LINIE PIERWIASTKOWE JAKO PODSTAWA ANALIZY UKŠADÓW

1
LINIE PIERWIASTKOWE JAKO
PODSTAWA ANALIZY
UKŠADÓW STEROWANIA
• Mamy schemat sterowania (regulacji) w
ukªadzie zamkni¦tym (rys. 1).
Rysunek 1: Podstawowy schemat strukturalny ukªadu sterowania.
• Zakªada si¦, »e wzmocnienie czªonu statycznego k ∈ [0, ∞).
• Cz¦±¢ dynamiczna G̃0(s) ukªadu sterowania obejmuje:
sterowany obiekt oraz
dynamiczne 'fragmenty' regulatora (sterownika).
2
• Transmitancja ukªadu otwartego
G0(s) = k · G̃0(s).
• Transmitancja ukªadu zamkni¦tego
G(s) ≡
C(s)
G0(s)
=
R(s)
1 + G0(s)
k · G̃0(s)
=
.
1 + k · G̃0(s)
• Ukªad zamkni¦ty jest stabilny w sensie
BIBO, gdy wszystkie bieguny transmitancji G(s) le»¡ w lewej otwartej
póªpªaszczy¹nie zespolonej.
• ›¡da si¦ zatem, aby
zera mianownika funkcji G(s)
czyli
zera wyra»enia 1 + k · G̃0(s)
posiadaªy ujemne cz¦±ci rzeczywiste.
3
Reguªy wykre±lania linii
pierwiastkowych
• Zapiszmy G̃0(s) w postaci czynnikowej
Qm
N (s)
j=1 (s − zj )
G̃0(s) =
= Qn
D(s)
j=1 (s − pj )
z wyró»nionymi zerami {zj }m
j=1 oraz biegunami {pj }nj=1.
Zakªada si¦, »e G̃0(s) jako wªa±ciwa funkcja wymierna o sko«czonych stopniach
licznika i mianownika, odpowiednio
m = deg(N (s))
n = deg(D(s)),
m≤n
jest modelem minimalnym (bez uproszcze« w parach 'zero-biegun').
• Denicja.
Linie pierwiastkowe to miejsce geometryczne zer wyra»enia
1 + k · G̃0(s) dla k ∈ [0, ∞). ¥
4
• Z formalnego punktu widzenia linie pierwiastkowe mo»na zatem traktowa¢ jako
zbiór funkcji
{[0, ∞) 3 k 7→ sj ∈ C}nj=1
gdzie sj = sj (k), j = 1, . . . , n, jest j tym pierwiastkiem równania
D(s) + k · N (s) = 0.
• Mo»na te» patrze¢ na linie pierwiastkowe jako na pewien odpowiednio 'uporz¡dkowany' ('skierowany' przez k ∈ [0, ∞))
podzbiór
LP(N, D) ⊂ C
pªaszczyzny zespolonej:
s = s(k) ∈ LP(N, D)
m
∃k∈[0,∞) D(s) + k · N (s) = 0.
5
• Podane ni»ej praktyczne wskazania (reguªy) wykre±lana linii pierwiastkowych
wynikaj¡ bezpo±rednio z równania charakterystycznego
1 + k · G̃0(s) = 0
które dla danego k ∈ [0, ∞) musi speªnia¢ liczba zespolona s ∈ C , aby by¢
pierwiastkiem (miejscem zerowym) mianownika transmitancji G(s).
Równanie to zapisa¢ mo»na w postaci
dwóch warunków:
warunku amplitudowego
k · |G̃0(s)| = 1,
warunku fazowego
arg G̃0(s) = r·180◦,
r = ±1, 3, . . . .
Jak si¦ rychªo oka»e, podstawowe znaczenie posiada tu warunek fazowy.
6
Reguªy kre±lenia linii
pierwiastkowych
(1) Linie pierwiastkowe s¡ symetryczne wzgl¦dem osi rzeczywistej pªaszczyzny zespolonej.
(2) Linie pierwiastkowe zaczynaj¡ si¦
(dla k = 0) w biegunach transmitancji G̃0(s), za± ko«cz¡ si¦ (dla k →
∞) w zerach tej transmitancji G̃0(s),
wª¡czaj¡c zera w niesko«czono±ci.
(3) Linie pierwiastkowe posiadaj¡ asymptoty o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
asymptoty, w liczbie α, s¡ póªprostymi wychodz¡cymi z punktu σα
(centroid) na osi rzeczywistej,
α = n − m,
centroid dany jest wzorem
Pn
σα =
j=1 pj
−
α
Pm
j=1 zj
,
7
k¡ty mi¦dzy asymptotami a osi¡ rzeczywist¡
r · 180◦
ϕr =
,
α
r = ±1, 3, . . . .
