PIOTR FISZEDER, JACEK KWIATKOWSKI Katedra

PIOTR FISZEDER, JACEK KWIATKOWSKI
Katedra Ekonometrii i Statystyki
DYNAMICZNA ANALIZA ZALEŻNOŚCI POMIĘDZY OCZEKIWANĄ STOPĄ
ZWROTU A WARUNKOWĄ WARIANCJĄ
Streszczenie: W badaniu zastosowano modele GARCH-M ze stałym i zmiennym parametrem.
Uzyskane szacunki dla modelu GARCH-M ze zmiennym parametrem mogą tłumaczyć
rozbieżność wyników prowadzonych dotychczas analiz empirycznych dotyczących zależności
pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a warunkową wariancją przeprowadzonych z
wykorzystaniem modelu GARCH-M ze stałym parametrem.
1. WPROWADZENIE
Z modelu wyceny aktywów kapitałowych (CAPM) wynika, że pomiędzy oczekiwaną
stopą zwrotu portfela rynkowego a wariancją stopy zwrotu tego portfela istnieje dodatnia
zależność liniowa. Przyjmuje się również, że dla ustalonego okresu inwestorzy wymagają
wyższych oczekiwanych stóp zwrotu z aktywów, z którymi związane jest większe ryzyko
(mierzone odchyleniem standardowym lub wariancją). Nie ma jednakże zgody co do tego czy
dodatnia zależność między oczekiwaną stopą zwrotu a wariancją jest „dynamiczna” tzn. czy
w okresie, gdy dany papier wartościowy charakteryzuje się większym (mniejszym) ryzykiem
inwestorzy wymagają większej (mniejszej) premii (różnicy między oczekiwaną stopą zwrotu
z danego aktywu a stopą zwrotu wolną od ryzyka) za ryzyko. Wyniki badań empirycznych są
niejednoznaczne. Na przykład: Engle, Lilien i Robins (1987) oraz French, Schwert i
Stambaugh (1987) wskazują na dodatnią zależność między oczekiwaną stopą zwrotu a
warunkową wariancją. Z drugiej strony Glosten, Jagannathan i Runkle (1993) mówią o
ujemnej zależności między oczekiwaną stopą zwrotu a wariancją. W pracach: Baillie i
Bollerslev (1990) oraz Domowitz i Hakkio (1985) zależność między oczekiwaną stopą zwrotu
a ryzykiem była nieistotna statystycznie. Backus i Gregory (1993) dowodzą teoretycznie, że
zależność pomiędzy premią za ryzyko a warunkową wariancją może mieć dowolny kierunek i
postać. Wielu autorów stawia pod znakiem zapytania stałość liniowej zależności pomiędzy
oczekiwaną stopą zwrotu a warunkową wariancją (np. Chou, Engle i Kane, 1992 oraz
Harrison i Zhang, 1999). Rozbieżność wyników prowadzonych badań skłoniła nas do analizy
zależności pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a ryzykiem dla wybranych procesów
dotyczących polskiego rynku finansowego. Ryzyko mierzone jest warunkową wariancją (lub
ewentualnie warunkowym odchyleniem standardowym) stopy zwrotu badanego aktywu. W
badaniu zastosowano model GARCH-M (GARCH in mean) ze zmiennym parametrem.
Uzyskane rezultaty przynajmniej w części pozwalają odpowiedzieć na pytanie dlaczego
wyniki dotychczasowych badań są tak niejednoznaczne. Niniejszy artykuł jest rozszerzeniem
badań przedstawionych w pracy Fiszeder i Kwiatkowski (2005). W prezentowanej pracy
analizowano inne procesy finansowe, tj. dodatkowe indeksy giełdowe, akcje tzw. „blue
chipów” oraz kursy walutowe.
Układ artykułu jest następujący. W części drugiej przedstawiono stosowane w badaniu
modele: GARCH-M ze stałym i zmiennym parametrem oraz metody ich estymacji. Do
estymacji modelu GARCH-M ze zmiennym parametrem proponujemy stosować metodę quasi
największej wiarygodności. Część trzecia zawiera analizę zależności pomiędzy oczekiwaną
stopą zwrotu a ryzykiem dla wybranych procesów obserwowanych na polskim rynku
finansowym. W części czwartej zaprezentowano wnioski.
2. ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY OCZEKIWANĄ STOPĄ ZWROTU A
WARUNKOWĄ WARIANCJĄ
Model CAPM można przedstawić w następującej postaci:
E (ri ) − r f = λ M cov(ri , rM ) ,
(1)
gdzie E (ri ) jest to oczekiwana stopa zwrotu i-tego waloru, r f - stopa zwrotu wolna od
ryzyka, λ M - parametr określany jako rynkowa cena ryzyka, cov (ri , rM ) - kowariancja stopy
zwrotu i-tego waloru i portfela rynkowego.
