Wyklad_PF_I_6_Dyfrakcja_Fraunhofera

PODSTAWY DYFRAKCJI
WYBRANE ZAGADNIENIA DYFRAKCJI FRAUNHOFERA
inŜ
prof. dr hab. in
Ŝ. Krzysztof Patorski
Niniejsza część wykładu obejmuje wprowadzenie do dyfrakcji, opis matematyczny z wykorzystaniem wzorów
Fresnela-Kirchhoffa i Huygensa-Fresnela, dyskusję przybliŜeń dla obszarów dyfrakcji Fresnela i Fraunhofera
oraz wybrane zagadnienia dyfrakcji Fraunhofera. Mają one podstawowe znaczenie w procesie formowania
obrazu optycznego, przetwarzaniu informacji, interferometrii i spektroskopii.
1. Wprowadzenie
W jednorodnej przestrzeni kształt geometryczny bezaberracyjnego frontu falowego nie ulega zmianie.
Odmienna sytuacja występuje w ośrodku niejednorodnym, w którym swobodna propagacja zostaje zaburzona,
przykładowo, przez nieprzeźroczystą przesłonę. Mamy wtedy do czynienia ze zjawiskiem dyfrakcji – ugięciem
światła i rozprzestrzenianiem się ograniczonego frontu falowego.
Prześledźmy zmiany intensywności za małym otworem w nieprzeźroczystym ekranie. Ustawiając płaszczyznę
obserwacji blisko za ekranem obserwuje się cień krawędzi otworu, który ulega coraz silniejszemu rozmyciu ze
wzrostem odległości obserwacji. W obszarze cienia zaczyna dominować dyfrakcyjna struktura prąŜkowa
charakterystyczna dla tzw. obszaru dyfrakcji Fresnela. Przykładowe obrazy dyfrakcyjne szeregu otworków
kołowych rozmieszczonych na okręgu dla dwóch róŜnych odległości obserwacji pokazano na rys. 1.
Rys. 1 Obrazy dyfrakcyjne Fresnela przedmiotu
zawierającego 36 otworków kołowych o średnicy 0.3 mm
rozmieszczonych na okręgu o średnicy 10 mm dla dwóch
róŜnych odległości płaszczyzny obserwacji od płaszczyzny
przedmiotu (pole dyfrakcyjne modelu zespołu anten
radarowych).
Z dalszym wzrostem odległości płaszczyzny obserwacji rozkład intensywności w obrazie dyfrakcyjnym
nie przypomina juŜ obiektu i nie zmienia swojego charakteru (kształtu). Zmianie ulega głównie skala rozkładu
intensywności. Mówi się w tym przypadku o obszarze dyfrakcji w dalekim polu dyfrakcyjnym lub o dyfrakcji
Fraunhofera. Przy oświetleniu przedmiotu falą płaską wygodną obserwację dyfrakcyjnych obrazów
fraunhoferowskich prowadzi się w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej dostawionego obiektywu.
Wstępna analiza porównawcza wyŜej wymienionych obszarów dyfrakcji prowadzi do stwierdzenia,
Ŝe gdy punktowe źródło światła i płaszczyzna obserwacji znajdują się w duŜej odległości od obiektu (a więc gdy
fronty falowe wiązki oświetlającej w płaszczyźnie obiektu oraz wiązki pochodzącej od punktu obiektu
i docierającej do płaszczyzny obserwacji moŜna przyjąć za płaskie z niedokładnością ułamka długości fali), ma
się do czynienia z dyfrakcją Fraunhofera. Dyfrakcja Fresnela dotyczy przypadku, gdy nie moŜna zaniedbać
sferyczności czół falowych.
2. PrzybliŜenia Fresnela i Fraunhofera - opis matematyczny
Teoria dyfrakcji stanowi bardzo obszerny i złoŜony dział optyki falowej. Z powodu ograniczonej objętości
niniejszego wykładu podane zostaną tylko podstawowe wzory dyfrakcyjne, bez ich wyprowadzeń. Szczegółowy
opis zjawisk dyfrakcyjnych moŜna znaleźć w obszernej literaturze.
Zaburzenie w punkcie P za otworem S w nieprzeźroczystym ekranie oświetlonym wiązką propagującą się
z punktu P1 opisuje wzór dyfrakcyjny Fresnela-Kirchhoffa o postaci
U(P ) =
A
exp[ik (r1 + r2 )] cos(n,r2 ) − cos(n,r1 )
ds,
∫
∫
iλ s
r1r2
2
(1)
gdzie (A/r1)exp(ikr1) opisuje falę sferyczną wychodzącą ze źródła punktowego P1 i oświetlającą ekran
z otworem, r1 jest odległością bieŜącego punktu w otworze od źródła P1, r2 oznacza odległość punktu P
w płaszczyźnie obserwacji od punktu otworu, a kosinusy kierunkowe cos(n, r1) i cos(n, r2) opisują połoŜenie
punktu źródła i obserwacji względem normalnej do ekranu, rys. 2. Zaburzenie U(P) dane wzorem (1) jest
wynikiem zastosowania twierdzenia Helmholtza-Kirchoffa do powierzchni zamkniętej df utworzonej
z powierzchni otworu S, nieoświetlonej strony ekranu oraz części powierzchni kulistej o środku w rozwaŜanym
punkcie P.
Ekran
P1
P
r2
r1
Q
n
Rys. 2 Geometria układu dyfrakcyjnego: otwór
w nieprzeźroczystym ekranie oświetlony
punktowym źródłem światła umieszczonym w
punkcie P1, Q – bieŜący punkt otworu S, P - punkt
płaszczyzny obserwacji.
Wprowadzając oznaczenie
U(Q ) =
wzór dyfrakcyjny Fresnela-Kirchhoffa przyjmuje postać
Aexp(ikr1 ) cos(n,r2 ) − cos(n,r1 )
,
r1
2
 ik 
exp(ikr2 )
 ∫ ∫ U(Q )
U(P ) =  −
ds.
2
π
r

