Lista 5. 1. Niech F będzie ciałem charakterystyki p > 0 oraz a, b ∈ F

Lista 5.
1. Niech F będzie ciałem charakterystyki p > 0 oraz a, b ∈ F . Wykazać, że jeśli
ap = bp , to a = b.
2. Wykazać, że jeśli K jest ciałem skończonym, to K p = K, gdzie K p = {ap | a ∈ K}.
3. Niech L1 i L2 będą rozszerzeniami ciała K zawartymi w ciele M i niech [L1 , K] =
r1 , [L2 , K] = r2 , gdzie N W D(r1 , r2 ) = 1. Udowodnić, że L1 ∩ L2 = K.
4. Niech L1 i L2 będą takimi podcialami ciała K, że K jest skończonym rozszerzeniem
każdego z nich. Czy K jest skończonym rozszerzeniem ciała L1 ∩ L2 ?
5. Jeśli a jest elementem algebraicznym względem ciała K to przez degK (a) oznaczymy stopień wielomianu nierozkładalnego f (x) ∈ K[x], którego a jest pierwiastkiem.
a) Wykazać, że degK (a) = degK (−a) oraz degK (a−1 ) = degK (a) (o ile a 6= 0).
b) Czy jeśli N W D(degK (a), n) = 1, to degK (an ) = degK (a)?
c) Wykazać, że degK (a + b) 6 degK (a) degK (b) oraz degK (ab) 6 degK (a) degK (b)
d) Czy jeśli N W D(degK (a), degK (b)) = 1, to w obu nierównościach z punktu c)
zachodzą równości?
6. Niech K ⊆ L będą ciałami, char K = p > 0 oraz element a ∈ L będzie rozdzielczy
względem K zaś b ∈ L jest algebraiczny i nierozdzielczy względem K. Wykazać, że
następujące elementy nie są rozdzielcze względem ciała K:
a) a + b,
b) ab, jeżeli a 6= 0,
c) bn , jeżeli N W D(n, p) = 1,
d) f (b), gdzie f (x) ∈ K[x] \ K[xp ].
1