Równanie (1) zapisane dla portfela rynkowego ma następującą postać:
E (rM ) − r f = λ σ M2 ,
(2)
gdzie E (rM ) i σ M2 oznaczają odpowiednio: warunkową wartość oczekiwaną i warunkową
wariancję stopy zwrotu portfela rynkowego.
Z równania (2) wynika, że premia za ryzyko ( E (rM ) − r f ) jest proporcjonalna do
wariancji stopy zwrotu portfela rynkowego. Parametr λ powinien być większy od zera, bo w
przeciwnym wypadku inwestorzy nie byliby zainteresowani posiadaniem ryzykownego
portfela, którego oczekiwana stopa zwrotu jest mniejsza od stopy wolnej od ryzyka.
Dla ustalonego okresu inwestorzy wymagają wyższych oczekiwanych stóp zwrotu z
aktywów, z którymi związane jest większe ryzyko. Na efektywnych rynkach kapitałowych
aktywa o wysokim dochodzie charakteryzują się wysokim ryzykiem. Nie ma jednakże zgody
co do tego czy zależność między oczekiwaną stopą zwrotu a wariancją jest dynamiczna.
Przedstawione we wprowadzeniu wyniki badań są niejednoznaczne. Duża grupa spośród
wspomnianych analiz została przeprowadzona z wykorzystaniem modelu GARCH-M (lub
ARCH-M). Jedną z ważniejszych charakterystyk finansowych szeregów czasowych jest
skupianie się wariancji w wąskich przedziałach czasu i ściśle z tym związana zmienność
wariancji warunkowej. Model GARCH-M (patrz Engle, Lilien i Robins, 1987) pozwala w
naturalny sposób modelować liniową zależność pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a
zmienną w czasie wariancją warunkową. Model GARCH-M(p,q) można przedstawić w
następującej postaci:
rt = δ ht + φ 0 + φ1 rt −1 + ... + φ k rt − k + ε t ,
(3)
ε t = z t ht1 / 2 ,
(4)
ht = α o +
z t ~ N (0,1) ,
q
∑α ε
i=1
2
i t-i
+
p
∑β h
j=1
j
t -j
,
(5)
gdzie rt oznacza stopę zwrotu, a ht wariancję warunkową. W równaniu (3) wprowadzono
opóźnione wartości rt , aby uwzględnić ewentualną autokorelację stóp zwrotu. W badaniach
empirycznych często wystarczające jest przyjęcie w równaniu (5) q = 1 i p = 1 . Do estymacji
parametrów modelu GARCH-M w postaci (3-5) wykorzystuje się najczęściej metodę
największej wiarygodności. Ponieważ warunkowa normalność procesu (założona w równaniu
(4)) nie jest w stanie wyjaśnić zwiększonej kurtozy występującej w rozkładach brzegowych
empirycznych procesów finansowych, dlatego należy albo zastosować przy estymacji
parametrów metodę quasi największej wiarygodności, albo przyjąć dla z t rozkład o
grubszych ogonach (np. rozkład t-Studenta). Dla danych o mniejszej częstotliwości np.
miesięcznych, w równaniu (3) pomija się stałą φ 0 , a model szacowany jest na podstawie stóp
zwrotu pomniejszonych o stopę wolną od ryzyka (excess returns).
W równaniu (3) zamiast ht można również przyjąć
ht lub ln (ht ) (por. Engle,
Lilien i Robins, 1987). Przyjęcie takiej specyfikacji oznacza, że zmiany w wariancji mają
mniejszy wpływ na oczekiwaną stopę zwrotu (zależność między oczekiwaną stopą zwrotu a
wariancją nie jest liniowa). Liczne badania (np. Bollerslev i Wooldridge, 1992; Glosten,
Jagannathan i Runkle, 1993) pokazują, że ocena parametru δ jest bardzo wrażliwa na postać
równania dla warunkowej wariancji. Glosten, Jagannathan i Runkle (1993) uwzględniając
poziom stóp procentowych oraz asymetryczny wpływ dodatnich i ujemnych stóp zwrotu na
wariancje, otrzymali ujemną ocenę parametru δ (w modelu o równaniach (3-5) ocena była
dodatnia).
