UŁAMKI ALGEBRAICZNE

UŁAMKI ALGEBRAICZNE
Jeśli za uogólnienie liczb całkowitych przyjmiemy wielomiany, (czyli wyrażenia postaci 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 +
𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0) to uogólnieniem liczb wymiernych (ułamków) będą tak zwane ułamki
algebraiczne. Skoro ułamek to iloraz dwóch liczb całkowitych, z których ta druga (dzielnik) musi być
różna od zera, to analogicznie ułamek algebraiczny będzie ilorazem dwóch wielomianów, z których ten
drugi (dzielnik) musi być różny od wielomianu zerowego. Zatem przyjmujemy, że
algebraicznym gdy 𝑃(𝑥) i 𝑄(𝑥) są wielomianami oraz 𝑄(𝑥) ≠ 0.
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
jest ułamkiem
DZIEDZINA I WARTOŚĆ UŁAMKA ALGEBRAICZNEGO
Ułamek algebraiczny jest nieokreślony dla wszystkich wartości 𝑥 dla których wielomian 𝑄(𝑥) = 0.
Dziedzina ułamka algebraicznego jest zatem zbiór ℝ ∖ {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 }, gdzie 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 to pierwiastki
wielomianu 𝑄(𝑥).
RÓWNANIE WYMIERNE
Równanie wymierne to równanie postaci
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 0. Zatem rozwiązywanie równań wymiernych w sumie
to nic innego jak poszukiwanie miejsc zerowych wielomianu 𝑃(𝑥) i porównywanie ich z dziedziną
ułamka algebraicznego
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
.
2𝑥2 −1
1
Przykład 1. Oblicz wartość ułamka algebraicznego: 𝑥+2 dla 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 , 𝑥 = √2.
Podstawiamy powyższe wartości za 𝑥 i obliczamy wartość ułamka, w przypadku √2 należy jeszcze
usunąć niewymierność z mianownika.
Przykład 2. Określ dziedzinę ułamka algebraicznego:
𝑥−3
.
2𝑥2 −4𝑥
Należy znaleźć miejsca zerowe mianownika. Są nimi 0 i 2. Zatem dziedziną jest zbiór ℝ ∖ {0, 2}.
𝑥 2 −6𝑥+9
Przykład 3. Skróć ułamek algebraiczny:
.
3𝑥 2 −27
Należy rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy w liczniku (kłania się delta) i w mianowniku.
Zatem
𝑥 2 −6𝑥+9
3𝑥 2 −27
=
(𝑥−3)2
𝑥−3
=
3(𝑥−3)(𝑥+3) 3(𝑥+3)
2+𝑥
𝑥 2 +4𝑥
Przykład 4. Dodaj ułamki:
2−𝑥
+
𝑥 2 −4
. Dziedziną tego ułamka jest ℝ ∖ {−3, 3}.
.
Należy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Zatem
Przykład 6. Rozwiąż równanie:
1
𝑥−2
=
3
𝑥+2
𝑥−2
+
𝑥 2 +4𝑥
𝑥 2 −4
=
(𝑥+2)2 +𝑥 2 +4𝑥
𝑥 2 −4
=
2𝑥 2 +8𝑥+4
𝑥 2 −4
.
𝑥+3
Dziedziną obydwu ułamków algebraicznych jest zbiór ℝ ∖ {−3, 2}. Przenosimy wszystko na lewą stronę.
1
𝑥−2
−
Zatem
3
= 0. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i otrzymujemy
𝑥+3
−2𝑥+9
= 0.
9
(𝑥−2)(𝑥+3)
(𝑥+1)2 +(𝑥−1)2
(𝑥−1)(𝑥+1)
< 1 czyli
𝑥+1
+
𝑥−1
𝑥−1
𝑥+1
2𝑥 2 +2
(𝑥−1)(𝑥+1)
< 1. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.
< 1. Przenosimy jedynkę na lewo i znów sprowadzamy
wszystko do wspólnego mianownika.
Mamy zatem
(𝑥−2)(𝑥+3)
= 0, co daje 𝑥 = − 2.
Przykład 7. Rozwiąż nierówność:
Mam
𝑥+3−3(𝑥−2)
2𝑥 2 +2
(𝑥−1)(𝑥+1)
−
(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−1)(𝑥+1)
< 0, czyli ostatecznie
𝑥 2 +3
(𝑥−1)(𝑥+1)
< 0. Licznik tego ułamka jest
zawsze większy od zera. Zatem ułamek jest mniejszy od zera gdy (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) < 0, a to zachodzi dla
𝑥 ∈ (−1, 1).
NIERÓWNOŚĆ WYMIERNA
Równanie wymierne to równanie postaci
Nierówności
Nierówności
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
> 0,
≥ 0,
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
> 0 lub
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
< 0 lub
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≥ 0 lub
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≤ 0.
< 0 są równoważne nierównościom 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) > 0, 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) < 0.
≤ 0 są równoważne układom {
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) ≥ 0 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) ≤ 0
,{
𝑄(𝑥) ≠ 0
𝑄(𝑥) ≠ 0
ZADANIA
1.
