Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Jarosław Drzeżdżon – Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Dla liczb rzeczywistych możemy zdefiniować operację zwaną wartością bezwzględną lub
modułem liczby.
Definicja
𝑥, 𝑔𝑑𝑦 𝑥 ≥ 0
|𝑥| = {
−𝑥, 𝑔𝑑𝑦 𝑥 < 0
Wartość bezwzględną liczby interpretujemy na osi liczbowej jako odległość liczby od zera.
Równość |𝑥| = 3 oznacza, że 𝑥 jest liczbą „odległą” od zera o 3, więc 𝑥 = 3 lub 𝑥 = −3. Tylko te
dwie wartości liczbowe położone są na osi oddalone o trzy od zera. Ta interpretacja
geometryczna okaże się ważna podczas rozwiązywania równań i nierówności.
Ćwiczenie 1
Zapisz korzystając z definicji wartości bezwzględnej:
|𝑥 − 2| = {
|2 − 3𝑥| = {
Własności wartości bezwzględnej
Dla dowolnego 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ
|𝑎| ≥ 0
(1)
|𝑎| ∙ |𝑏| = |𝑎 ∙ 𝑏|
(2)
|𝑎|
|𝑏|
= |𝑏 | , 𝑏 ≠ 0
(3)
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
(4)
|−𝑎| = |𝑎|
(5)
√𝑎2 = |𝑎|
(6)
|𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎|
(7)
𝑎
Odległość między liczbami 𝑎 i 𝑏 jest taka sama
jak odległość między liczbami 𝑏 i 𝑎.
Strona 1 z 6
Jarosław Drzeżdżon – Wartość bezwzględna
Zadanie 1
Korzystając z odpowiednich własności uprość wyrażenia:
a) |𝑥 2 + 1| =
2
b) |𝑥−3| =
1
c) |𝑥 2 − 1| ∙ |𝑥−1| =
d) √𝑥 2 − 9𝑥 + 6 − √𝑥 2 + 4𝑥 + 4 =
e)
|1−𝑥|
=
|𝑥−1|
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
a) Jeśli 𝑏 = 0, 𝑡𝑜 |𝑥| = 𝑏 ⟺ 𝑥 = 0 .
Przykład:
b) Jeśli 𝑏 < 0, 𝑡𝑜 |𝑥| = 𝑏 ⟺ 𝑥 ∈ ∅ .
Przykład:
c) Jeśli 𝑏 > 0, 𝑡𝑜 |𝑥| = 𝑏 ⟺ 𝑥 = −𝑏 ∨ 𝑥 = 𝑏 .
Rysunek:
Przykład:
d) Jeśli 𝑏 > 0, 𝑡𝑜 |𝑥| < 𝑏 ⟺ 𝑥 > −𝑏 ∧ 𝑥 < 𝑏 (−𝑏 < 𝑥 < 𝑏) .
Rysunek:
Przykład:
Strona 2 z 6
Jarosław Drzeżdżon – Wartość bezwzględna
e) Jeśli 𝑏 > 0, 𝑡𝑜 |𝑥| > 𝑏 ⟺ 𝑥 < −𝑏 ∨ 𝑥 > 𝑏 .
Rysunek:
Przykład:
Zadanie 2
Rozwiąż równanie i nierówność z wartością bezwzględną:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
|𝑥 − 3| = −4
|𝑥 + 3| = 0
|𝑥 − 2| = 5
|2 − 3𝑥| = 8
|𝑥 − 2| < −4
|𝑥 + 2| ≤ 3
|𝑥 − 1| < 5
|2 − 𝑥| ≥ 0
|3 − 2𝑥| > 4
Zadanie 3
Rozwiąż równanie i nierówność z wartością bezwzględną:
a) |𝑥 − 2| = 𝑥 − 1
b) |𝑥 − 4| = 𝑥 − 4
c) ||𝑥 − 3| − 4| = 5
d) |1 − |𝑥|| < 12
e) ||𝑥 − 2| + 3| ≥ 4
Zadanie 4
Rozwiąż równanie i nierówność z wartością bezwzględną:
|𝑥 − 2| + |2𝑥 − 4| = 2
|𝑥 + 3| − |𝑥 − 1| = 4
|𝑥 − 1| + 2|𝑥 + 1| = −3
|𝑥 + 1| + 2|𝑥 − 1| = 4
|2 − 𝑥| − 2|𝑥 − 3| = 5
f) √𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − |𝑥 − 2| = 𝑥
g) |𝑥 − 1| < |4 − 2𝑥|
h) |𝑥 − 5| + |𝑥 − 1| ≥ 4
a)
b)
c)
d)
e)
i)
√9 − 6𝑥 + 𝑥 2 − 3 > √𝑥 2
Strona 3 z 6
Jarosław Drzeżdżon – Wartość bezwzględna
Wykres funkcji z wartością bezwzględną
Narysuj wykres funkcji 𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)|
Sposób I.