(4) Linie pierwiastkowe na osi rzeczywistej mog¡ le»e¢ tylko na lewo od
nieparzystej liczby punktów kontrolnych (rzeczywistych biegunów i zer
transmitancji G̃0(s)), licz¡c od punktu o najwi¦kszej warto±ci.
(5) Punkty wspólne gaª¦zi linii pierwiastkowych (punkty spotkania oraz punkty rozej±cia linii pierwiastkowych) co odpowiada wielokrotnym pierwiastkom równania charakterystycznego ukªadu zamkni¦tego o transmitancji G(s) nale»¡ do zbioru rozwi¡za« równania
N (s)D0(s) − N 0(s)D(s) = 0
8
gdzie D0(s) oraz N 0(s) oznaczaj¡ pochodne odpowiednich wielomianów.
(6) K¡t odej±cia ϑdi linii pierwiastkowej
od danego bieguna pi transmitancji
G̃0(s) okre±lony jest wzorem
ϑdi =
X
j
ϑzj −
X
j,j6=i
ϑpj + r · 180◦,
r = ±1, ±3, . . .
gdzie ϑpj (ϑzj ) reprezentuje argument
wektora poprowadzonego od bieguna
pj (zera zj ) do bieguna pi tej transmitancji, i ∈ 1, . . . , n.
(7) K¡t doj±cia ϑai linii pierwiastkowej
do danego zera zi transmitancji G̃0(s)
okre±lony jest wzorem
ϑai =
X
j
X
ϑpj −
j,j6=i
ϑzj + r · 180◦,
r = ±1, ±3, . . .
gdzie ϑpj (ϑzj ) reprezentuje argument
wektora poprowadzonego od bieguna
9
pj (zera zj ) do zera zi tej transmitancji, i ∈ 1, . . . , m.
Komentarz
(a) Warunek podany w regule (5), to
znaczy równanie N (s)D0(s) − N 0(s)
D(s) = 0, jest warunkiem koniecznym na to, aby dana liczba zespolona
s ∈ C byªa pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu charakterystycznego
rozwa»anego ukªadu zamkni¦tego.
Nie jest to jednak warunek wystarczaj¡cy, co oznacza, i» w±ród rozwi¡za« podanego równania mog¡ wyst¦powa¢ liczby, które nie s¡ pierwiastkami wielokrotnymi wielomianu charakterystycznego badanego ukªadu.
(b) W przypadku, w którym zachodzi
Qm
j=1 (s − zj )
G̃0(s) = (−1) · Qn
j=1 (s − pj )
10
nale»y odpowiednio zmodykowa¢ stosowne reguªy kre±lenia linii pierwiastkowych, uwzgl¦dniaj¡c wyst¦puj¡ce tu
'dodatkowe' przesuni¦cie fazy:
(30) Linie pierwiastkowe posiadaj¡ a-
symptoty o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
...
k¡ty mi¦dzy asymptotami a osi¡
rzeczywist¡
r · 180◦
,
ϕr =
α
r = ±0, 2, . . . .
(40) Linie pierwiastkowe na osi rzeczywistej mog¡ le»e¢ tylko na prawo
od nieparzystej liczby punktów kontrolnych (rzeczywistych biegunów i
zer transmitancji G̃0(s)), licz¡c od
punktu o najwi¦kszej warto±ci).
11
(60) K¡t odej±cia ϑdi linii pierwiast-
kowej od danego bieguna pi transmitancji G̃0(s) wyznaczony jest wzorem
ϑdi =
X
j
X
ϑzj −
j,j6=i
ϑpj + r · 180◦,
r = ±0, ±2, . . .
gdzie ϑpj (ϑzj ) reprezentuje argument
wektora poprowadzonego od bieguna
pj (zera zj ) do bieguna pi tej transmitancji, i ∈ 1, . . . , n.
(70) K¡t doj±cia ϑai linii pierwiastko-
wej do danego zera zi transmitancji
G̃0(s) wyznaczony jest wzorem
ϑai =
X
j
X
ϑpj −
j,j6=i
ϑzj + r · 180◦,
r = ±0, ±2, . . .
gdzie ϑpj (ϑzj ) reprezentuje argu-
ment wektora poprowadzonego od
bieguna pj (zera zj ) do zera zi tej
transmitancji, i ∈ 1, . . . , m.
