1. Niech Y = {1,2,3,4}. Narysuj diagramy następujących relacji w Y

Mariusz Urbański, Katarzyna Paluszkiewicz
Logika II
Relacje
Relacja binarna R jest:
1. seryjna w zbiorze X wtw ∀x ∈ X ∃y ∈ X(xRy)
2. zwrotna w zbiorze X wtw ∀x ∈ X(xRx)
3. symetryczna w zbiorze X wtw ∀x, y ∈ X(xRy → yRx)
4. przechodnia w zbiorze X wtw ∀x, y, z ∈ X(xRy ∧ yRz → xRz)
5. euklidesowa w zbiorze X wtw ∀x, y, z ∈ X(xRy ∧ xRz → yRz)
6. równoważnościowa w zbiorze X wtw R jest w X relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią
1. Niech Y = {1, 2, 3, 4}. Narysuj diagramy następujących relacji w Y :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
R1
R2
R3
R4
R5
= {< 1, 2 >, < 3, 4 >, < 2, 1 >, < 4, 3 >}
= {< 1, 2 >, < 1, 3 >, < 1, 4 >, < 2, 3 >, < 2, 4 >, < 3, 4 >, < 4, 4 >}
= {< 1, 2 >, < 1, 3 >, < 2, 3 >, < 3, 2 >}
= {< 3, 1 >, < 3, 2 >, < 1, 1 >, < 2, 2 >, < 1, 2 >, < 2, 1 >}
= {< 1, 2 >, < 2, 1 >, < 1, 1 >, < 2, 2 >, < 4, 3 >, < 3, 4 >, < 4, 4 >, < 3, 3 >}
Określ dziedziny, przeciwdziedziny i pola powyższych relacji i sprawdź, czy któraś z nich jest w Y relacją
seryjną, zwrotną, symetryczną, przechodnią lub euklidesową.
2. Niech X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Wskaż następujące relacje:
(a)
(b)
(c)
(d)
relacja
relacja
relacja
relacja
podzielności w zbiorze X
mniejszości w zbiorze X
niewiększości w zbiorze X
identyczności w zbiorze X
3. Dla każdej z relacji z zadania 2 sprawdź, czy relacja jest: seryjna, zwrotna, symetryczna, przechodnia, euklidesowa.
4. Zapisz formalnie (przy pomocy par uporządkowanych) relacje przedstawione na diagramach (a), (b), (c).
Następnie uzupełnij relacje tak, aby posiadały następujące własności:
• przechodniość;
• euklidesowość;
• symetryczność.
2
4
1
0
1
(a)
2
0
3
1
5
(b)
3
(c)
5. Odpowiedz na poniższe pytania, w uzasadnieniu wykorzystaj diagramy relacji lub wskaż kontrprzykład.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Czy
Czy
Czy
Czy
Czy
Czy
Czy
każda
każda
każda
każda
każda
każda
każda
relacja
relacja
relacja
relacja
relacja
relacja
relacja
równoważnościowa jest relacją euklidesową?
symetryczna jest relacją euklidesową?
przechodnia jest relacją euklidesową?
symetryczna i przechodnia jest relacją euklidesową?
zarazem seryjna, symetryczna i przechodnia jest relacją równoważnościową?
seryjna i euklidesowa jest relacją równoważnościową?
zwrotna i euklidesowa jest relacją równoważnościową?
1