Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
wykład z MATEMATYKI
Technika Rolnicza i Leśna
studia stacjonarne
sem. I, rok ak. 2010/2011
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
1
Całki nieoznaczone
1.1
Funkcje pierwotne
Definicja 1.1. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b) wtedy
i tylko wtedy, gdy
F ′ (x) = f (x) ,
dla każdego x ∈ (a, b).
Uwaga 1.2. Funkcja pierwotna nie jest wyznaczona jednoznacznie.
1
Przykład 1.3. Funkcje F1 (x) = 3−cos2 x i F2 (x) = 2− cos 2x są funkcjami pierwotnymi funkcji
2
f (x) = sin 2x.
Twierdzenie 1.4 (o funkcjach pierwotnych).
Jeżeli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b), to
① funkcja G(x) = F (x) + C, C ∈ R, jest funkcją pierwotną funkcji f na (a, b),
② każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale (a, b) można przedstawić w postaci F (x)+D,
gdzie D jest pewną stałą rzeczywistą.
Twierdzenie 1.5 (warunek dostateczny istnienia funkcji pierwotnej).
Jeżeli funkcja f jest ciągła na pewnym przedziale, to ma na tym przedziale funkcję pierwotną.
Uwaga 1.6. Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Na przykład funkcje pierwotne funkcji
2
e−x ,
√
sin x √
1
, 1 + x3 , cos x2 ,
, x sin x
x
ln x
nie są funkcjami elementarnymi
1
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
1.2
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całki nieoznaczone
Definicja 1.7. Całką nieoznaczoną z funkcji f na przedziale (a, b) nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f . Oznaczamy :
Z
f (x)dx = F (x) + C
y
y = F (x) + C4
y = F (x) + C3
całka nieoznaczona funkcji f
y = F (x) + C2
y = F (x) + C1
y = F (x)
x
Z definicji wynika, że:
Z
1.2.1
′
f (x)dx
f ′ (x)dx = f (x) + C.
Całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych
Z
0dx = C = const , dla x ∈ R.
Z
xα dx =
Z
1
dx = ln |x| + C , dla x ∈ R \ {0}.
x
Z
sin xdx = − cos x + C , dla x ∈ R.
Z
cos xdx = sin x + C , dla x ∈ R.
Z
1
π
dx
=
tg
x
+
C
,
dla
x
=
6
+ kπ, k ∈ Z.
cos2 x
2
Z
1
dx = − ctg x + C , dla x 6= kπ, k ∈ Z.
sin2 x
Z
ex dx = ex + C , dla x ∈ R.
Z
ax dx =
α.
= f (x),
Z
Z
dx = x + C , dla x ∈ R.
xα+1
+ C , dla α ∈ R \ {−1}, zakres zmiennej x jest ustalony w zależności od
α+1
ax
+ C , dla 0 < a 6= 1, x ∈ R.
ln a
2
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
1.3
MATEMATYKA - wykład
Z
1
dx = arc tg x + C , dla x ∈ R.
1 + x2
Z
√
Katedra Matematyki
1
dx = arc sin x + C , dla x ∈ (−1, 1).
1 − x2
Twierdzenia o całkach nieoznaczonych
Twierdzenie 1.8 (o liniowości całki nieoznaczonej). Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne,
to:
Z
(f (x) + g(x))dx =
Z
f (x)dx +
Z
g(x)dx .
Z
(f (x) − g(x))dx =
Z
f (x)dx −
Z
g(x)dx .
Z
Z
[c · f (x)] dx = c ·
f (x)dx .
Przykład 1.9.
Z
Z
(x − 2ex )dx = ....
x2 − x + 1
√
dx = .....
x
Twierdzenie 1.10 (o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na
przedziale, to
Z
′
f (x) · g (x)dx = f (x) · g(x) −
Przykład 1.11.
Z
(x · ex )dx = ....
Z
x2 · sin xdx = .....
Z
x
dx = .....
cos2 x
3
Z
f ′ (x) · g(x)dx .
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
MATEMATYKA - wykład
Twierdzenie 1.12 (o całkowaniu przez podstawienie). Jeżeli
① funkcja f : I → R jest ciągła na przedziale I
② g : J → I ma ciągłą pochodną na przedziale J ,
to
Z
Z
f (x)dx =
f (g(t))g ′(t)dt .
Przykład 1.13.
Z
(2x − 5)7 dx = ....
Z
√
x 4 − x2 dx = .....