12
(c) Na rys. 2 dano geometryczn¡ interpretacj¦ 'fazowego przyczynku'
ϑ = arg(s − s0),
s, s0 ∈ C.
Rysunek 2: Konwencja obowi¡zuj¡ca przy wyznaczaniu k¡ta ϑ = arg(s−s0 ).
13
PRZYKŠAD 1
• Transmitancja otwartego ukªadu sterowania z jednostkowym ujemnym sprz¦»eniem zwrotnym dana jest wzorem
G0(s) = k · G̃0(s)
1
,
= k·
s(2 + s)(5 + s)
k ≥ 0.
• Podaj obraz linii pierwiastkowych sto-
sownego ukªadu zamkni¦tego. Okre±l krytyczne wzmocnienie k , przy którym
ukªad ten znajduje si¦ 'na granicy stabilno±ci' oraz podaj odpowiadaj¡c¡ temu
pulsacj¦ drga« nietªumionych.
Rozwi¡zanie uzyskujemy w rutynowym
post¦powaniu.
? Niech m b¦dzie liczb¡ sko«czonych zer
transmitancji ukªadu otwartego G0(s),
za± n oznacza liczb¦ jej biegunów. Mamy zatem: m = 0 oraz n = 3.
14
? Biegunami G0(s) s¡ liczby:
p2 = −2 oraz p3 = 0.
p1 = −5,
? Liczba asymptot, do których d¡»¡ linie
pierwiastkowe
α = n − m = 3.
? K¡ty mi¦dzy asymptotami maj¡ warto±¢
2 · 180◦/α = 120◦.
? K¡ty mi¦dzy asymptotami a osi¡ rzeczywist¡ s¡ równe:
±60◦ oraz 180◦.
? Odci¦ta σa punktu na osi rzeczywistej,
z którego wychodz¡ asymptoty (centroid)
Pn
σa =
i=1 pi
n
= −2.333.
15
? Wspóln¡ cz¦±¢ linii pierwiastkowych oraz osi rzeczywistej stanowi prawostronnie domkni¦ta póªprosta le»¡ca
na lewo od bieguna p1 oraz domkni¦ty
odcinek pomi¦dzy biegunami p2 i p3
(−∞, −5]) ∪ [−2, 0] .
? Wynika st¡d, i» punkt 'odej±cia' linii
pierwiastkowych od osi rzeczywistej
powinien nale»e¢ do odcinka [p2, p3] =
[−2, 0]. Wspóªrz¦dn¡ tego punktu wyznaczymy w oparciu o równanie charakterystyczne ukªadu zamkni¦tego, obliczaj¡c maksymaln¡ warto±¢ parametru
k (wzmocnienia), dla której bieguny
ukªadu zamkni¦tego s¡ rzeczywiste.
Wielomian charakterystyczny W (s) ukªadu zamkni¦tego ma posta¢
W (s) = k + 10s + 7s2 + s3.
Zaªó»my, i» s ∈ C jest pierwiastkiem
tego wielomianu. Odpowiednie rów-
16
nanie charakterystyczne W (s) = 0
interpretowa¢ mo»na jako zapis uwikªanego odwzorowania
s → k(s) ∈ C
przyporz¡dkowuj¡cego danemu pierwiastkowi s tak¡ warto±¢ k(s), dla
której zachodzi
W (s, k(s)) = 0.
Ró»niczkuj¡c to odwzorowanie, mamy
∂W (s,k(s))
dk(s)
∂s
= −10−14s−3s2.
= − ∂W (s,k(s))
ds
∂k(s)
Przyrównuj¡c powy»sz¡ pochodn¡ do
zera (warunek konieczny!), otrzymujemy równanie kwadratowe
10 + 14s + 3s2 = 0
o nast¦puj¡cych pierwiastkach:
s1 = −0.8804 oraz s2 = −3.7863.
17
Jak widzimy, tylko pierwszy z nich
wyznacza szukany punkt odej±cia
sd = s1 .
Zachodzi bowiem s1 ∈ [p2, p3].
Identyczny wynik uzyskamy, rozwi¡zuj¡c równanie (warunek konieczny!)
N (s)D0(s) − N 0(s)D(s) = 0
w którym:
N (s) = 1
D(s) = s(2 + s)(5 + s).
? Podstawiaj¡c s = sd w równaniu W (s,
k(s)) = 0, otrzymujemy odpowiadaj¡c¡ temu punktowi warto±¢ kd wzmocnienia k
kd = 4.0607.
