VI BOLESŁAWIECKI KONKURS MATEMATYCZNY

45
MATERIAŁY
Jerzy Janowicz
VI BOLESŁAWIECKI
KONKURS MATEMATYCZNY
W poprzednim numerze „Matematyki w Szkole” publikowaliśmy zadania przygotowawcze
do VI Bolesławieckiego Konkursu Matematycznego dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych. W tym numerze zamieszczamy zadania z I etapu konkursu. Rozwiązania zadań znajdą Państwo na stronie www.gwo.pl/
gazeta2 (hasło potrzebne do otwarcia pliku:
or6lis).
Poziom podstawowy - I etap
1. Ile jest takich ułamków nieskracalnych p
q
o liczniku i mianowniku dwucyfrowym, że
po dodaniu liczby 5 do licznika ułamka p
q
otrzymujemy ułamek, który można skrócić
przez 7, a po dodaniu do mianownika ułamka p
q liczby 7 otrzymujemy ułamek, który
można skrócić przez 5?
2. Aby zwiększyć stężenie roztworu cukru
do 10%, należy dosypać do niego 0,2 kg cukru. Ten sam efekt można uzyskać, odparowując pewną ilość wody. Jaką masę wody
należy odparować?
3. Dla jakich wartości parametru k równanie x2 − 7x + k = 0 ma dwa różne pierwiastki
będące dodatnimi liczbami naturalnymi?
4. Czy ośmiokąt o wierzchołkach w punktach
A = (1, −2),
B = (3, −1),
C = (4, 1),
D = (3, 3),
E = (1, 4),
F = (−1, 3),
G = (−2, 1),
H = (−1, −1) jest foremny?
5. Na planszy takiej jak na poniższym rysunku stoi sześcienna kostka, której dolna
ściana dokładnie pokrywa się z polem zama-
MAGENTA BLACK
lowanym na szaro. Krawędź kostki ma długość 9 cm. Wojtek przewraca kostkę, opierając ją na jej krawędzi, na kolejne pola zgodnie z numeracją od 1 do 8. Jakiej długości
drogę przebędzie środek symetrii tej kostki?
1
2
5
4
3
6
7
8
Poziom rozszerzony - I etap
1. Aby otrzymać wynik dzielenia pewnej
liczby czterocyfrowej przez 65, wystarczy
skreślić w tej liczbie cyfrę tysięcy. Ile jest
równa ta liczba?
2. Wykaż, że dla każdego x ∈ 1; +∞) zachodzi równość:
√
√
x+ x2 −1 + x− x2 −1 = x + 1
2
2
3. Czy istnieje taka wartość parametru a, dla
której funkcja f (x) = a · |x| + |x − 1| ma dokładnie trzy miejsca zerowe?
4. W stukącie foremnym ponumerowano kolejno boki od 1 do 100. Pod jakim kątem
przecinają się proste zawierające 33. i 44.
bok?
5. Ołowianą kulkę przetopiono na krążek,
który jest walcem o promieniu podstawy
równym promieniowi kuli. Czy wskutek tego pole powierzchni wzrosło, czy zmalało?
O ile procent?
(ml35) str. 45