s
2
(2)
(3)
Ostatni wzór moŜna interpretować w następujący sposób: pole w punkcie P jest wynikiem superpozycji drgań
od wtórnych źródeł punktowych znajdujących się w obszarze otworu. Amplituda U(Q) źródła wtórnego jest
proporcjonalna do amplitudy oświetlającej fali sferycznej Aexp(ikr1)/r1, ale róŜni się od niej o:
•czynnik 1/λ,
•czynnik kierunkowy [cos(n,r2) – cos(n,r1)]/2 ≠ 1,
•fazę π/2.
Jeśli przyjmiemy we wzorze (2), Ŝe
1
[cos(n,r2 ) − cos(n,r1 )] = 1
2
(4)
tzn. Ŝe odległości źródło-ekran i ekran-płaszczyzna obserwacji są znacznie większe od wymiarów liniowych
otworu w ekranie, otrzymuje się wzór Huygensa-Fresnela
Q
U
 ik 
exp(ikr2 )
 ∫ ∫ ( )
U(P ) =  −
ds
r2
 2π  s
.
(5)
PrzybliŜenie Fresnela
Rozpiszmy bardziej szczegółowo ostatni wzór posługując się współrzędnymi (x1, y1) i (x2, y2), odpowiednio,
w płaszczyźnie ekranu i obserwacji, rys. 3.
y2
y1
P
r
x1
otwór
x2
Q
z
Rys. 3 Ekran z otworem i płaszczyzna obserwacji
z układami współrzędnych. W porównaniu z rys. 2
wprowadzono oznaczenie r = r2.
Dodając przybliŜenie przyosiowe dotyczące wymiarów płaszczyzny obserwacji, tzn. x2, y2 << z, moŜna zapisać
exp(ikr ) exp(ikr )
≈
r
z
 1  x − x  2  y − y  2  
r ≈ z1+  1 2  +  1 2   
 2  z   z   
(5)
(6)
i po podstawieniu do wzoru Huygensa-Fresnela otrzymuje się
exp(ikz )
 ik
(x1 − x 2 )2 + (y1 − y 2 )2 dx1dy1.
U(x 2 , y 2 ) =
U(x1, y1 )exp
∫
∫
iλ z − ∞
 2z

