Geometria analityczna płaszczyzny

1
A. Mróz
Geometria analityczna pªaszczyzny
1. Dane s¡ wierzchoªki trójk¡ta
A = (5, 2), B = (1, −1) i C = (11, −6).
Oblicz dªugo±¢ jego obwodu
i pole.
2. Udowodnij, »e trójk¡t o wierzchoªkach
A = (0, 0), B = (3, 1)
i
jest trójk¡tem pros-
C = (1, 7)
tok¡tnym.
3. Opisz wszystkie punkty
M = (x, y),
które s¡ równo oddalone od punktów
A = (7, −3)
i
B =
(−2, 1).
4. Znajd¹ wspóªrz¦dne ±rodka okr¦gu przychodz¡cego przez punkt
odci¦tych w punkcie
A = (−4, 2)
5. Znajd¹ ±rodek i promie« okr¦gu opisanego na trójk¡cie o wierzchoªkach
i
i stycznego do osi
B = (2, 0).
A = (−1, 6), B = (3, −2)
C = (−4, −3).
6. Oblicz pole pi¦ciok¡ta, którego wierzchoªkami s¡ punkty
A = (−2, 0), B = (0, −1), C = (2, 0),
D = (3, 2), E = (−1, 3).
7. Oblicz pole rombu, maj¡c dane jego dwa przeciwlegªe wierzchoªki
i dªugo±¢ boku równ¡
√
5 10.
8. Dane s¡ trzy wierzchoªki trójk¡ta
A = (0, 6), B = (−2, 3)
C.
i
A = (2, −1)
i
C = (−1, −1).
B = (−4, −9)
Oblicz dªugo±¢
wysoko±ci tego trójk¡ta poprowadzonej z wierzchoªka
9. Dane s¡ dwa wierzchoªki trójk¡ta
wierzchoªka
C
le»¡cego na osi
Ox
A = (0, 1)
i
B = (1, −2).
10. Dane s¡ punkty
dziel¡cego
A = (x1 , y1 ) i B = (x2 , y2 ). Wyprowad¹
|AC|
odcinek AB w stosunku λ, tj. λ = |CB| .
11. ‘rodek ci¦»ko±ci jednorodnego pr¦ta le»y w punkcie
A = (−1, −3).
AB
4.
wzór na wspóªrz¦dne punktu
C
M = (5, 1); jeden koniec pr¦ta le»y w punkcie
Znajd¹ wspóªrz¦dne drugiego ko«ca.
12. Dane s¡ dwa punkty
odcinek
Wyznacz wspóªrz¦dne trzeciego
wiedz¡c, »e pole tego trójk¡ta jest równe
A = (4, −2) i B = (−8, 7).
Znajd¹ wspóªrz¦dne punktów
C
i
D
dziel¡cych
na trzy równe cz¦±ci.
13. Dane s¡ ±rodki boków trójk¡ta
P = (−2, −1), Q = (−2, −4)
i
R = (3, 0).
Znajd¹ wspóªrz¦dne
wierzchoªków trójk¡ta.
14. Wyznacz wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci trójk¡ta o wierzchoªkach
A = (2, 5), B = (−4, 1)
i
C =
(−1, 0).
15. ‘rodek ci¦»ko±ci trójk¡ta znajduje si¦ w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych; jeden z jego wierzchoªków le»y na osi odci¦tych w odlegªo±ci
a,
drugi na osi rz¦dnych w odlegªo±ci
b
od pocz¡tku
ukªadu wspóªrz¦dnych. Znajd¹ wspóªrz¦dne trzeciego wierzchoªka trójk¡ta.
16. Dany jest ukªad
si¦ masy
n punktów A1 = (x1 , y1 ), A2 = (x2 , y2 ), . . . ,An = (xn , yn ), w których znajduj¡
m1 , m2 , . . . , mn . Wyka», »e wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci tego ukªadu wyra»aj¡ si¦
wzorami:
x=
x1 m1 + x2 m2 + . . . + xn mn
,
m1 + m2 + . . . + mn
17. Dany jest trójk¡t o wierzchoªkach
punktu przeci¦cia dwusiecznej k¡ta
18. Wyznacz punkty
D = (6, −5)
AiB
y1 m1 + y2 m2 + . . . + yn mn
.
m1 + m2 + . . . + mn
A = (4, 1), B = (7, 5) i C = (−4, 7).