Jeżeli f (x)dx = F (x) + C , to
(x)
dx = ln |f (x)| + C .
ff (x)
ff(x)(x) dx = 2 f (x) + C .
Z
Z
Z
Z
1
f (ax + b)dx = F (ax + b) + C .
a
′
′
q
q
4
Katedra Matematyki
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
1.4
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Całkowanie funkcji wymiernych
Definicja 1.14. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci
w(x) =
P (x)
,
Q(x)
gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym.
Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to mówimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Jeśli stP <
stQ, to mówimy, że funkcja wymierna jest właściwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że
funkcja wymierna jest niewłaściwa.
Funkcja wymierna w jest określona na zbiorze
Dw = R \ {x : Q(x) = 0} .
Funkcjami wymiernymi są na przykład wyrażenia
x2
,
x+1
x3 + 7x2 − 8
.
x7 + 1
Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą.
Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
Podany w twierdzeniu rozkład można zawsze znaleźć, wykonując dzielenie licznika funkcji wymiernej przez jej mianownik (zwykłe dzielenie wielomianów z resztą). Czasami udaje się dokonać
rozkładu przy użyciu elementarnych przekształceń, np.:
x2 + 2x − 2
x2 + x + x + 1 − 3
x(x + 1) + (x + 1) − 3
3
=
=
=x+1−
.
x+1
x+1
x+1
x+1
1.4.1
Ułamki proste
Każdą funkcję wymierną właściwą można z kolei przedstawić w postaci sumy pewnych specjalnych
funkcji wymiernych, zwanych ułamkami prostymi.
Definicja 1.15. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci
A
, gdzie A, a ∈ R, a n ∈ N.
(x − a)n
Definicja 1.16. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję
wymierną postaci
(x2
Ax + B
,
+ px + q)n
gdzie A, B, p, q ∈ R, n ∈ N i p2 −4q < 0 (trójmian kwadratowy w mianowniku jest nierozkładalny).
5
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
1.4.2
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
P (x)
będzie niezerową rzeczywistą funkcją wymierną właściwą. Załóżmy, że miaQ(x)
nownik Q ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne:
Niech w(x) =
Q(x) = an (x − x1 )k1 · · ·(x − xr )kr · x2 + p1 x + q1
l1
· · · x2 + ps x + qs
ls
.
Wówczas w(x) jest sumą n1 = k1 + k2 + . . . + kr rzeczywistych ułamków prostych pierwszego
rodzaju oraz n2 = l1 + l2 + · · · + ls rzeczywistych ułamków prostych drugiego rodzaju.
W rozkładzie tym każdemu czynnikowi (x − xi )ki , i = 1, . . . , r odpowiada suma ki rzeczywistych ułamków prostych postaci
Ai1
Aiki
Aik2
,
+
2 +···+
x − xi (x − xi )
(x − xi )ki
l
natomiast każdemu czynnikowi (x2 + pj x + qj ) j ,
ułamków prostych drugiego rodzaju postaci
j = 1, . . . , s odpowiada suma lj rzeczywistych
Bjlj x + Cjlj
Bj1 x + Cj1
Bj2 x + Cj2
+ 2
.
2 +···+
2
2
x + pj x + qj (x + pj x + qj )
(x + pj x + qj )lj
A11
A1k1
Ar1
Arkr
+···+
+···+
+
k1 + · · · +
x − x1
x − xr
(x − x1 )
(x − xr )kr
B11 x + C11
B1l1 x + C1l1
Bs1 x + Cs1
Bsls x + Csls
+ 2
+···+
+ 2
+···+
.
l
1
x + p1 x + q1
x + ps x + qs
(x2 + p1 x + q1 )
(x2 + ps x + qs )ls
Powyższy rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników.
w(x) =
Przykład 1.17. Rozkład funkcji wymiernej postaci
1
(x − 3)3 (x + 2)
na ułamki proste jest następujący:
A
B
C
D
1
=
+
+
+
(x − 3)3 (x + 2)
x − 3 (x − 3)2 (x − 3)3 x + 2
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwóch dwumianów, z których jeden występuje w
trzeciej, a drugi w pierwszej potędze. Otrzymujemy trzy ułamki proste odpowiadające dwumianowi
x − 3 oraz jeden ułamek prosty odpowiadający dwumianowi x + 2.
Przykład 1.18. Rozkład funkcji
1
x (x2 + x + 2)2
na ułamki proste jest następujący:
1
A
Bx + C
Dx + E
+ 2
+ 2
2 =
2
x x + x + 2 (x + x + 2)2
x (x + x + 2)
Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potęgi
trójmianu nierozkładalnego. Otrzymujemy jeden ułamek prosty odpowiadający jednomianowi x
oraz dwa ułamki proste odpowiadające trójmianowi x2 + x + 2.