[
∞
]
(7)
PowyŜszy wzór wyprowadzono z uwzględnieniem wzoru (6), tzn. przy rozwijaniu w szereg Taylora odległości
2
QP = r pominięto kolejny wyraz
k
(x1 − x 2 )2 + (y1 − y 2 )2 << z3 .
(8)
8
[
]
Oznacza to, Ŝe maksymalna zmiana fazy wnoszona przez ten człon będzie duŜo mniejsza od jednego radiana.
Wzór (7) opisuje dyfrakcję w przybliŜeniu Fresnela.
Dodatkowo warto zauwaŜyć, Ŝe wzór (7) moŜna interpretować jako splot rozkładu amplitudy zespolonej U(x1, y1)
w płaszczyźnie ekranu z funkcją
(9)
exp(ikz )
 ik 2

h(x, y ) =
exp 
x + y 2 .
iλ z
 2z

(
)
Tak więc kaŜdy punkt płaszczyzny wejściowej generuje zaburzenie o parabolicznym (sferycznym) czole falowym;
zaburzenia te nakładają się w płaszczyźnie wyjściowej. Jeśli potraktujemy układ dyfrakcyjny pokazany na rys. 3
z płaszczyznami: wejściową (ekran) i wyjściową (płaszczyzna obserwacji) jako układ liniowy, to funkcja h(x,y)
jest funkcją odpowiedzi impulsowej wolnej przestrzeni między płaszczyznami x1, y1 i x2, y2. Funkcja przenoszenia
wolnej przestrzeni w przypadku dyfrakcji Fresnela jest równa transformacie Fouriera funkcji h(x,y)
[
)]
(
H(ν x , ν y ) = expi(ikz )exp − iπ λz ν 2x + ν 2y ,
(10)
gdzie νx = x2/λz i νy = y2/λz oznaczają częstości przestrzenne składowych fal płaskich propagujących się od
ekranu dyfrakcyjnego do płaszczyzny obserwacji. Pierwszy czynnik opisuje ogólne opóźnienie fazowe kaŜdej
składowej przy propagacji na odległości z, drugi czynnik opisuje tzw. dyspersję fazową proporcjonalną do
kwadratu częstości przestrzennej.
Wzór dyfrakcyjny (7) w przybliŜeniu fresnelowskim moŜna zapisać równieŜ w postaci
exp(ikz )
 ik 2

 ik 2
U(x 2 , y 2 ) =
exp 
x 2 + y 22  ∫ ∫ U(x1, y1 )exp 
x1 + y12
iλ z
 2z
∞
 2z
(
)
∞
(
)exp− i 2π
(x x
λz


1

2 + y 1y 2 ) dx 1dy 1.

(11)
Rozkład amplitudy zespolonej U(x2, y2) w polu dyfrakcyjnym Fresnela, z dokładnością do czynnika przed całką
w ostatnim wzorze, moŜna wyrazić przez przekształcenie Fouriera iloczynu dwóch pierwszych wyrazów pod
całką, tj. U(x1, y1)exp[ik(x12 + y2)/2z].
PrzybliŜenie Fraunhofera
Czyniąc dodatkowe załoŜenie dotyczące znacznej odległości płaszczyzny obserwacji od przedmiotu (ekranu
z otworem), tj.
1
(12)
2
2
z >>
2
(
)
k x1 + y1 max,
w obszarze otworu czynnik fazowy exp[ik(x12 + y12)/2z], wzór (7), moŜna przyrównać do jedności.
W prostszej postaci załoŜenie (12) moŜna zapisać jako z >> d2/λ, gdzie d oznacza maksymalny wymiar otworu.
Przykładowo, dla otworu kołowego o średnicy d = 0.02 m oświetlonego falą płaską o długości fali λ = 5 · 10-6 m
obszar Fraunhofera spełnia nierówność z >> 800 m. Stąd konieczność zastosowania obserwacji
w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej dostawianego układu optycznego, lub ogólniej, w płaszczyźnie
występowania obrazu źródła (patrz dalsze części wykładu).
Wprowadzając (12) do wzoru (7) otrzymuje się
.
U(x 2 , y 2 ) =
 2π