18
? Krytyczn¡ warto±¢ k̄ wzmocnienia
k , przy której ukªad zamkni¦ty osi¡-
ga 'granic¦ stabilno±ci', obliczymy
na podstawie równania charakterystycznego W (s) = 0, kªad¡c s = jω .
W ten sposób uzyskujemy równanie
k̄ − 7ωn2 + jωn(10 − ωn2 ) = 0
(1)
w którym ωn oznacza odpowiedni¡ pulsacj¦ drga« nietªumionych.
Przyrównuj¡c do zera urojon¡ cz¦±¢
wyra»enia po lewej stronie tego równania, mamy
√
ωn = 10 rad · s−1.
Nast¦pnie, po podstawieniu pulsacji
ωn we wzorze (1), otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy kryty-
czn¡ warto±¢ wzmocnienia
k̄ = 70.
19
Rysunek 3: Przykªad 1: linie pierwiastkowe.
Dyskusja: rady dla projektanta
Jak zmiana (wzrost) wzmocnienia k wpªywa
na podstawowe cechy ukªadu zamkni¦tego?
? Stabilno±¢: gro¹ba destabilizacji.
? Dokªadno±¢: ustalone uchyby malej¡.
? Szybko±¢: po pocz¡tkowym wzro±cie
szybko±ci (dominuj¡cy biegun ukªadu oddala si¦ od zera) czas ustalania procesów
przej±ciowych wydªu»a si¦ (oscylacje!)
20
PRZYKŠAD 2
• Operatorowa transmitancja otwartego ukªadu sterowania z jednostkowym ujemnym sprz¦»eniem zwrotnym i k ≥ 0
N (s)
G0(s) = k · G̃0(s) = k ·
D(s)
1
= k·
.
(1 + s)(2 + s)(10 + s)
• Wyznacz przebieg linii pierwiastkowych
stosownego ukªadu zamkni¦tego, okre±l
krytyczne wzmocnienie k = k̄ ukªadu na
'granicy stabilno±ci' oraz podaj odpowiadaj¡c¡ temu wzmocnieniu pulsacj¦
drga« nietªumionych.
W rozwa»anym przypadku mamy:
m = 0 oraz n = 3
p1 = −10, p2 = −2 oraz p3 = −1
(bieguny ukªadu otwartego).
21
Mo»na si¦ zatem spodziewa¢ analogicznego obrazu linii pierwiastkowych jak w
Przykªadzie 1.
Post¦puj¡c tedy wedªug przyj¦tego tam
schematu, stwierdzamy, »e:
? Linie pierwiastkowe d¡»¡ ku trzem asymptotom (α = n − m = 3) o k¡tach: ±60◦ oraz 180◦.
? Punktem wspólnym owych asymptot
jest centroid
σa =
−1 − 2 − 10
= −4.333.
3
? Wspólna cz¦±¢ linii pierwiastkowych oraz rzeczywistej osi pªaszczyzny zespolonej obejmuje zatem póªprost¡ na
lewo od punktu p1 oraz domkni¦ty
odcinek pomi¦dzy punktami p2 i p3.
22
? Punkt odej±cia linii pierwiastkowych
od osi rzeczywistej wyznaczymy z równania
N (s)D0(s) − N 0(s)D(s) = 0
które w tym przypadku ma posta¢
32 + 26s + 3s2 = 0.
Spo±ród dwóch rozwi¡za« tego równania:
s1 = −1.4853 oraz s2 = −7.1813
jako punkt odej±cia wybieramy punkt
sd = s1
zachodzi bowiem
s1 ∈ [p2, p3].
23
? Krytyczn¡ warto±¢ k̄ parametru k obliczamy, posªuguj¡c si¦
kryterium Routha.
Na podstawie równania charakterystycznego ukªadu zamkni¦tego
20 + k + 32s + 13s2 + s3 = 0,
otrzymujemy tablic¦ Routha:
s3
1
32
s2
13
20 + k
s1 396−k
13
0
s 20 + k .
Ukªad zamkni¦ty jest stabilny przy
−20 < k < 396.
Krytyczna warto±¢ wzmocnienia (k ≥
0), dla której ukªad zamkni¦ty znajduje si¦ na 'granicy stabilno±ci' wynosi zatem
k̄ = 396.
24
? Pulsacj¦ draga« nietªumionych (jest to
pulsacja odci¦cia charakterystyki fazowej transmitancji otwartego
ukªadu sterowania)
√
ωn = 4 2 = 5.6569 rad · s−1
wyznaczamy w oparciu o pomocniczy
wielomian
20 + k̄ + 13s2
(wspóªczynniki tego wielomianu odczytujemy z drugiego wiersza tablicy
Routha).