1. Narysuj wykres funkcji 𝑓(𝑥).
2. Część wykresu 𝑓(𝑥), która znajduje się poniżej osi OX przenieść symetrycznie nad osią OX.
Sposób II.
Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej
|𝑓(𝑥)| = {
𝑓(𝑥), 𝑔𝑑𝑦 𝑓(𝑥) ≥ 0
−𝑓(𝑥), 𝑔𝑑𝑦 𝑓(𝑥) < 0
1. Narysuj wykres 𝑓(𝑥), dla 𝑓(𝑥) ≥ 0
2. Narysuj wykres −𝑓(𝑥), dla 𝑓(𝑥) < 0
Ćwiczenie 2
Narysuj wykres funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 4| (2 sposoby)
Zadanie 5
Narysuj wykres funkcji 𝑓
a) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2|
b) 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1|
c) 𝑓(𝑥) =
d) 𝑓(𝑥) =
|𝑥−1|
𝑥−1
√𝑥 2 −2𝑥+1
𝑥+1
Zadanie 6
Narysuj wykres funkcji f na komputerze. Wykorzystaj do tego program komputerowy: Graph
(http://www.padowan.dk/). Funkcję wartości bezwzględnej na komputerze najczęściej zapisuje się
używając zapisu abs()
a) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
|𝑥+2|
c) 𝑓(𝑥) = |cos(𝑥)|
d) 𝑓(𝑥) =
Wsk: 𝑎𝑏𝑠(𝑥 − 1)
Wsk: 𝑎𝑏𝑠((𝑥 − 1)/(𝑥 + 2))
Wsk: 𝑎𝑏𝑠(cos(𝑥))
|sin(2𝑥)|
Wsk: 𝑎𝑏𝑠(sin(2𝑥))/sin(2𝑥),
sin(2𝑥)
na otrzymanym wykresie końce
przedziałów są otwarte!!!
Strona 4 z 6
Jarosław Drzeżdżon – Wartość bezwzględna
Zadanie maturalne
1. Maj 2013 (4pkt)
Rozwiąż nierówność |2𝑥 − 5| − |𝑥 + 4| ≤ 2 − 2𝑥
2. Maj 2013 (3pkt)
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 𝑝)
a) Podaj wartość 𝑝.
Wsk: Odczytaj z wykresu przesunięcie wykresu 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥).
b) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem 𝑦 = |𝑓(𝑥)|.
c) Podaj wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie |𝑓(𝑥)| = 𝑚 ma dwa
rozwiązania o przeciwnych znakach.
3. Maj 2010 (4pkt)
Rozwiąż nierówność |2𝑥 + 4| + |𝑥 − 1| ≤ 6.
4. Maj 2009 (3pkt)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 dla 𝑥 ∈ ℝ.
Strona 5 z 6
Jarosław Drzeżdżon – Wartość bezwzględna
a) Oblicz 𝑎. Wsk. Podstaw do wzoru wskazany na rysunku punkt.
b) Narysuj wykres funkcji 𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥) − 2| i podaj wszystkie wartości parametru 𝑚 ∈ ℝ, dla
których równanie 𝑔(𝑥) = 𝑚 ma dokładnie jedno rozwiązanie.\
5. Maj 2008 (4pkt)
Rozwiąż nierówność |𝑥 − 2| + |3𝑥 − 6| < |𝑥|.
6. Maj 2008 (5pkt)
2
Dane jest równanie |𝑥 + 3| = 𝑝 z niewiadomą 𝑥. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w
zależności od parametru 𝑝.
7. Maj 2007 (5pkt)
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| − |𝑥 − 2| dla 𝑥 ∈ ℝ.
a)
b)
c)
d)
Wyznacz zbiór wartości funkcji 𝑓 dla 𝑥 ∈ (−∞, 2).
Naszkicuj wykres tej funkcji.
Podaj jej miejsca zerowe
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie 𝑓(𝑥) = 𝑚 nie ma rozwiązań.
Strona 6 z 6