Ćwiczenia XI - 5.12.2007 - E-SGH

Ćwiczenia XI - 5.12.2007
1. Firma AGA jest niewielką, ale liczącą się na rynku firmą farmaceutyczną. Specjalizuje
się ona w produkcji dwóch szamponów ziołowych do włosów: TRIO-90 i TRIO-60.
Szampony te cieszą się dużym popytem mimo dość wysokich cen: 90 zł i 55 zł za
jeden litr szamponu. Walory szamponów są wynikiem unikatowej receptury, która
wymaga stosowania trzech składników ziołowych, oznaczonych symbolami Z1, Z2 i
Z3. Wyprodukowanie 1 litra szamponu TRIO-90 wymaga zużycia 20 dag składnika
Z1, 40 dag składnika Z2 i 30 dag składnika Z3. Natomiast w przypadku szamponu
TRIO-60 zużycie składników Z1, Z2 i Z3 wynosi odpowiednio 30, 10 i 20 dag. Na najbliższy miesiąc zasoby tych składników wynoszą odpowiednio 600, 300 i 360 kg. Jaka
powinna być wielkość produkcji w najbliższym miesiącu, jeśli kierownictwo firmy zainteresowane jest osiągnięciem jak największej wartości produkcji (liczonej w cenach
sprzedaży)?
(a) sformułuj zadanie programowania matematycznego:
• zdefiniuj zmienne decyzyjne,
• jaki jest zbiór decyzji dopuszczalnych? Sformułuj warunki ograniczające,
• określ funkcję celu i kryterium optymalizacji
(b) używając metody graficznej, znajdź decyzję optymalną
• wyznacz na płaszczyźnie zbiór decyzji dopuszczalnych
• jak wyglądają warstwice funkcji celu?
• wyznacz (o ile istnieje) punkt odpowiadający decyzji optymalnej
(c) jaka jest maksymalna wartość produkcji możliwa do osiągnięcia przez firmę
AGA?
(d) jaki jest plan produkcji odpowiadający decyzji optymalnej?
(e) jakie jest wykorzystanie zasobów?
(f) które warunki są napięte dla decyzji optymalnej?
(g) czy jest to zadanie programowania liniowego (PL)? Tzn.
• czy zmienne decyzyjne są ciągłe?
• warunki ograniczające zapisane są w postaci roównań lub słabych nierówności liniowych?
1
• funkcja celu jest funkcją liniową zmiennych decyzyjnych?
2. Niech ceny szamponów produkowanych przez firmę AGA wynoszą: 90 zł/litr w przypadku szamponu TRIO-90 oraz 60 zł/litr w przypadku szamponu TRIO-60.
(a) sformułuj nowe zadanie PL. Na zmianę której części modelu ma wpływ zmiana
cen?
(b) rozwiąż zadanie metodą graficzną
(c) opisz własności decyzji optymalnej
3. Niech ceny szamponów TRIO-90 i TRIO-60 wynoszą znów 90 zł i 55 zł za jeden litr
szamponu. Załóżmy jednak, że firma AGA zobowiązała się dostarczyć klientowi 800
litrów szamponu TRIO-90. Rozwiąż zadanie metodą graficzną.
4. Rozwiąż metodą graficzną następujące zadanie PL:
2x1 + 3x2 → max
przy warunkach:
x1 − x2 ¬ 3
−2x1 + x2 ¬ 1
x1 ­ 1, x2 ­ 0
Własność 1. Warunek dostateczny istnienia rozwiązania optymalnego
Jeśli zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest niepusty i ograniczony, to w zadaniu PL
istnieje rozwiązanie optymalne.
Własność 2. (o wierzchołkowym rozwiązaniu optymalnym)
W zadaniu PL o nieujemnych zmiennych decyzyjnych i niepustym zbiorze rozwiązań
optymalnych przynajmniej jeden wierzchołek zbioru D jest rozwiązaniem optymalnym.
5. Korzystając z powyższych własności własności zadań PL wyznacz decyzję optymalną
w zadaniu 1.
2
6. Dany jest zbiór D decyzji dopuszczalnych:
D = {(x1 , x2 ) : x1 + 3x2 ­ 3, −x1 + 2x2 ¬ 8, x2 ¬ 7, x1 ­ 0, x2 ­ 0}
Wyznacz zbiór decyzji optymalnych Dopt następujących zadań PL:
(a) f (x1 , x2 ) = x1 + 2x2 → max przy warunkach (x1 , x2 ) ∈ D
(b) f (x1 , x2 ) = x1 + 2x2 → min przy warunkach (x1 , x2 ) ∈ D
(c) f (x1 , x2 ) = x1 − 2x2 → min przy warunkach (x1 , x2 ) ∈ D
(d) f (x1 , x2 ) = x2 → max przy warunkach (x1 , x2 ) ∈ D
W każdym z tych zadań wskaż wszystkie te warunki ograniczające, których usunięcie
nie spowoduje zmiany zbioru Dopt .
7. Dane jest zadanie optymalizacyjne: f (x1 , x2 ) = 2x1 + 2x2 → max przy warunkach:
x1 + 3x2 ­ 6
x1 ¬ 4
x2 ¬ 3
x1 + x2 ¬ α
x1 ­ 0, x2 ­ 0
Dla jakich wartości parametru α ∈ R zadanie to:
(a) jest sprzeczne,
(b) ma dokładnie jedno rozwiązanie optymalne,
(c) ma nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych,
(d) nie ma rozwiązań optymalnych, gdyż funkcja celu jest nieograniczona z góry na
zbiorze rozwiązań dopuszczalnych,
8. Firma sprzedaje 3 typy komputerów osobistych montowanych z gotowych elementów.
Cena komputera A wynosi 600 zł, B - 1300 zł, C - 2000 zł. Zmontowanie komputera
A trwa 1 godzinę, B - 3 godziny, C - 4 godziny. W skład komputera A wchodzi 5 modułów elektronicznych, B - 7 modułów, C - 10 modułów. Ułożyć model optymalizacji
struktury produkcji komputerów na najbliższy miesiąc, przyjmując jako kryterium
optymalizacji przychód ze sprzedaży komputerów oraz wiedząc, że ogólny czas montażu nie może przekroczyć 300 godzin, w zapasie jest 900 modułów elektronicznych
oraz 90 monitorów i 90 klawiatur komputerowych. Podać postać standardową tego
zadania i zinterpretować występujące w niej zmienne.
3