exp(ikz )
 ik 2

(x1x 2 + y1y 2 ) dx1dy1
exp 
x 2 + y 22  ∫ ∫ U(x1, y1 )exp − i
iλ z
.
 2z

 λz

(
)
Wzór (13) opisuje pole dyfrakcyjne w przybliŜeniu Fraunhofera. Z dokładnością do czynników fazowych
występujących przed całką rozkład amplitudy zespolonej odpowiada przekształceniu Fouriera rozkładu
U(x1, y1).
Dla dyfrakcji Fraunhofera nie występuje funkcja przenoszenia. Ale poniewaŜ dyfrakcja Fraunhofera jest
szczególnym przypadkiem dyfrakcji Fresnela, funkcja dana wzorem (10) pozostaje aktualna.
(13)
3. Wybrane zagadnienia dyfrakcji Fraunhofera
Z powodu duŜego znaczenia praktycznego oraz prostoty samego zjawiska i jego opisu, w pierwszej kolejności
omówione zostaną wybrane zagadnienia dyfrakcji Fraunhofera, mimo Ŝe stanowi ona przypadek szczególny
dyfrakcji fresnelowskiej.
Jak wspomniano wyŜej, obrazy dyfrakcyjne Fraunhofera moŜna opisywać za pomocą transformaty Fouriera
rozkładu amplitudy zespolonej przedmiotu z niedokładnością pewnych czynników fazowych. PoniewaŜ przy
detekcji (obserwacji) obrazów rejestrowana jest intensywność, czynniki te znikają i otrzymuje się kwadrat
transformaty Fouriera amplitudy zespolonej przedmiotu uginającego światło.
NiŜej omówione zostaną charakterystyczne przykłady widm fraunhoferowskich odgrywających fundamentalną
rolę, przykładowo, w opisie procesu odwzorowania optycznego i zasady działania siatkowych układów
spektroskopowych.
Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym
Niech przedmiotem dyfrakcyjnym będzie otwór prostokątny o bokach o długości a i b usytuowanych,
odpowiednio, wzdłuŜ osi x i y układu współrzędnych. Transmitancję amplitudową otworu moŜna zapisać jako
x 
y 
t (x1, y1 ) = rect 1  rect 1 
a
b ,
(14)
a amplituda zespolona bezpośrednio za ekranem wynosi U(x1, y1) = A t(x1, y1). Stosując wzór dyfrakcyjny
Fraunhofera (13) otrzymuje się
U(x 2 , y 2 ) = A
(
ab
 ik 2
exp(ikz )exp
x 2 + y 22
iλ z
 2z
)sinc(πaν )sinc (πbν ),

