klasyczny wzór
Transkrypt
klasyczny wzór
Zagadnienie odwrotne w rozpraszaniu na potencjale i w rozpadzie Gamowa Spis treści • Wstęp • Problem klasyczny i kwantowy – Problem klasyczny – Potencjał kanoniczny – Problem kwantowy • Wzór Gamowa – wzór Gamowa – odwrotny wzór Gamowa • Zastosowanie – rozpad α – zimna emisja elektronów • Podsumowanie Problem klasyczny Problem klasyczny x2 E T E = 2m ∫x E 1 dx E−U x U T E dE 1 x 2 U − x 1 U = ∫ π 2m 0 U −E x U = 1 U ∫ 2π 2m 0 T E dE U −E Problem klasyczny x2 E T E = 2m ∫x E 1 x 2 U − x 1 U = x U = dx E−U x U T E dE 1 ∫ π 2m 0 U −E 1 2π 2m U ∫0 T E dE U −E Problem klasyczny x 2 E T E = 2m ∫x E 1 x 2 U −x 1 U = = x U 1 2π dx E−U x U T E dE 1 ∫ π 2m 0 U −E U ∫ 2m 0 T E dE U −E ∫ ∫ m L ∫ 2 0 T E = R E = m 2 1 x U = π dx E−U x x1 E 0 2 m U 0 dx E −U x R E dE U − E E>U 0 E ≤U 0 Potencjał kanoniczny Potencjał kanoniczny Potencjał kanoniczny T E= T E= m V ∫ 2 0 0 m L m V E− V x dx= ∫ ∫ 2 0 2 0 L 0 E−V ∫0 E−V [V −V x] dx d V = dx dV d V m L ∫ E−V x dx 2 0 Potencjał kanoniczny a).Parabola zadana wzorem: V x =4V 0 [ ] x x − L L 2 Potencjał kanoniczny a).Parabola zadana wzorem: wartości punktów: x± = V x =4V 0 [ [ L V 1± 1− 2 V0 ] ] 1/ 2 [ ] x x − L L 2 Potencjał kanoniczny a).Parabola zadana wzorem: wartości punktów: V x =4V 0 x± = [ [ L V 1± 1− 2 V0 [ ] x x − L L 2 ] ] 1/ 2 x V = L− x x− −0 Po dokonaniu odwrócenia powyższego wzoru otrzymamy potencjał kanoniczny postaci: [ ] x x V x =V 0 2 − L L 2 Potencjał kanoniczny a).Parabola zadana wzorem: wartości punktów: V x =4V 0 [ [ L V x± = 1± 1− 2 V0 [ ] x x − L L 2 ] ] 1/ 2 x V = L− x x− −0 Po dokonaniu odwrócenia powyższego wzoru otrzymamy potencjał kanoniczny postaci: [ ] x x V x =V 0 2 − L L 2 Potencjał kanoniczny V y =ay 3by 2cyd = y 23− y 22 y 21−0 y V Potencjał kanoniczny 3 2 V y =ay 3 +by 2 +cy+d 3 2 2 3 ay by c 5b b bc V y =− − +y − − 8 8 2 24a 72 a 2 6a = y 23− y 22 y 21−0 y V Problem kwantowy Problem kwantowy dla E > 0: 1 x ~ eikx , x −∞ 2 x ~ b k e−ikx , x −∞ ikx 3 x ~ a k e , x ∞ Problem kwantowy dla E > 0: 1 x ~ eikx , x −∞ 2 x ~ b k e−ikx , x −∞ ikx 3 x ~ a k e , x ∞ dla E < 0: 1 x ~ c n e Kn x , x −∞ Kn x , x ∞ 2 x ~ d n e K n= k= −2mE n ℏ 2 2mE ℏ 2 Problem kwantowy dla E > 0: 1 x ~ eikx , x −∞ 2 x ~ b k e−ikx , x −∞ ikx 3 x ~ a k e , x ∞ dla E < 0: 1 x ~ c n e Kn x , x −∞ Kn x , x ∞ 2 x ~ d n e K n= k= −2mE n ℏ 2 2mE ℏ 2 b k , cn . κ n d U x =−2 K x,x dx Wzór Gamowa Kwantowa cząstka o energii E zderzając się z barierą potencjału daje skończone prawdopodobieństwo pokonania bariery, nawet jeśli jej energia jest mniejsza niż maksymalny potencjał bariery. T E =exp −2 ∫ 2m U x − E dx ℏ Wzór odwrotny Gamowa: −2 T E =exp ℏ x E 2 ∫ 2m U x − E dx x1 E Wzór odwrotny Gamowa −2 T E =exp ℏ Odwrócenie wzóru Gamowa U0 x E 2 ∫ 2m U x − E dx x1 E U dx 1 dx 2 dT E dE =∫ − dU ∫ dE dU dU α α U −E E −α Wzór odwrotny Gamowa −2 T E =exp ℏ Odwrócenie wzóru Gamowa U0 x E 2 ∫ 2m U x − E dx x1 E U dx 1 dx 2 dT E dE =∫ − dU ∫ dE dU dU α α U −E E −α całkowe równanie Abela: E ∫ 0 Φ U dU =f E E −U Wzór odwrotny Gamowa −2 T E =exp ℏ Odwrócenie wzóru Gamowa U0 x E 2 ∫ 2m U x − E dx x1 E U dx 1 dx 2 dT E dE =∫ − dU ∫ dE dU dU α α U −E E −α całkowe równanie Abela: E ∫ 0 x1 U − x 2 U =− Φ U dU =f E E −U U dT E ℏ dE ∫ π 2m U dE T E E−U 0 Wzór odwrotny Gamowa −2 T E =exp ℏ Odwrócenie wzóru Gamowa U0 x E 2 ∫ 2m U x − E dx x1 E U dx 1 dx 2 dT E dE =∫ − dU ∫ dE dU dU α α U −E E −α całkowe równanie Abela: E ∫ 0 Φ U dU =f E E −U x1 U − x2 U =− U dT E ℏ dE ∫ π 2m U dE T E E −U 0 odwrotny wzór: = x U 1 π 2 U ∫ m 0 T E dE U − E Teoria rozpadu α Teoria rozpadu α T E ~exp− 2 R ℏ ∫R 2m V − E dr Zjawisko zimnej emisji x U = −1 U 0 −U eE Podsumowanie • rozwiązanie problemu odwrotnego polegało na jednoznacznym wyznaczeniu potencjału opisującego barierę znając jedynie wartość współczynnika prawdopodobieństwa • niejednoznaczność rozwiązania zmusiła do wprowadzenie pojęcia potencjału kanonicznego • odwrócenie formuły całkowej było możliwe jedynie ale przypadku 1D, bądź dla zmiennych radialnych Transformacja Laplace'a Transformacja Laplace'a odwzorowuje funkcję f(t) w funkcję f(s) zgodnie ze wzorem: f s =∫ f t e−st dt Odwzorowanie to przyporządkowuje funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t funkcję f s zmiennej zespolonej s. Do określenia przekształcenia odwrotnego stosuje się wzór: f t = 1 st f s e ds . ∫ 2π Aby przekształcenie było matematycznie dobrze określone musi zachodzić: dla ∣ f t ∣≤Me ρt gdzie M i ρ są pewnymi stałymi.