6
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
1.4.3
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju
Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie x + a = t i
otrzymujemy:
Z
A
dx = A ln |x + a| + C .
x+a
Z
1.4.4
A
−A
dx =
+ C , n > 2.
n
(x + a)
(n − 1)(x + a)n−1
Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju
Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju obliczamy w następujący sposób:
Z
dx
Gdy B = 0 – obliczamy całkę
:
2
(x + px + q)n
p 2 p2 − 4q
2
−
i stosujemy podSprowadzamy trójmian x + px + q do postaci kanonicznej x +
2
4
s
p
4q − p2
stawienie x + =
· t.
2
4
Z
dt
= arc tg t + C :
Dla n = 1 korzystamy ze wzoru
t2 + 1
Z
Z
dt
t
2n − 3
dt
Dla n > 2
=
+
+C .
2
n
2
n−1
2
(t + 1)
(2n − 2)(t + 1)
2n − 2 (t + 1)n−1
Gdy B 6= 0 – licznik zapisujemy w postaci Bx+C = P (2x+p)+Q, gdzie P i Q są odpowiednio
dobranymi stałymi, po czym całkę zapisujemy następująco:
Z
Bx + C
dx = P
2
(x + px + q)n
Z
2x + p
dx + Q
2
(x + px + q)n
i do całki
Z
(x2
2x + p
dx
+ px + q)n
stosujemy podstawienie t = x2 + px + q.
7
Z
(x2
dx
+ px + q)n
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
1.5
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Do obliczania całek postaci sinn x, cosm x , gdzie n, m ∈ N stosujemy podstawienia
① n = 2l + 1.
Wykorzystujemy tożsamość sin2 x = 1 − cos2 x. Wówczas
l
sin2l+1 x = 1 − cos2 x sin x
i podstawiamy cos x = t .
② m = 2k + 1.
Wykorzystujemy tożsamość cos2 x = 1 − sin2 x. Wówczas
l
cos2k+1 x = 1 − sin2 x cos x
i podstawiamy sin x = t .
③ n, m – parzyste.
Wykorzystujemy tożsamości sin2 x =
Przykład 1.19.
Z
Z
1
1
(1 − cos 2x) i cos2 x = (1 + cos 2x).
2
2
sin2 xdx = ....
sin3 xdx = .....
Do obliczania całek postaci sin ax cos bx ,
sin ax cos bx =
sin ax sin bx ,
cos ax cos bx stosujemy tożsamości
1
[sin(a + b)x + sin(a − b)x] .
2
1
[cos(a − b)x − cos(a + b)x] .
2
1
cos ax cos bx = [cos(a + b)x + cos(a − b)x] .
2
sin ax sin bx =
Przykład 1.20.
Z
Z
sin 2x cos 4xdx = ....
sin x sin 3xdx = .....
8
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
2
2.1
2.1.1
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całki oznaczone
Podstawowe pojęcia
Podział P przedziału ha, bi
Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale ha, bi.
x∗
1
x∗
2
a = x0 x1
∆x1
x2
∆x2
Podział P przedziału ha, bi:
x∗
k
x∗
3
x3
xk−1 xk
...
∆x3
∆xk
x∗
n
. . . xn−1 xn = b
∆xn
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b .
Długość k-tego podprzedziału: ∆xk = xk − xk−1 .
Średnica podziału P (długość najdłuższego podprzedziału): δ(P) = max xk .
16k6n
Punkt pośredni podziału (dowolny punkt z k-tego podprzedziału):
2.1.2
x∗k
, x∗k ∈ hxk−1 , xk i .
Suma całkowa
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale ha, bi oraz niech P będzie podziałem tego przedef
działu, a A = {x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n } zbiorem punktów pośrednich.
Definicja 2.1 (suma całkowa).
Suma całkową z funkcji f na przedziale ha, bi odpowiadającą podziałowi P i punktom
pośrednim A nazywamy liczbę
n
X
k=1
2.1.3
f (x∗k ) · ∆xk .
Interpretacja geometryczna sumy całkowej
Jeżeli funkcja f przyjmuje wartości nieujemne na przedziale ha, bi, to suma całkowa jest przybliżeniem pola trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji f , osią OX i prostymi x = a,
x = b przez sumę pól prostokątów o podstawach ∆xk i wysokościach f (x∗k ), gdzie 1 6 k 6 n.