x
y
(15)
gdzie νx = x2/λz, νy = y2/λz, oraz sinc(x) = sin(x)/x. Rozkład intensywności danym jest wzorem
I(x 2 , y 2 ) = U(x 2 , y 2 ) = I0 sinc 2 (πaν x )sinc 2 (πbν y ),
2
gdzie I0 = A2 (ab/λz)2 oznacza wartość intensywności w środku obrazu dyfrakcyjnego.
(16)
Rysunek 4 przedstawia jednowymiarowy rozkład amplitud i faz
w obrazie Fraunhofera szczeliny (y2 = 0), a na rys. 5 pokazano
fotografie obrazów dyfrakcyjnych otworka prostokątnego o róŜnym
stosunku długości boków.
U(x2,y2)
Rys. 4 Rozkład amplitudy zespolonej w obrazie Fraunhofera
jednowymiarowej szczeliny. Szerokość głównego maksimum
dyfrakcyjnego jest równa odległości między pierwszymi miejscami
zerowymi funkcji po obu stronach punktu O i wynosi 2(λ/a)/z.
-3π
-2π
-π
+π
+2π
+3π
πaνx
Rys. 5 Obrazy Fraunhofera otworka prostokątnego
i kwadratowego. Odległość między maksimami dyfrakcyjnymi
jest odwrotnie proporcjonalna do długości odpowiedniego
boku prostokąta (kierunek wzdłuŜ którego połoŜone
są maksima dyfrakcyjne jest prostopadły do boku otworka).
Dyfrakcja Fraunhofera na otworze koł
kołowym
Patrz dalsza część wykładu – “Odwzorowanie w oświetleniu koherentnym”.
Dyfrakcja Fraunhofera na wielu szczelinach i siatce dyfrakcyjnej
Jeśli nieprzeźroczysty ekran zawiera N równoodległych szczelin o szerokości a i długości b (gdzie b >> a) to
jego transmitancję amplitudową moŜna opisać jako
N
(x + nd) rect y1 ,
t(x1, y1 ) = ∑ rect 1
(17)
a
b
n=0
gdzie d jest odległością między środkami sąsiednich szczelin. Po wstawieniu tego wyraŜenia do wzoru (13)
i wykonaniu obliczeń otrzymuje się następujące wyraŜenie opisujące rozkład intensywności w polu
dyfrakcyjnym Fraunhofera
 x kd 
sin2  N 2 
16z
 kx a 
 ky b 
 2z  ,
I(x 2 , y 2 ) = 2 4 2 2 sin2  2 sin2  2 
λ k x2y2
 2z 
 2z  sin2  x 2kd 


 2z 
2
który moŜna zapisać w postaci
 sinπaν x 

I(x 2 , y 2 ) = I0 
π
a
ν
x


2
(18)
2
 sinNπ dν x 

 ,
sin
π
d
ν
x 

(19)
gdzie I0 oznacza intensywność w środku obrazu dyfrakcyjnego pochodzącą od kaŜdej szczeliny (I(0) = N2I0),
νx = x2/λz, νy = y2/λz oraz dla uproszczenia załoŜono b = ∞. Z wzoru (19) wynika, Ŝe rozkład intensywności
jest iloczynem rozkładu intensywności pola dyfrakcyjnego pojedynczej szczeliny, patrz wzór (16), i członu
interferencyjnego (sinNπdνx/sinπdνx)2. Człon ten osiąga maksymalne wartości gdy jednocześnie licznik
i mianownik osiągają wartości zerowe, co ma miejsce gdy πdνx = mπ, gdzie m jest liczbą całkowitą. Z tego
warunku otrzymuje się zaleŜność
λ
sinθm = m ,
 d
(20)
gdzie θ = x2/z. Wzór ten opisuje kątowe połoŜenie dyfrakcyjnych maksimów intensywności siatki dyfrakcyjnej
(N → ∞) oświetlonej falą płaską wzdłuŜ normalnej do płaszczyzny siatki.
Na rys. 6 przedstawiono rozkłady intensywności funkcji składowych wzoru (19) oraz ich iloczyn odpowiadający
intensywności całkowitej. Łatwo wykazać, Ŝe pokazany rozkład intensywności odpowiada przypadkowi d = 4a,
w którym znikają maksima dyfrakcyjne ±4m (m = 0, 1, 2, ...).
 sinNπ dν x 


