1 Rok Biologii Matematyka -lista 4 11.11.2008 1. Uzasadnij, ˙ze

1 Rok Biologii
Matematyka -lista 4
11.11.2008
1. Uzasadnij, że funkcja f (x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie x0 = 0.
Uwaga Wartość bezwgl˛edna |x| dla x ∈ R zdefiniowana jest wzorem:
|x| =

x,
−x
x ­ 0;
x < 0.
2. Znajdź pierwsza˛ i druga˛ pochodna˛ funkcji
(a) f1 (x) = x4 na przedziale I = R;
(b) f2 (x) = sin x na przedziale I = R.
3. Znajdź pierwsza˛ i druga˛ pochodna˛ funkcji
(a) f1 (x) = ex na przedziale I = R;
(b) f2 (x) = ex + x na przedziale I = R.
4. Napisz równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
(a) f (x) = ex , (0, 1);
(b) f (x) = sin x, (π, 0);
(c) f (x) = x1 , (2, 12 ).
Sporzadź
˛ odpowiednie rysunki.
5. (a) Niech S(t) oznacza położenie na osi punktu materialnego w chwili t. Podać interpretacj˛e
0
fizyczna˛ ilorazu różnicowego ∆S
oraz pochodnej S (t0 ).
∆t
(b) Niech v(t) oznacza szybkość punktu materialnego w chwili t. Podać interpretacj˛e fizyczoraz pochodnej v 0 (t0 ).
na˛ ilorazu różnicowego ∆v
∆t
6. Zenek podczas zawodów biegnie z pr˛edkościa˛
vZ (t) = 8e−0.02t [m/sek] , t ­ 0.
Znajdź przyśpieszenie Zenka w chwili t = 50.
7. Załózmy, że na poczatku
˛
eksperymentu liczebność kultury bakterii P (0) jest równa 10000.
Przyjmujemy, że liczebność bakterii podwaja si˛e po upływie 20 minut oraz że wzrost populacji
jest wykładniczy:
P (t + 20) = 2P (t), t ­ 0,
P (t) = 10000at = 10000eln at = 10000ebt ,
gdzie 1 6= a > 0 i b = ln a.
Chcemy znaleźć:
1 Rok Biologii
Matematyka -lista 4
11.11.2008
(a) pr˛edkość zmiany liczebności bakterii dla t = 15 i t = 40 [min];
(b) liczebność populacji dla wartości zmiennej t z (a).
8. Jesteśmy zainteresowani znalezieniem zależności pomi˛edzy masa˛ atomów izotopu potasu K −
43 a czasem, który upłynał
˛ od poczatku
˛ eksperymentu. Masa poczatkowa
˛
tej substancji wynosi
R(0) = 30mg, czas połowicznego rozpadu 20h. Liczba atomów promieniotwórczego potasu
maleje wykładniczo:
R(t) = 30e−kt .
Chcemy znaleźć pr˛edkość rozpadu po 5, 10 i 18 godzinach.
9. Znajdź pochodne funkcji:
(a) f1 (x) = x ln x na przedziale I = (0, ∞);
(b) f2 (x) = ln(x − 1) na przedziale I = (1, ∞);
(c) f3 (x) = (2 + x)6 na przedziale I = R;
(d) f4 (x) = sin5 x na przedziale I = R.