Teoria finansów dopuszcza zarówno dodatnią, jak i ujemną „dynamiczną” zależność
między warunkową stopą zwrotu a warunkową wariancją. Glosten, Jagannathan i Runkle
(1993) podają przykłady, kiedy powyższa zależność może być ujemna. Backus i Gregory
(1993) dowodzą teoretycznie, że zależność pomiędzy premią za ryzyko a warunkową
wariancją może mieć dowolny kierunek i postać. Harrison i Zhang (1999) pokazują, że
zależność między oczekiwaną stopą zwrotu a ryzykiem jest dodatnia, ale tylko w przypadku
długiego okresu inwestycji (kwartał, rok, dwa lata). Nie znajdują natomiast żadnej istotnej
zależności dla krótkiego okresu inwestycji.
Wielu autorów stawia pod znakiem zapytania stałość zależności pomiędzy oczekiwaną
stopą zwrotu a warunkową wariancją (np. French, Schwert i Stambaugh, 1987; Chou, Engle i
Kane, 1992; Harrison i Zhang, 1999). Podstawową wersję modelu GARCH-M ze zmiennym
parametrem (TVP GARCH-M, time varying parameter) wprowadzają Chou, Engle i Kane
(1992). Postać tego modelu, rozszerzoną o występujące w równaniu dla średniej opóźnione
wartości zmiennej objaśnianej, można zapisać:
rt = bt ht + φ 0 + φ1 rt −1 + ... + φ k rt − k + ε t ,
(6)
ε t = z t ht1 / 2 ,
(7)
ht = α o +
q
z t ~ N (0,1) ,
∑ αiηt-i2 +
i=1
p
∑β h
j=1
j
t -j
,
bt = bt −1 + vt , v t ~ N (0, Q) ,
(8)
(9)
gdzie η t = rt − E t −1 (rt ) , cov (ε t , vt ) = 0 .
Powyższy model jest naturalnym rozszerzeniem modelu GARCH-M, w którym parametr δ w
równaniu (3) jest opisany procesem błądzenia przypadkowego. Taka specyfikacja pozwala
modelować nie tylko zmieniającą się w czasie wariancję warunkową, ale również zmieniającą
się zależność pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a warunkową wariancją. Chou, Engle i
Kane (1992) nazywają bt „ceną zmienności”. W odróżnieniu od podstawowego modelu
GARCH-M, w równaniu (8) kolejne kwadraty opóźnionych reszt ε t −i zastąpione są
kwadratami η t uzyskanymi z filtru Kalmana. W przestrzeni stanów równanie (6) nazywane
jest równaniem wyjścia lub obserwacji, natomiast (9) równaniem stanu. W celu znalezienia
nieznanych wartości parametrów można zatem wykorzystać zmodyfikowaną wersję filtru
Kalmana, która dodatkowo uwzględnia zmienność wariancji warunkowej. Oznaczając przez
yt
(n × 1) -wymiarowy
wektor zmiennych obserwowanych w czasie t , ogólny model
przestrzeni stanów można zapisać jako:
y t = A' xt + Z t'ξ t + wt ,
(10)
ξ t = Fξ t −1 + vt ,
(11)
gdzie równanie (10) nazywane jest równaniem wyjścia lub obserwacji, a równanie (11)
równaniem stanu, ξ t oznacza (r × 1) wymiarowy wektor stanu, F i Z t' są odpowiednio
macierzami stanu oraz wyjścia o wymiarach
(r × r )
i
(n × r ) .
Wektor xt jest
(k × 1) -
wymiarowym wektorem zmiennych egzogenicznych lub z góry ustalonych. Macierz A' ma
wymiary (n × k ) . Wektory wt i vt o wymiarach (n × 1) oraz (r × 1) są wektorami białych
szumów, mianowicie:
(
)
( )
h dla t = τ
Q dla t = τ
E wt wτ' =  t
i E vt vτ' = 
,
 0 dla t ≠ τ
 0 dla t ≠ τ
gdzie ht i Q są macierzami o wymiarach
(n × n )
i
(r × r ) .
Dodatkowo zakłada się
niezależność wektorów wt i vt .
Definiując przez at | t −1 = E [ξ t ψ t −1 ] wektor stanu oszacowany w oparciu o informacje
dostępne w chwili
t −1
oraz przez
'
Pt | t −1 = E (ξ t − at | t −1 )(ξ t − at | t −1 ) ψ t −1 


macierz
kowariancji tego oszacowania, równania filtru Kalmana, które służą do estymacji parametrów
zawartych w A' , F, Q i ht mają postać:
at | t −1 = Fat −1 ,
(12)
Pt | t −1 = FPt −1 F '+Q ,
(13)
y t| t −1 = A' xt + Z t' at | t −1 ,
(14)
u t = y t − y t| t −1 ,
(15)
Wt = Z t' Pt | t −1 Z + ht ,
(16)
at = a t| t −1 + Pt | t −1 Z tWt −1u t ,
(17)
(
)
Pt = I − Pt | t −1 Z tWt −1 Z t' Pt |t −1 .