 sinπ dν 


2
 sin πaν x 


 πaν x 
sin θ
2
 sinNπ dν x   sin πa ν x 

 x

 sinπ dν   πa ν 

x



2
sin θ
2
sin θ
Rys. 6 Graficzna ilustracja wzoru (19) dla przypadku d = 4a
(odstęp między środkami szczelin jest czterokrotnie większy
od szerokości szczeliny, a/d = 1/4).
W przypadku często spotykanej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej typu Ronchi (d = 2a, patrz niŜej) znikają
wszystkie parzyste rzędy dyfrakcyjne.
Ze wzrostem liczby szczelin zanikają maksima wtórne, a główne maksima dyfrakcyjne silnie zawęŜają się.
Ze wzoru (20) wynika, Ŝe kątowe połoŜenie maksimów dyfrakcyjnych (rzędów dyfrakcyjnych siatki) zaleŜy
od długości fali λ. Właściwość ta stanowi podstawę działania spektroskopów siatkowych.
Na rys. 7 pokazano schematycznie bieg promieni trzech najniŜszych rzędów ugięcia (m = -1, 0 ,+1) dla siatki
transmisyjnej i odbiciowej oświetlonych pod kątem θi względem normalnej.
rząd m=+1
rząd m=0
rząd m=-1
θi
θi
rząd m=-1
rząd m=0
rząd m=+1
Rys. 7 Wiązka oświetlająca siatkę dyfrakcyjną amplitudową (a) i fazową odbiciową (b) oraz trzy najniŜsze rzędy ugięcia
(m = -1, 0, +1).
Trzy rzędy dyfrakcyjne otrzymuje się gdy transmitancja siatki amplitudowej ma postać
1 + cos(2πx/d) = 1 + ½ exp(i2πx/d) + ½ exp(-i2πx/d),
lub gdy transmitancję siatki fazowej (odbiciowej) moŜna zapisać jako exp[iBcos(2πx/d)] = 1 + iBcos(2πx/d).
W przypadku siatki fazowej naleŜy zwrócić uwagę na przesunięcie fazowe rzędów ugięcia +1 i –1 o π/2
względem rzędu zerowego.
Inne funkcje modulacji amplitudowej lub fazowej (lub obu tych modulacji łącznie) generują wyŜsze rzędy
dyfrakcyjne. Przykładowo, rozwaŜmy jeszcze raz przypadek binarnej amplitudowej siatki dyfrakcyjnej oświetlonej
falą płaską i składającej się z linii o transmitancji 1 (linie przeźroczyste) i 0 (linie “czarne”), patrz wzory (17-20).
Jej zespoloną transmitancję amplitudową moŜna przedstawić w postaci szeregu Fouriera
V (x, y,0 ) =
∞

x
∑ a expin2π d 
n = −∞
n
gdzie, jak poprzednio, d oznacza okres funkcji; an oznacza amplitudę n-tej harmonicznej. Funkcja ta jest funkcją
prostokątną o współczynniku wypełnienia s/d definiowanym jako iloraz szerokości szczeliny (linii
o transmitancji 1) do okresu, rys. 8.
v
s
Rys. 8 Transmitancja binarnej
amplitudowej siatki dyfrakcyjnej
o okresie d i współczynniku
wypełnienia (s/d).
0
d
//
x
Dla funkcji prostokątnej nieograniczonej wzdłuŜ osi x współczynniki szeregu Fouriera an dane są wzorami
a0 = (s/d),
an = sinc (nπs/d),
gdzie sinc(x) = sin(x)/x. Kąty propagacji n-tych harmonicznych dla oświetlenia wzdłuŜ normalnej do siatki
wyznacza się ze wzoru sinθn = n (λ/d). Z ostatnich wzorów wynika (jak juŜ wspomniano wyŜej), Ŝe w przypadku
tzw. siatki Ronchi o współczynniku wypełnienia s/d = 0.5 brak jest parzystych rzędów ugięcia (parzystych
harmonicznych).
Ogólne równanie siatki dyfrakcyjnej gdy θi ≠ 0 ma postać
sinθn – sinθi = n (λ/d),
gdzie, jak poprzednio, n = 0, ±1, ±2, .... d – okres (stała) siatki, θi – kat padania wiązki oświetlającej,
θn – kąt ugięcia n-tego rzędu dyfrakcyjnego (kąty mierzone względem normalnej do płaszczyzny siatki).
(21)