-1- TRANSFORMATA LAPLACE`A

Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003
TRANSFORM ATA
LAPLACE’A
Powod y, dla których stosowana jest transformata Laplace’a do rozwi¹zywania równañ ró¿niczko wych linio wych o sta³ych
wspó³czynnikach s¹ dwa:
1) transformata Laplace’a sprowadza równanie ró¿niczkowe do równania algebraicznego, które rozwi¹zuj¹c pozwala otrzymywaæ
rozwi¹zanie zagadnienie pocz¹tkowego bez koniecznoœci znajdowania równañ fundamentalnych równania jednorodnego i rozwi¹zania
szczególnego
2) Transformata Laplace’a umo¿liwia w rozwi¹zywanie równañ ró¿niczko wych zwyczajnych o sta³ych wspó³czynnikach, w których
funkcja wymuszaj¹ca (prawa strona równania) jest nieci¹g³a w ³atwy sposób.
Transformata Laplace’a zdefiniowana jest przy pomocy ca³ki niew³aœciwej.
Definicja: Niech f(t) bêdzie funkcj¹ okreœlon¹ dla 0#t< 4. Transformata Laplace’a funkcji f(t), któr¹ oznaczaæ bêdziemy jako F(s) lub
L{f(t)}, zadana jest wzorem:
gdzie ca³kê niew³aœciw¹ rozumie siê jako granicê:
transformatê Laplace’a funkcji 1 , e at, t, sinTt, cosTt
1. f(t)=1
2. f(t)=eat
3. f(t)=t
-1-
Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003
4. f(t)=cosTt oraz f(t)=sin Tt
Porównuj¹c stronami ze sob¹ czêœæ rzeczywist¹ i urojon¹ otrzym ujemy:
W ³asnoœci transformaty Laplac e’a
1. LiniowoϾ
2. Transformata pochodnej i drugiej pochodnej, mno¿enie funkcji przez czas, mno¿enie funkcji przez funkcjê ekspotencjalna ,
skalowanie czasu(argument funkcji f(t) mno¿ony jest przez stal¹ c), transformata funkcji opóŸnionej (przesuniêtej w czasie o c),
transformata ca³ki
Niech F(s)=‹{f(t)}.
W ³asnoœæ 4 nazywana jest w literaturze pierwszym twierdzeniem o przesuniêciu, natom iast w³asnoœæ 6 jest drugim twierdzeniem o
przesuniêciu. W e wzorze opisuj¹cym w³asnoœæ 6. wystêpuje funkcja H(t) nazywana funkcj¹
skoku jednostkowego, lub jedynk¹ Heaviside’a.
Definicja: Funkcj¹ skoku jednostkowego nazywamy funkcjê zdefiniowan¹ nastêpuj¹co:
-2-
Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003
Funkcja Heaviside’a przesuniêta w czasie o c oznaczamy przez H c(t) i definiujemy jako:
Transformata Laplace’a funkcji H c(t) jest równa:
(zgodnie z w³asnoœci¹ 6 poniewa¿ jest to tran sformata funkcji sta³ej f=1
przesuniêtej o c )
Funkcja Heaviside’a wykorzystywana jest do definiowania funkcji przesuniêtej w czasie. Niech f bêdzie d owo ln¹ funkcja
zdefiniowan¹ na przedziale 0#t< 4, a funkcja g bêdzie funkcj¹ otrzyman¹ z funkcji f przez przesuniêcie wykresu funkcji f o c jednostek
w prawo:
Funkcjê g(t) mo¿na zapisaæ jako:
Transformata Laplace’a funkcji g(t) dana jest wzorem zgodnie z
w³asnoœci¹ 6.
Zestawione w³asnoœci transformaty Laplace’a i znajomoœæ transformat
dla niektórych elementarnych funkcji pozwalaj¹ na obliczanie innych bardziej z³o¿onych funkcji bez uciekania siê do definicji
ca³kowej transformaty. Pozwalaj¹ te¿ wyznaczyæ transformatê odw rotn¹ tzn. dla d anej tra nsform aty Lap lace’a znaleŸæ funkcjê która
odpowiada danej transformacje w
dziedzinie czasu. Transformatê odw rotn¹
oznaczamy jako ‹-1.