(18)
Uwzględniając efekt GARCH (1,1) dopisujemy jeszcze jedno równanie (por. Rockinger i
Urga, 2000), mianowicie:
ht = α 0 + α 1u t2−1 + β1 ht −1 .
(19)
Oznaczając przez T liczbę obserwacji, logarytm funkcji gęstości dla t -tej obserwacji można
zapisać:
1
1
n
ln Lt = − ln (2π ) − ln Wt − u t'Wt −1u t dla t = 1, ..., T .
2
2
2
(20)
Nieznane wartości parametrów estymuje się poprzez maksymalizację funkcji wiarygodności
T
L = ∑ ln Lt , przyjmując jako wartości początkowe punktowe oceny parametrów otrzymane
t =1
dla modelu GARCH-M ze stałym parametrem. Chou, Engle i Kane (1992) szacując model
GARCH-M ze zmiennym parametrem awersji do ryzyka zastosowali metodę największej
wiarygodności. Ponieważ rozkład z t w równaniu (7) nie jest normalny (posiada grubsze
ogony niż te, które występują w rozkładzie normalnym) proponujemy stosować metodę quasi
największej wiarygodności. Otrzymane tą metodą estymatory są zgodne i asymptotycznie
nieobciążone (patrz Bollerslev i Wooldridge, 1992).
3. ANALIZA WYBRANYCH PROCESÓW OBSERWOWANYCH NA POLSKIM RYNKU
FINANSOWYM
Niejednoznaczność wyników prowadzonych dotychczas badań skłoniła nas do analizy
zależności pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a ryzykiem dla wybranych procesów
dotyczących polskiego rynku finansowego. W badaniu zastosowano modele GARCH-M ze
stałym i zmiennym parametrem awersji do ryzyka. Analizowano wybrane indeksy rynku
akcji: WIG, WIG 20, MIDWIG, TechWIG, wybrane spółki notowane na GPW w Warszawie:
Budopol Wrocław, Energoaparatura (Enap), KGHM Polska Miedź, PKN Orlen, Bank Pekao
S.A, Telekomunikacja Polska (TPSA), Wistil oraz kursy złotego w stosunku do wybranych
walut obcych (kursy NBP): dolara amerykańskiego, euro, franka szwajcarskiego, funta
brytyjskiego i jena japońskiego. Wśród badanych spółek są zarówno tzw. „blue chipy” jak i
spółki o małej kapitalizacji. Ponieważ rozbieżność wyników prowadzonych badań dotyczy
przede wszystkim krótkiego okresu inwestycji (patrz Harrison i Zhang, 1999), do badania
przyjęto dzienne stopy zwrotu obliczane według formuły: rt = 100 ln ( y t / y t −1 ) . W przypadku
indeksów giełdowych i spółek analizowano okres od pierwszego dnia notowań do 31 lipca
2003 r. Badanie kursów walut zostało przeprowadzone dla okresu: 1 styczeń 1995 r. - 31
lipiec 2003 r. (dla kursu euro od 1 stycznia 1999 r.). Estymowano zarówno model GARCH-M
opisany równaniami (3-5), jak i model TVP GARCH-M przedstawiony równaniami (6-9). Do
estymacji parametrów stosowano metodę quasi największej wiarygodności. Dla modelu
GARCH-M wyboru wartości k , p i q dokonano na podstawie bayesowskiego kryterium
informacyjnego (BIC). Badanie przeprowadzono zarówno dla stóp zwrotu, jak i stóp zwrotu
pomniejszonych o stopę wolną od ryzyka. W tym drugim przypadku w równaniach (3) i (6)
pominięto stałą φ 0 . Jako stopę wolną od ryzyka przyjęto rentowność 52 tygodniowych bonów
skarbowych. Ponieważ skorygowanie stóp zwrotu o stopę wolną od ryzyka nie wpłynęło
istotnie
na
uzyskane
wyniki,
poniżej
zaprezentowano
jedynie
wyniki
badania
przeprowadzonego dla stóp zwrotu. Oszacowane modele GARCH-M zostały przedstawione
w tablicy 1.