Oblicz wartość ułamka algebraicznego:
a)
b)
c)
d)
e)
2.
b)
1
; dla 𝑥 = 1, 𝑥 = 2 , 𝑥 = √2, 𝑥 = −√2
𝑦−1
𝑥+𝑦
𝑥−1
𝑚+𝑛−1
𝑚−𝑛+2
dla 𝑥 = 𝑚−𝑛+1 , 𝑦 = 2𝑚+𝑛+2
𝑝+𝑞
𝑝−𝑞
dla 𝑥 = 𝑝−𝑞 , 𝑦 = 𝑝+𝑞
5𝑥 2 𝑦
10𝑥 3 𝑦
b)
12𝑥 2 𝑦𝑧
c)
18𝑥 2 𝑦 3 𝑧
7𝑥 3 𝑦 5 (𝑎+𝑏)
d)
21𝑥 2 𝑦 3 (𝑎+𝑏)
𝑎−𝑏
𝑏−𝑎
𝑎𝑐−𝑏𝑐
𝑎𝑐+𝑏𝑐
𝑎2 +3𝑎𝑏
𝑎2 𝑏+3𝑎𝑏
c)
d)
𝑥 2 −2𝑥𝑦
𝑥𝑦−2𝑦 2
𝑥 2 −4𝑥+4
𝑥 2 −4
e)
f)
3−2𝑥 2
2𝑥 3 𝑦 2 −𝑥 4 𝑦
𝑎3 −𝑏3
2𝑎−2𝑏
𝑎𝑥+𝑎𝑦−𝑏𝑥−𝑏𝑦
𝑎𝑥−𝑎𝑦−𝑏𝑥+𝑏𝑦
b)
1−3𝑦+3𝑦 2 −𝑦 3
𝑧−𝑧𝑦+𝑥−𝑥𝑦
c)
𝑥 3 −𝑥 2 −𝑥+1
𝑥 4 −2𝑥 2 +1
Określ dziedzinę ułamków algebraicznych:
a)
b)
6.
𝑥 2 +𝑥
𝑥+1
; dla 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 1, 𝑥 = √2, 𝑥 = √3
Skróć ułamki algebraiczne:
a)
5.
𝑥 2 −1
2𝑥+1
1
√2
Skróć ułamki algebraiczne:
a)
4.
𝑥+2
𝑥
1
; dla 𝑥 = 0, 𝑥 = − 2 , 𝑥 = 1, 𝑥 = √2, 𝑥 =
Skróć ułamki algebraiczne:
a)
3.
2𝑥 2 −1
2
𝑥−2
𝑥−3
𝑥 2 −4𝑥
c)
d)
1
𝑥 2 −3
e)
𝑥+1
𝑥 4 −16
f)
𝑥 2 −4𝑥+5
𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥+1
𝑥 2 −5𝑥
𝑥 6 −9𝑥 3 +8
Określ dziedzinę i uprość ułamki algebraiczne:
a)
b)
c)
𝑥 2 −6𝑥+9
3𝑥 2 −27
2𝑥 2 +12𝑥+18
𝑥 2 +5𝑥+6
𝑥 4 −1
𝑥 4 +2𝑥 2 +1
d)
e)
f)
𝑥 3 +8
𝑥 2 −4
𝑥 2 +4
𝑥 4 −16
2𝑥 3 +16
𝑥 2 −2𝑥+4
g)
h)
16𝑥 3 −2
4𝑥 2 +2𝑥+1
𝑥 2 −3𝑥+2
𝑥 2 −6𝑥+5
7.
Wykonaj działania:
a)
b)
c)
8.
𝑥−3
𝑥
𝑥−1
2+𝑥
2−𝑥
+
3
d)
𝑥
−1
+
e)
2−𝑥
f)
2+𝑥
1
𝑥
+
2
𝑥2
𝑥
𝑥−1
𝑥+1
𝑥−1
−
+
+
3
g)
𝑥3
𝑥−1
h)
𝑥+1
𝑥−1
4𝑥
𝑥−3
1
𝑥−1
+
+
3𝑥
𝑥+3
1
𝑥+2
−
2
𝑥 2 +2𝑥+4
𝑥+1
Wykonaj działania:
a)
9.
𝑥
𝑎+𝑏
𝑥+𝑎
+
𝑎−𝑏
b)
𝑥+𝑎
𝑥
𝑥−𝑦
+
𝑦
c)
𝑦−𝑥
1
𝑥−𝑦
+
1
𝑥+𝑦
Rozwiąż równania wymierne:
a)
b)
c)
d)
4
𝑥−2
𝑥−1
𝑥+1
1
𝑥−2
𝑥
𝑥−4
3
e) 𝑥 − 𝑥 = 2
= 𝑥
=
=
−
𝑥+1
f)
𝑥−1
3
𝑥+3
2
𝑥+8
g)
=
63
h)
𝑥 2 +4𝑥−32
2𝑥+3
3𝑥+2
1
𝑥−1
𝑥−1
𝑥+2
=
=
−
6𝑥+6
5𝑥+4
2
𝑥+2
𝑥−2
𝑥+3
= 1
=
𝑥−4
𝑥+5
−
𝑥−5
𝑥+6
10. Rozwiąż nierówności wymierne:
a)
1
𝑥
≤1
d)
1
b) 𝑥 + 𝑥 ≤ 2
c)
1
𝑥
−
1
𝑥−1
>4
e)
f)
1
𝑥+1
−
1
<1
𝑥−2
1
𝑥 ≤ 3 − 𝑥−1
3𝑥−4
𝑥 2 +4𝑥+4
≥0
g)
h)
𝑥
𝑥 2 −5𝑥+6
𝑥 2 +𝑥−4
2𝑥−5
<
1
𝑥−2
<1