? Sprawd¹my jeszcze warunek amplitudowy dla punktu s = jωn
1
= 396 = k̄.
G̃0(jωn)
25
•MATLABowe polecenia.
>> licz=1; % licznik transmitancji;
>> mian=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 10]);
% mianownik transmitancji, utworzony poprzez mno»enie
odpowiednich dwumianów;
>> mian
mian = 1 13 32 20
>> rlocus(licz,mian);
% kre±lanie linii pierwiastkowych odpowiadaj¡cych ukªadowi sterowania obiektem o zadanej transmitancji (licznik/mianownik)
przy zastosowaniu jednostkowego sprz¦»enia zwrotnego;
>> axis([-15 15 -15 15]);
% skalowanie wykresu;
Rysunek 4: Przykªad 2: linie pierwiastkowe.
26
>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(licz,mian);
% wyznaczanie zapasów (marginesów) stabilno±ci ukªadu o zadanej transmitancji otwartej p¦tli sterowania (licznik/mianownik);
>> Gm
Gm = 396.0000
% zapas wzmocnienia (warto±¢ bezwzgl¦dna);
>> Wcg
Wcg = 5.6569
% pulsacja odci¦cia charakterystyki fazowej transmitancji
otwartego ukªadu sterowania (rad/sek);
>> routh(mian)
% wyznaczanie tablicy Routha;
s3 Row: 1 32
s2 Row: 13 20
s1 Row: 3.0462e+001 0
s0 Row: 20
First column is:
s3 1
s2 13
s1 30.46
s0 20
Number of sign changes in the rst column is 0
% test stabilno±ci wypadª pomy±lnie;
The computed roots of D(s) are:
-1.0000e+001,
-2.0000e+000,
-1.0000e+000 .
27
Metoda linii pierwiastkowych:
ograniczenia statycznej korekcji
• Zbadamy obraz linii pierwiastkowych dla
pewnych prostych transmitancji G̃0(s).
• Rozwa»ymy mo»liwo±¢ stabilizacji zamkni¦tego ukªadu sterowania poprzez dobór parametru k ≥ 0.
Rysunek 5: G̃0 (s) =
1
s+1 :
ukªad stabilny dla k ≥ 0.
Rysunek 6: G̃0 (s) =
1
s−1 :
ukªad stabilny dla k > 1.
28
Rysunek 7: G̃0 (s) =
Rysunek 8: G̃0 (s) =
−1
s+1 :
−1
s−1 :
ukªad stabilny dla k < 1.
ukªad niestabilny dla k ≥ 0.
Rysunek 9: G̃0 (s) = 1s : ukªad stabilny dla k ≥ 0.
Rysunek 10: G̃0 (s) =
−1
s :
ukªad niestabilny dla k ≥ 0.
29
Rysunek 11: G̃0 (s) =
1
:
s2
ukªad niestabilny dla k ≥ 0.
Rysunek 12: G̃0 (s) =
−1
:
s2
ukªad niestabilny dla k ≥ 0.
Rysunek 13: G̃0 (s) =
1
:
s3
ukªad niestabilny dla k ≥ 0.
Rysunek 14: G̃0 (s) =
−1
:
s3
ukªad niestabilny dla k ≥ 0.
30
Rysunek 15: G̃0 (s) =
s+1
s+2 :
ukªad stabilny dla k ≥ 0.
Rysunek 16: G̃0 (s) = − s+1
s+2 : ukªad stabilny dla k < 1 lub k > 2.
Rysunek 17: G̃0 (s) =
s+2
s+1 :
ukªad stabilny dla k ≥ 0.
Rysunek 18: G̃0 (s) = − s+1
s+2 : ukªad stabilny dla k <
1
2
lub k > 1.
31
Rysunek 19: G̃0 (s) =
1
:
s2 −1
ukªad niestabilny dla k ≥ 0.
Rysunek 20: G̃0 (s) =
−1
:
s2 −1
ukªad niestabilny dla k ≥ 0.
• Co powiesz o dobrej okre±lono±ci ukªadów z rys. 16 i 18?
• Jak widzimy, w niektórych przypad-
kach, stosuj¡c statyczny czªon korekcyjny o wzmocnieniu k ≥ 0, nie mo»na
ustabilizowa¢ ukªadu zamkni¦tego.
• W jaki sposób mo»na wtedy uzyska¢ sta-
bilizacj¦ tego ukªadu, si¦gaj¡c po odpowiedni korektor dynamiczny?
piotrJsuchomski