Przyklady:
1.Wyznaczyæ transformaty Laplac e’a funkcji f(t)= te 2t
Transformata ‹{e 2t}=1/(s-2) (w³asnoœæ 4. poniewa¿ transformata funkcji ‹{1}=1/s). Z w³asnoœci 3 wynika,¿e mno¿eniu funk cji f(t)
przez czas w dziedzinie t odpowiada ró¿niczkowaniu w dziedzinie s ze zmian¹ znaku czyli
2. Wyznaczyæ transformatê Laplace’a funkcji f(t)=e 3t sint
Transformata funkcji ‹{sint}=1/(s2+1), mno¿enie przez e 3t powoduje, zgodnie z w³asnoœci¹ 4 zamianê argumentu s na s-3 czyli
-3-
Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003
3. Jaka funkcja f(t) odpowiada transformacie
Zauwa¿my, ¿e argument s jest przesuniêty o sta³a liczbê 7. Nale¿y zastanowiæ siê jak¹ funkcjê reprezentuje wiêc transfo rmata
:s/(25+s2). Jest to transformata ‹{cos5t}=s/(5 2+s 2). Tak wiêc, zgodnie z w³asnoœci¹ 4
4. Jaka funkcja f(t) odpowiada transformacie: 1/(s2-4s+9) ?
Mianownik tej transform aty nie daje siê przedstawiæ w postaci iloczynowej przez rozk³ad na czynniki (wyró¿nik )<0), ale
W iemy te¿, ¿e
Na moc y w³asnoœci 4 otrzymujemy:
5. Jaka funkcja odpowiada transformacie s/ (s2-4s+9) ?
Na moc y w³asnoœci 1 wiemy, ¿e mno¿eniu przez s odpowiada ró¿niczkowaniu w dziedzinie czasu ‹{f’(t)}=sF(s)-f(0 ) czyli
wykorzystuj¹c wynik z przyk³adu 4 mo¿emy zap isaæ:
6. Jaka funkcja odpowiada transformacie
?
Transformata funkcji 1/(s2+4) odpowiada funkcji (1/2) sin2t. Z w³asnoœci 7 wiemy, ¿e dzieleniu przez s transformaty, w d ziedz inie
czasu t odpowiada ca³kowaniu , a wiec:
-4-
Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003
7. Wyznaczyæ transformatê Laplace’a impulsu prostok¹tnego (rys)
Zauwa¿my, ¿e impuls prostok¹tny daje siê przedstawiæ jako suma dwóch funkcji Heaviside’a H t1(t) oraz H t2(t) (rys)
a wiêc na m ocy w³asnoœci 6 transformata impulsu prostok¹tnego dana jest wzorem:
8. Wyznaczyæ transformatê Laplace’a sygna³u przedstawionego na wykresie i danej wzorem:
Zauwa¿my,ze funkcjê (wykres) mo¿na otrzymaæ przez z³o¿enie dwóch funkcji: g 1=t oraz
g 2=-H t0(t)(t-t 0) (funkcja g2 jest przesuniêciem funkcji -t o t0), a wiec transformata na mocy liniowoœci
dana jest wzorem:
Gdy mamy do czynienia z funkcj¹, która jest tylko kawa³kami ci¹g³a tzn, zadana jest przedzia³ami postêpowanie majce nas szybko
doprowadziæ do transformaty Laplace;a mo¿na streœciæ w dwóch punktach:
1) Funkcjê zadan¹ przedzia³ami nale¿y wyraziæ w postaci jednej formu³y,
2) teraz nale¿y zastosowaæ transformatê Laplace’a
Do zapisu funkcji zadanej przedzia³ami bardzo po mocna jest funkcja skoku jednostkowego (jedynka Heaviside’a). Przy czym stasuje
siê nastêpuj¹ce regu³y: funkcjê na lewo od punktu nieci¹g³oœci nazywa siê “lew¹ ga³êzi¹”, natomiast funkcjê na prawo od p unktu
nieci¹g³oœci “praw¹ ga³êzi¹”. Regu³a zapisu jest nastêpuj¹ca:
„lewa ga³¹Ÿ” +H(t-t0) („prawa ga³¹Ÿ” -„lewa ga³¹Ÿ”)
Funkcjê na rysunku powy¿ej mo¿na zapisaæ: f(t)=t+H(t-2)(1-t) (sprawdziæ, ¿e rzeczywiœcie tak jest) i teraz mo¿na obliczyæ
transformatê Laplace’a. N ale¿y pamiêtaæ, ¿e aby mo¿na by³o zastosowaæ w³asnoœæ 6 z tabeli powy¿ej ( drugie twierdzenia o
przesuniêciu), nale¿y pamiêtaæ, ¿e wyra¿enie musi byæ w postaci f(t-a)H(t-a) (argument funkcji f jest przesuniêty o a). Tak wiêc np.
