Matura 2017 - Analizy matematyczna

Zadania z analizy matematycznej
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Wykaż, że funkcja f(x) = x3 + 4x – 1 ma jeden pierwiastek w przedziale <0,1>.
Wykonaj wykres dowolnej funkcji f ciągłej i określonej na przedziale <-6,4>, która spełnia
warunki : f(-6) = 4, f(4) = 0, f’(-1) = 0, f’(2) = 0 oraz f’(x) < 0, dla x ∈ (-6,-1) ∪ (2,4) i f’(x) > 0,
dla x ∈ (-1,2).
Zbadaj liczbę ekstremów funkcji f(x) = - x3 + ax2 – (a +6)x + b; x ∈ R, w zależności od parametrów
a, b ∈ R.
Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = x3 -12x +1.
Stolarz ma zbudować otwartą skrzynię o podstawie kwadratowej. Koszt zrobienia 1m2 boku
skrzyni jest równy 30 złotych, a koszt 1m2 podstawy to 40 złotych. Skrzynia ma kosztować 480
złotych. Jakie wymiary powinna mieć skrzynia, aby jej objętość była największa?
Znajdź wymiary takiego prostokąta o obwodzie 16cm, który ma najkrótszą przekątną.
Oblicz sumę współczynników wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, wiedząc, że styczna do
wykresu funkcji W(x) w punkcie 𝑥0 = 1 ma równanie 𝑦 = 3𝑥 + 104.
ODPOWIEDZI :
Ad1.
Z własności funkcji ciągłych i monotoniczności funkcji f w przedziale (0,1) otrzymujemy tezę (f(0) = -1,
f(1) = 4)
Ad3.
Dla (a < -3 lub a > 6) i b ∈ R funkcja ma dwa ekstrema.
Dla a ∈ < -3,6> i b ∈ R funkcja nie ma ekstremum.
Ad4.
Obliczamy ekstrema funkcji i wykonujemy wykres, skąd odczytujemy zbiór wartości będący zbiorem
liczb rzeczywistych.
Ad5.
Skrzynia ma największą objętość dla a = 2m i h = 4/3m.
Ad6.
Prostokąt jest kwadratem o boku długości 4cm.
Ad.7.
103