Warto zwrócić uwagę na istotne różnice dotyczące charakterystyk poszczególnych
procesów finansowych. Najsilniejsza autokorelacja występuje w przypadku indeksów
giełdowych, słabsza w przypadku pojedynczych akcji. Dodatnia autokorelacja indeksów lub
portfeli może wynikać z dodatniej korelacji wzajemnej stóp zwrotu, występującej pomiędzy
akcjami tworzącymi indeks lub portfel. Dla kursów walutowych poza kursem euro, w
przypadku którego występowała ujemna autokorelacja, zaobserwowano brak istotnych
zależności pomiędzy kolejnymi stopami zwrotu. Kolejna różnica pomiędzy poszczególnymi
procesami występuje w szacunkach parametru α 1 w równaniu (5). Są one na ogół większe dla
kursów walutowych. Zatem zmiana ceny w okresie t − 1 ma większy wpływ na wariancję
warunkową (zmienność) stóp zwrotu kursów walutowych niż na wariancję stóp zwrotu akcji.
W dziesięciu przypadkach na szesnaście badanych szeregów ocena parametru δ w
równaniu (3) była ujemna, ale tylko w przypadku kursu dolara i funta była ona istotna
statystycznie. Przyjęcie w równaniu (3) zamiast ht warunkowego odchylenia standardowego
ht
nie wpływa istotnie na uzyskane wyniki. Należy podkreślić, że ujemna wartość
parametru δ nie jest sprzeczna z teorią finansów (patrz np. Glosten, Jagannathan i Runkle,
1993; Backus i Gregory, 1993). Tylko dla spółki Energoaparatura zależność między stopą
zwrotu a warunkową wariancją była dodatnia i istotna statystycznie. Okazuje się jednakże, że
ocena parametru δ zależy również od tego czy w równaniu (3) zostanie umieszczona, czy też
pominięta stała φ 0 . W wyniku pominięcia stałej φ 0 w równaniu dla stóp zwrotu indeksu WIG
ocena parametru δ stała się istotna, z kolei w przypadku kursu dolara ocena parametru δ
przestała być istotna. Pominięcie stałej φ 0 w przypadku indeksu WIG20, spółki
Energoaparatura oraz kursu funta spowodowało zmianę znaku oceny parametru δ . W
większości przypadków uzyskane szacunki parametrów dla modelu GARCH-M wskazują na
brak istotnej zależności pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a warunkową wariancją badanych
procesów finansowych. Nie oznacza to jednak, że taka zależność nie istnieje. Jedną z
możliwych przyczyn braku istotności parametru δ może być jego zmienność w czasie. Z tego
względu szacujemy model GARCH-M ze zmiennym parametrem. Uzyskane wyniki zostały
zaprezentowane w tablicy 2.
Szacunki parametrów w modelu GARCH-M ze zmiennym parametrem są zbliżone do
tych, jakie otrzymano dla modelu GARCH-M (poza parametrem φ 0 ). Duży problem stanowi
brak powszechnie znanych w literaturze narzędzi weryfikacji hipotezy modelowej dotyczącej
stałości parametru w modelu GARCH-M. Testy stałości parametrów, takie jak np. test
Chowa, wymagają normalności składnika resztowego, która nie jest zachowana w
opisywanych modelach. Podobnie znana w literaturze przedmiotu statystyka F służąca do
weryfikacji nakładanych restrykcji na estymowane parametry wymaga niezależnych reszt o
jednakowym rozkładzie normalnym. Jeżeli wartość parametru Q jest równa zero, to model
GARCH-M ze zmiennym parametrem zmienia się w model o stałym parametrze. Niestety
wiadomo, że gdy Q = 0 to jego estymator nie ma standardowego rozkładu (patrz Harvey,
1989). Nie można więc w tradycyjny sposób testować jego istotności. Z tego też powodu nie
podajemy w tablicy błędów dla parametru Q , a jako kryterium stałości parametru
wykorzystujemy przedziały ufności. Stała ocena bt zawarta w przedziale ufności sugeruje
stałość parametru w badanym okresie (patrz Rockinger i Urga, 2000). Rysunek 1 przedstawia
punktowe oceny bt wygładzone przez filtr Kalmana wraz z 95% przedziałami ufności dla
badanych procesów.
Dla większości przypadków proces bt
charakteryzuje się relatywnie większą
zmiennością w początkowym okresie i znacznie mniejszą w późniejszym okresie. W
przypadku spółek PKN i TPSA można zaobserwować relatywnie duże oceny bt w
pierwszych dniach notowań tych spółek na giełdzie i znaczny ich spadek na kolejnych
sesjach. Analizując poszczególne procesy finansowe można również zauważyć pewne okresy,
w czasie których nastąpił znaczny wzrost zależności pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a
wariancją warunkową: hossa na rynku akcji na GPW w Warszawie w latach 1992-93 (patrz
indeks WIG), kryzysy finansowe w krajach Dalekiego Wschodu w 1997 roku (patrz kurs
dolara i funta), „hossa internetowa” w 1999 i na początku 2000 roku (patrz indeks TechWIG).