je¿eli mamy obliczyæ transformatê Laplace’a funkcji t H(t-a) gdzie f= t, to wyra¿enie nale¿y przekszta³ciæ nastêpuj¹co: (t-a+a)H(t-a)
(dodaliœmy i odjêliœmy a).Teraz ju¿ mo¿na zastosowaæ w³asnoœæ 6. Otrzymujemy: ‹(t H(t-a))=‹(t-a+a)H(t-a)=e-as/s 2-ae-as/s. (Obliczyæ
-5-
Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003
transformatê funkcji przedstawionej na rysunku powy¿ej)
Zadania:
W yznaczyæ, korzystaj¹c z w³asnoœci transformaty Laplace’a, transformaty nastêpuj¹cych funkcji:
1.t 2
4.cos2at
at
2. e cos bt
5. sin 2bt
2
t
3.t sint
6.e (t - sint)
W yznaczyæ transformaty
1. s/((s+a)2 +b)
2.1/(s(s^2+4))
3. 1/(s2-2s+5)
odwrotne (funkcje f(t) ) dla nastêpuj¹cych tran sformat:
4. 1/(s2 +s-12)
5. (2s+3)/(s3-s)
6. e -4s/(1+s2)
W ykorzystamy teraz transformatê Laplace’a do rozwi¹zywania równañ ró¿niczko wych zwyczajnych o sta³ych wspó³czynnikach i
liniowych.
Przyk³ady:
Rozwi¹zaæ z wykorzystaniem transformaty Lap lace’a nastêpuj¹ce zagadnienia pocz¹tkowe
1.
Rozwi¹zanie:Dzia³amy obustronnie na równanie operatorem Lapalce’a ‹. Otrzymujemy:
Poniewa¿ y(0)= 1 to p o przekszta³ceniach otrz ymujemy:
St¹d Y(s)=1/(s+3). A wiêc ‹-1{Y(s)}=e-3t. Rozwi¹zanie y(t)=e -3t
2.
Dzia³aj¹c obustronnie op eratorem L aplac e’a na ró wnanie otrzym ujemy:
A wiêc transfo rmata Laplace’a sz ukanej funkc ji y(t) ma p ostaæ:
W celu obliczenia transformaty odwrotnej rozk³adamy Y(s) na u³amki:
-6-
Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003
Transformatê odwrotn¹ do (7-4s)/(81(s 2-4s+9 )) obliczam y
Transformata
Transformata
Przesuniêcie argumentu s o 2 odp owiada pom no¿eniu w d ziedz inie czasu t przez e2t. A wiêc ostatecznie postaæ rozwi¹zania jest
nastêpuj¹ca:
3.
Rozwi¹zaæ równanie:
‹{y”}=s2Y(s)-sy(0)-y’(0)=s 2Y(s)+1
‹{y’}=sY (s)-y(0)=sY(s)
A wiêc dzia ³aj¹c obustronnie operatorem ‹ na równanie otrzym ujemy:
Rozwi¹zuj¹c powy¿sze równanie wzglêdem transformaty otrzymujemy:
Transformata ‹-1 {1/(s+1)}=e-t. Czyli ‹-1{1/s (1/(s+1)} =
(dzieleniu przez s
odpowiada ca³kowaniu w dziedzinie czasu t (w³asnoœæ 7)). Sto sujemy tê wzór jeszcze raz do pierwszego sk³adnika, w któ rym
wystêpuje dzielenie przez s 2.
-7-
Henryk Kudela, Wyk³ady - równania ró¿niczkowe zwyczajne A., 2003
Ostatecznie rozwi¹zanie ma postaæ:
4.
Rozwi¹zanie: po zadzia³aniu operatorem Laplace’a o trzymujemy:
Po rozwi¹zaniu powy¿szego równania wzglêdem Y(s) otrzym ujemy:
Transformaty odwro tne: ‹-1 {1/s}=1, ‹-1{e -Bs/s}=H B(t), ‹-1{s e -Bs/(s2+1)}=H B(t)cos(t-B).
Rozwi¹zanie ma postaæ:
-8-