Zestaw 5. zadań z Matematyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w
Transkrypt
Zestaw 5. zadań z Matematyki1 - Uniwersytet Ekonomiczny w
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw 5. zadań z Matematyki1 Ekstrema, monotoniczność, wypukłość, punkty przegięcia funkcji jednej zmiennej 2 Zadanie 1. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne oraz przedziały monotoniczności funkcji3 : x2 − 1, x+1 x2 − 2x + 1 f (x) = , x+4 1 , f (x) = −x + 1−x 3 f (x) = x4 − 2x3 − 4, 4 x3 x2 f (x) = − − 2x + 1, 3 2 1 f (x) = x − , x x2 , 2−x a) f (x) = b) f (x) = c) d) f (x) = 10 ln (x + 3) + e) g) i) k) 1 4 −2x2 +3 m) f (x) = e 4 x , o) f (x) = x + 3 ln x, f) x2 − 4x, 2 15 f (x) = −8 ln (x + 3) − + x − 2, x+3 h) f (x) = −x5 + 5x4 − 5x3 + 1, j) f (x) = 5 + 2x2 − x4 , l) f (x) = n) f (x) = x2 ex , p) f (x) = ln(1 − x2 ). x3 , x−2 Zadanie 2. Wyznacz punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji4 : a) c) e) g) i) 2 g(x) = x6 + x5 − 10x4 − 3x, 3 1 3 g(x) = − x6 − x5 + 10x4 − 6, 5 10 g(x) = −x4 − 2x3 + 12x2 + 5, x 3 + , 3 x g(x) = x − 4 ln x, g(x) = b) d) f) h) j) 3 g(x) = − x5 + x4 + 4x3 + 1, 5 5 7 g(x) = x − 7x6 + 9x5 + 2x, 7 3 g(x) = x5 − x4 + x3 + 2x − 7, 10 1 g(x) = x2 − , x g(x) = ln(1 + x2 ). UWAGA! Zrezygnowałem z wprowadzania do tego zestawu odpowiedzi oraz podpowiedzi do zadania 1. w postaci wypisanej postaci pochodnej funkcji f (choć na kartkówce taka pochodna będzie pomocniczo wypisana w treści zadania). Zrobiłem to celowo. Rozwiązując zadanie 1. proszę wyznaczyć pochodną samodzielnie, a następnie swój wynik sprawdzić wykorzystać polecaną stronę: http://www.wolframalpha.com/ i na tej stronie proszę wpisać wzór funkcji. Otrzymacie Państwo wśród wielu innych informacji, gdzieś na końcu, zarówno informację o tym jak wygląda pochodna (ang. derivative), jak i informacje o ekstremach lokalnych (ang. local maximum, local minimum), a dodatkowo wypisana będzie również dziedzina funkcji f (ang. domain). To sprawdzanie postaci pochodnej w Wolframie będzie dla Państwa również dobrym ćwiczeniem. Proszę się jednak zawsze upewnić, że poprawnie wprowadziliście 2 wzór funkcji (widać to w polu input), np. funkcję z punktu c) z zadania pierwszego, czyli funkcję f (x) = x −2x+1 , x+4 należy wprowadzić do Wolframa następująco: f(x)=(x^2-2*x+1)/(x+4) i ENTER . Żeby wprowadzić funkcję logarytm, np. ln(x − 5), należy wpisać w Wolframie log(x-5), choć takich zadań na ekstrema na kolejnej kartkówce nie będzie. Dobrej zabawy i powodzenia! c 2016 Joanna i Michał Trzęsiok Copyright 1 Zestaw dostępny pod adresem: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/zestaw5mat.pdf Ten zestaw jest sponsorowany przez LATEX’owy symbol [\Ankh]: 3 Ekstrema: przykłady od m) są nieco trudniejsze – dla lubiących wyzwania 4 Wypukłość: przykłady od g) są nieco trudniejsze – dla lubiących wyzwania 2