Dla wszystkich badanych procesów istnieje stała wartość parametru bt zawierająca się w
przedziale ufności co sugeruje, że zmiany tego parametru w badanym okresie nie są istotne.
Duża rozpiętość oszacowanych przedziałów ufności może tłumaczyć różnice w punktowych
ocenach parametru bt uzyskane przez różnych autorów w zależności od badanego okresu.
4. ZAKOŃCZENIE
Brak jednoznacznych wyników dotychczasowych badań skłoniła nas do analizy
zależności pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a ryzykiem dla wybranych procesów
dotyczących polskiego rynku finansowego. W badaniu zastosowano modele GARCH-M ze
stałym i zmiennym parametrem. Do estymacji parametrów modelu GARCH-M ze zmiennym
parametrem proponujemy stosować metodę quasi największej wiarygodności. W większości
przypadków uzyskane szacunki parametrów dla modelu GARCH-M ze stałym parametrem
wskazują na brak istotnej zależności pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a warunkową
wariancją badanych procesów finansowych. Jednakże wyniki zależą od przyjętej postaci
równania dla warunkowej średniej. Uzyskane szacunki dla modelu GARCH-M ze zmiennym
parametrem mogą tłumaczyć rozbieżność wyników prowadzonych dotychczas analiz
empirycznych dotyczących zależności pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a warunkową
wariancją przeprowadzonych z wykorzystaniem modelu GARCH-M ze stałym parametrem.
Przeprowadzone badanie wykazało, że procesy stóp zwrotu kursów walutowych
charakteryzują się słabszą autokorelacją niż procesy stóp zwrotu cen indeksów i akcji. Zmiana
ceny w okresie t − 1 ma większy wpływ na zmienność stóp zwrotu kursów walutowych niż na
wariancję stóp zwrotu akcji.
LITERATURA
[1]
[2]
[3]
Backus D. K., Gregory A. W., Theoretical Relations between Risk Premiums and
Conditional Variances, Journal of Business & Economic Statistics, 11,1993, 177-185.
Baillie R. T., Bollerslev T., A Multivariate Generalized ARCH Approach to Modeling Risk
Premia in Foreign Exchange Markets, Journal of International Money and Finance, 9, 1990,
309-324.
Bollerslev T., Wooldridge J. M., Quasi-Maximum likelihood Estimation and Inference in
Dynamic Models with Time-Varying Covariances, Econometric Reviews, 11, 1992, 143-179.
Chou R., Engle R. F., Kane A., Measuring Risk Aversion from Excess Returns on a Stock
Index, Journal of Econometrics, 52, 1992, 201-224.
[5] Domowitz I., Hakkio C., Conditional Variance and the Risk Premium in the Foreign
Exchange Market, Journal of International Economics, 19, 1985, 47-66.
[6] Engle R. F., Lilien D. M., Robins R. P., Estimating Time Varying Risk Premia in the Term
Structure: The ARCH-M Model, Econometrica, 55, 1987, 391-407.
[7] Fiszeder P., Kwiatkowski J., Model GARCH-M ze zmiennym parametrem – Analiza
wybranych spółek i indeksów notowanych na GPW w Warszawie, Przegląd Statystyczny,
2005 (przyjęte do druku).
[8] French K. R., Schwert G. W., Stambaugh R., Expected Stock Return and Volatility, Journal
of Financial Economics, 19, 1987, 3-29.
[9] Glosten L. R., Jagannathan R., Runkle D. E., On the Relation Between the Expected Value
and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks, Journal of Finance, 48, 1993,
1779-1801.
[10] Harrison P., Zhang H. H., An Investigation of The Risk and Return Relation at Long
Horizons, The Review of Economics and Statistics, 81, 1999, 399-408.
[11] Harvey, A.C., Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter,
Cambridge University Press, 1989.
[12] Rockinger M., Urga G., Evolution of Stock Markets in Transition Economies, Journal of
Comparative Economics, 28, 2000, 456-472.
[4]
DYNAMIC ANALYSIS OF RELATION BETWEEN EXPECTED
RETURN AND CONDITIONAL VARIANCE
Summary: Existing empirical work on the expected return and conditional variance relation
has drawn conflicting conclusions. In the paper we analyze this relation for selected time
series from Polish financial market. The GARCH-M models with constant and time-varying
parameter are implemented. We suggest to use a quasi-maximum likelihood method to
estimate parameters of the GARCH-M model with time-varying parameter. Estimates of the
GARCH-M model with constant parameter indicate that the relation between expected return
and conditional variance is not significant. However the results are sensitive to specification
of conditional mean. Estimates of the GARCH-M model with time-varying parameter can
explain different empirical results concerning the GARCH-M model with constant parameter.