A z przeciwlegªym bokiem BC .
wiedz¡c, »e punkt
2
w stosunku 3 .
y=
C = (−5, 4)
dzieli odcinek
AB
Znajd¹ wspóªrz¦dne
3
w stosunku 4 , a punkt
2
Geometria analityczna pªaszczyzny - prosta
19. Napisz równania kierunkowe i odcinkowe
(a) prostej
3x + 4y − 8 = 0,
(b) prostej przechodz¡cej przez punkt
20. Dla jakich warto±ci wspóªczynników
(1, −4)
AiB
i nachylonej do osi odci¦tych pod k¡tem
prosta
Ax + By + 1 = 0
tworzy z osi¡
21. Napisz równania prostych zawieraj¡cych boki trójk¡ta o wierzchoªkach
i
Oy
45◦ .
k¡t
30◦ ?
A = (−1, 2), B = (5, 0)
C = (7, 4).
22. Dane s¡ równania prostych zawieraj¡cych boki trójk¡ta
AB : 2x − y + 2 = 0,
BC : x − y = 0,
AC : x + y − 2 = 0.
Oblicz pole tego trójk¡ta.
23. Znajd¹ punkty przeci¦cia prostej
2x − 3y + 6 = 0
z osiami ukªadu wspóªrz¦dnych.
ABC dane s¡: wierzchoªek A = (0, −3), ±rodek S = (8, −1)
BC = [−7, 8]. Znajd¹ równanie prostej zawieraj¡cej bok AC .
24. W trójk¡cie
25. Na przykªadzie trójk¡ta o wierzchoªkach
A = (0, 0), B = (2, 4) i C = (4, 0)
boku
AB
i wektor
wyka» analitycznie,
»e ±rodkowe przecinaj¡ si¦ w jednym punkcie.
26. Rozwa»my dwie proste (o równaniach ogólnych):
s : Ax + By + C = 0,
Kiedy proste
s i s0
s0 : A0 x + B 0 y + C 0 = 0.
przecinaj¡ si¦ w dokªadnie jednym punkcie, kiedy s¡ sobie równe, a kiedy s¡
równolegªe i ró»ne?
27. Wyznacz równanie prostej przechodz¡cej przez punkt
A = (2, −1)
i równolegªej do prostej
2x + 3y + 7 = 0.
28. Znajd¹ punkt
B
symetryczny do punktu
29. Wyznacz k¡t mi¦dzy prostymi
A = (−1, −3)
wzgl¦dem prostej
x + 2y − 2 = 0.
2x + y = 0 i y = 3x − 4.
30. Znajd¹ równania prostych przechodz¡cych przez punkt
A = (2, 1)
i tworz¡cych k¡ty
45◦
z prost¡
2x − 3y = 6.
31. Znajd¹ odlegªo±¢ punktu
A = (1, −2)
od prostej
8x − 6y + 19 = 0.
32. Znajd¹ równania dwusiecznych k¡tów zawartych pomi¦dzy prostymi
2x + 2y + 7 = 0,
7x + y − 4 = 0.
3x − 4x + 10 = 0,
6x − 8y + 15 = 0
33. Wyka», »e proste
s¡ równolegªe i znajd¹ odlegªo±¢ mi¦dzy nimi.
34. Wyka», »e prosta
5x − 2y − 1 = 0
jest jednakowo oddalona od prostych
5x − 2y + 7 = 0,
35. Znajd¹ równania prostych równolegªych do prostej
5x − 2y − 9 = 0.
12x + 5y − 52 = 0
36. Z p¦ku prostych
3x − 2y + 5 + λ(4x + 3y − 1) = 0
wybierz prost¡
(a) przechodz¡c¡ przez punkt
(b) prostopadª¡ do prostej
(1, 1),
y = x.
i odlegªych od niej o
2.