian zawartości insuliny we krwi człowieka po podaniu dawki insuliny można modelować
następującym równaniem różniczkowym:
d2 y
dy
+
2
+ y = u,
dt2
dt
gdzie u(t) oznacza dawkowanie insuliny w czasie, a y(t) jest przebiegiem zmian odchylenia zawartości insuliny od punktu równowagi. Zakładając, że przed zaaplikowaniem insuliny proces był w
stanie równowagi (zerowe warunki początkowe), wyznacz jego transmitancję oraz odpowiedzi na
impuls Diraca u(t) = δ(t) oraz na skok jednostkowy u(t) = 1(t). Wykreśl przebiegi y(t) dla obu
pobudzeń. Zinterpretuj impuls Diraca i skok jednostkowy w kontekście dawkowania insuliny.
Zad. 6
Dany jest układ elektryczny RLC (opornik, cewka, kondensator) o oporze R, indukcyjności L i
pojemności C. Spadki napięcia na poszczególnych elementach wynoszą odpowiednio RI, L dI
,
dt
Zależność natężenia od ładunku wyraża się wzorem I =
dQ
.
dt
Q
.
C
Zgodnie z prawem Kirchhoffa suma
spadków napięć jest równa przyłożonej sile elektromotorycznej E(t). Sformułować odpowiednie
równanie różniczkowe drugiego rzędu i znaleźć przebiegi ładunku i natężenia od czasu dla E(t) =
cos t, R = 20[Ω], L = 1[H], C = 100[µF ], oraz następujących warunków początkowych Q(0) =
0, I(0) = 0.
2
Układy równań różniczkowych. Wektor stanu
Zad. 7
Równanie różniczkowe z zadań 4.b) i 6 zapisać w formie równania stanu.
Zad. 8
Jajko o temperaturze T0 = 20[℃] zanurzone zostało we wrzącej wodzie (temperatura Tw = 100[℃]).
Współczynniki przewodnictwa cieplnego wynoszą odpowiednio λb = 0.5[W/mK] dla białka i λz =
0.3[W/mK] dla żółtka. Zapisać równanie stanu i wyznaczyć przebieg temperatury od czasu dla
białka i żółtka.
Zadanie domowe (5 pkt.)
Korzystając z metody indukcji matematycznej i definicji udowodnić następującą własność transformaty Laplace’a:
L f (n) (t) = sn L [f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . . . − f (n−1) (0) .
3
DODATEK
Transformata Laplace’a:
Transformatą Laplace’a nazywamy następujące przekształcenie:
Z ∞
L [f (t)] ≡
f (t) e−st dt, gdzie s jest zmienną zespoloną.
0
Transformata Laplace’a posiada następujące własności:
1. L [a1 f1 (t) + a2 f2 (t)] = a1 L [f1 (t)] + a2 L [f2 (t)], gdzie a1 , a2 ∈ R.
2. L f (n) (t) = sn L [f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . . . − f (n−1) (0).
Z t
1
3. L
f (u) du = L [f (t)].
s
0
4. Jeśli L [f (t)] = F (s) to L [(−1)n tn f (t)] = F (n) (s).
Z ∞
f (t)
5. L
=
F (s) ds.
t
s
f (t)
1(t)
sin at
cos at
t sin at
t cos at
L [f (t)]
f (t)
1
s
a
s 2 + a2
s
2
s + a2
2as
(s2 + a2 )2
eat
eat sin bt
eat cos bt
tn
,n ∈ N
n!
tn
eat · , n ∈ N
n!
s 2 − a2
(s2 + a2 )2
L [f (t)]
1
s−a
b
(s − a)2 + b2
s−a
(s − a)2 + b2
1
sn+1
1
(s − a)n+1
Tablica 1: Tabela często używanych transformat Laplace’a
Delta Diraca:
Deltą Diraca nazywamy obiekt matematyczny o następujących własnościach:
(
+∞, jeśli t = 0,
δ(t) =
0,
w przeciwnym przypadku
której całka po całej prostej jest znormalizowana, tzn.
Z +∞
δ(t)dt = 1.
−∞
4
Wybrane własności delty Diraca:
• L [δ(t)] = 1
•
d1(t)
dt
•
R
= δ(t)
δ(t − τ )f (t)dt = f (τ )
5