Our study indicates that autocorrelation of returns for exchange rates is weaker than for stock
returns. Changes in periods earlier than t − 1 have greater impact on volatility of stock returns
than volatility of exchange rates returns.
Tablica 1. Wyniki estymacji dla modelu GARCH-M ze stałym parametrem
Badane
procesy
WIG
WIG20
MIDWIG
TechWIG
Budopol
Enap
KGHM
PKN
Pekao
TPSA
Wistil
Dolar
Euro
Frank
Funt
Jen
φ0
φ1
φ2
δ
α0
α1
α2
β1
0,0069
0,2218
-0,0699
0,0186
0,1411
0,1734
-
0,7957
(0,0412)
(0,0222)
(0,0206)
(0,0116)
(0,0512)
(0,0362)
0,0645
0,0897
-0,0051
0,1840
0,1319
(0,0633)
(0,0237)
(0,0163)
(0,0621)
(0,0264)
-0,0047
0,1162
0,0201
0,0134
0,1090
(0,0322)
(0,0284)
(0,0212)
(0,0061)
(0,0222)
0,0307
0,0821
-0,0110
0,0654
0,0753
(0,1222)
(0,0368)
(0,0197)
(0,0492)
(0,0205)
-0,1015
-0,1865
-0,0049
0,3442
0,0767
(0,1558)
(0,0419)
(0,0078)
(0,2451)
(0,0247)
0,0192
0,1601
0,2516
(0,0090)
(0,1492)
0,0133
0,3705
0,1138
(0,0140)
(0,1474)
(0,0307)
0,0677
0,5491
0,0776
(0,0981)
(0,6944)
(0,0533)
-0,0042
0,1406
0,21045
-0,6624
(0,2325)
-
-0,0953
0,0583
(0,1214)
(0,0303)
-0,2409
(0,3414)
0,0735
(0,1126)
-0,0992
(0,2360)
-0,0391
(0,1731)
0,0517
(0,0167)
0,0232
(0,0282)
-
-
-
-
-
-
-
-
(0,0316)
(0,0152)
-
-
(0,0368)
0,0444
-
-
-0,0873
(0,0286)
-
-
-0,0290
0,0166
-
-
-
-
-
-
-
-
(0,0435)
-
0,8265
(0,0355)
-
0,8866
(0,0216)
-
0,9154
(0,0236)
-
0,9091
(0,0306)
-0,2312
0,9736
(0,0541) (0,0562) (0,0114)
-
0,8505
(0,0370)
-
0,7713
(0,2356)
-0,1489
0,9116
(0,0228) (0,06666) (0,0519) (0,0554) (0,0270)
0,0135
0,1812
0,0516
(0,0341)
(0,1696)
(0,0226)
-0,0049
0,1003
0,3293
(0,0135)
(0,1379)
-0,1291
0,0216
(0,0516)
(0,0070)
-0,0082
0,0594
0,1818
(0,0705)
(0,0339)
(0,0726)
-0,0617
0,0454
0,2495
(0,0547)
(0,0178)
-0,0756
0,0128
(0,0366)
(0,0041)
-0,0460
0,0105
(0,0385)
(0,0040)
W nawiasach pod ocenami parametrów podano średnie błędy szacunku.
Źródło: Obliczenia własne.
-
0,9236
(0,0429)
-0,3111
0,9758
(0,0717) (0,0726) (0,0202)
0,3382
-0,1731
0,7870
(0,0674) (0,0628) (0,0409)
-
0,7187
(0,1119)
-0,1273
0,8024
(0,0734) (0,0694) (0,0548)
0,2952
-0,1479
0,8397
(0,0616) (0,0649) (0,0328)
0,1968
-0,1377
0,9304
(0,0488) (0,0498) (0,0148)
Tablica 2. Wyniki estymacji dla modelu GARCH-M ze zmiennym parametrem
Badane
procesy
WIG
WIG20
MIDWIG
TechWIG
Budopol
Enap
KGHM
PKN
Pekao
TPSA
Wistil
Dolar
Euro
Frank
Funt
Jen
α2
φ0
φ1
φ2
α0
α1
0,0242
0,2259
-0,0652
0,1437
0,1762
(0,0501)
(0,0212)
(0,0211)
(0,0455)
(0,0371)
0,0586
0,0927
0,2030
0,1297
(0,0469)
(0,0220)
(0,0576)
(0,0277)
0,0025
0,1132
0,0135
0,1070
(0,0334)
(0,0285)
(0,0049)
(0,0247)
0,0159
0,0856
0,0682
0,0759
(0,1250)
(0,0348)
(0,0436)
(0,0222)
-0,1180
-0,1994
0,3374
0,0766
(0,1712)
(0,0369)
(0,3386)
(0,0368)
0,1426
0,2322
-0,2140
0,9760
(0,0642)
(0,0361)
(0,0353)
(0,0040)
0,3817
0,1151
(0,1332)
(0,0314)
0,4969
0,0686
(0,3039)
(0,0349)
0,0907
0,2094
-0,1676
0,9399
(0,0750)
(0,1192)
(0,0978)
(0,0729)
0,1285
0,0435
(0,1252)
(0,0212)
0,0647
0,2988
-0,2866
0,9833
(0,0331)
(0,0484)
(0,0481)
(0,0048)
0,0227
0,3270
-0,1575
0,7800
(0,0076)
(0,0606)
(0,0797)
(0,1097)
0,0577
0,1753
(0,0262)
(0,0709)
0,0477
0,2315
-0,1144
0,8018
(0,0182)
(0,0527)
(0,0617)
(0,1325)
0,0149
0,2937
-0,1367
0,8264
(0,0046)
(0,0678)
(0,0547)
(0,0613)
0,0209
0,1851
-0,0985
0,8917
(0,0115)
(0,0741)
(0,0479)
(0,0839)
-0,7285
(0,1975)
-
-0,0592
0,0612
(0,1352)
(0,0283)
-0,2993
(0,3223)
0,0964
(0,1099)
-0,0890
(0,2276)
0,0433
(0,1610)
0,0550
(0,0152)
0,0181
(0,0291)
-
-
-
-
-
-
-
-
(0,0328)
(0,0154)
-
-
(0,0347)
0,0456
-
-
-0,0895
(0,0257)
-
-
-0,0418
0,0190
-
-
-
-
-
-
-
-
W nawiasach pod ocenami parametrów podano średnie błędy szacunku.
Źródło: Obliczenia własne.
-
-
-
-
β1
0,7929
(0,0416)
0,8212
(0,0347)
0,8879
(0,0228)
0,9139
(0,0230)
0,9099
(0,0443)
0,8475
(0,0355)
0,7924
(0,0945)
0,9386
(0,0350)
0,7272
(0,0887)
Q
0,0003
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0008
0,0021
0,0011
0,0022
0,0014
0,0000
Rysunek 1. Punktowe oceny bt wygładzone przez filtr Kalmana oraz 95% przedziały ufności dla badanych
procesów finansowych
WIG
0.10
WIG20
0.03
0.02
0.05
0.01
-0.03
-0.04
-0.10
0.20
0.15
MIDWIG
TechWIG
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
2003
2003
-0.05
2002
-0.15
2001
0.00
2000
2002
2001
2000
-0.10
1999
-0.05
1998
0.00
Budopol
0.04
0.08
0.02
0.06
0.00
0.04
2003
2002
2001
2000
1999
0.02
0.00
0.20
0.00
-0.08
-0.10
2002
-0.06
2001
0.10
1999
2002
2001
2000
1999
1998
1997
0.00
-0.04
PKN
0.30
0.02
-0.02
2002
0.40
0.04
2001
KGHM
0.06
2000
-0.04
1999
-0.08
1998
-0.02
1997
-0.06
2000
-0.04
1998
-0.02
Enap
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
-0.02
1995
2001
1999
1997
1995
1993
1991
-0.05
-0.01
1994
0.00
0.00
Rysunek 1. Punktowe oceny bt wygładzone przez filtr Kalmana oraz 95% przedziały ufności dla badanych
procesów finansowych (ciąg dalszy)
Pekao
0.10
0.15
0.05
0.10
0.00
2002
2002
-0.10
-0.10
Wistil
Dolar
0.05
0.40
0.20
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
-0.20
1996
2003
2002
2001
2000
1999
1998
0.00
1995
0.00
-0.05
2001
2000
-0.05
1999
0.00
1998
2001
2000
1999
0.05
1998
-0.05
TPSA
0.20
-0.40
-0.10
-0.60
-0.15
-0.80
0.30
0.60
0.20
0.40
0.10
0.20
Funt
2003
2002
2001
2000
2003
2002
2001
2000
-0.40
1998
-0.60
1997
-0.20
1996
0.00
-0.40
Źródło: Opracowanie własne.
Jen
1995
2003
2002
2001
-0.20
2000
0.20
1999
0.00
1998
0.40
1997
0.20
1996
0.60
1995
0.40
1999
1998
1997
-0.20
-0.20
1996
0.00
1995
2003
2002
2002
2001
2001
2000
2000
1999
1999
0.00
-0.10
Frank
0.80
1999
Euro
0.40