9
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
y
y = f (x)
∗
(x∗
3 , f (x3 ))
x∗
1
x∗
2
x∗
3
a = x0 x1
x2
x∗
4
x3
x∗
5
x4
y
x∗
6
x5 x6 = b
y
y = f (x)
a = x0
xn = b
y = f (x)
x
n = 18
a = x0
y
xn = b
x
n = 30
y
y = f (x)
a = x0
x
xn = b
y = f (x)
x
n = 60
10
a = x0
xn = b
n = 100
x
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
2.2
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Całka oznaczona Riemanna
Definicja 2.2. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale ha, bi.
Całką oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale ha, bi nazywamy liczbę, którą oznaczmy symbolem
Zb
f (x)dx i definiujemy wzorem:
a
Zb
def
f (x)dx = lim
δ(P)→0
a
n
X
k=1
f (x∗k ) · ∆xk ,
o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału P
przedziału ha, bi ani od sposobu wyboru punktów pośrednich x∗k , gdzie 1 6 k 6 n.
Za
Przyjmujemy:
Za
def
f (x)dx = 0 ,
a
2.2.1
b
def
f (x)dx = −
Zb
f (x)dx , dla a < b.
a
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Riemanna
Niech f będzie funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale ha, bi. Wówczas
Zb
f (x)dx jest równa
a
polu figury ograniczonej wykresem funkcji f , osią OX oraz prostymi x = a i x = b.
D = {(x, y) : a 6 x 6 b ∧ f (x) 6 y 6 0}
D = {(x, y) : a 6 x 6 b ∧ 0 6 y 6 f (x)}
y
y
y = f (x)
Zb
a
b
a Z
a
f (x)dx = −|D|
f (x)dx = |D|
a
b
y = f (x)
x
Twierdzenie 2.3 (Newtona-Leibniza).
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi, to
Zb
a
b
f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a) ,
a
gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale.
Przykład 2.4.
Z1
b
(x3 + 1)dx = ....
0
11
x
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
Z2
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
e−x dx = .....
−1
Twierdzenie 2.5 (własności całki oznaczonej).
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale ha, bi, to:
Zb
a
Zb
a
Zb
Zb
Zb
Zb
Zb
a
a
(f (x) + g(x))dx =
(f (x) − g(x))dx =
[c · f (x)] dx = c ·
Z1
Przykład 2.6.
0
a
Zb
a
f (x)dx +
g(x)dx .
g(x)dx .
a
f (x)dx −
a
f (x)dx , c ∈ R.
(2x − 3ex )dx = ....
Twierdzenie 2.7 (o addytywności całki względem przedziałów całkowania).
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale ha, bi oraz c ∈ ha, bi, to
Zb
f (x)dx =
a
Przykład 2.8.
Z1
−1
Zc
f (x)dx +
a
Zb
f (x)dx .
c
|x|dx = ....
Twierdzenie 2.9 (o całkowaniu przez części).
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale ha, bi, to
Zb
a
Przykład 2.10.
Zln 3
Zπ
0
0
′
f (x) · g (x)dx =
b
f (x) · g(x)
a
x · e−x dx = ....
x · sin xdx = .....
12
−
Zb
a
f ′ (x) · g(x)dx .
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
Ze
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
ln2 xdx = .....
1
Twierdzenie 2.11 (o całkowaniu przez podstawienie).
Jeżeli
① funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi
na
② ϕ : hα, βi → ha, bi ma ciągłą pochodną na przedziale hα, βi,
③ ϕ(α) = a, ϕ(β) = b,
to
Zb
f (x)dx =
a
Przykład 2.12.
2.3
Z2
Z1
Zβ
f (ϕ(t))ϕ′ (t)dt .
α
√
x 1 + xdx = ....
0
2
xex dx = .....
0
Wartość średnia funkcji
Definicja 2.13. Wartością średnią funkcji f na przedziale ha, bi nazywamy liczbę
1
fśr =
b−a
def
Zb
f (x)dx .
a
Uwaga 2.14. Wartość średnia funkcji f na przedziale ha, bi jest wysokością prostokąta o podstawie
długości b−a, którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji
f , osią OX oraz prostymi x = a, x = b.
y
y = f (x)
fśr
a
b
x
Przykład 2.15. Poziom wody w zbiorniku wyraża się (w metrach) wzorem przybliżonym h(t) =
πt
10 + 2 sin , gdzie 0 6 t 6 24 oznacz czas liczony w godzinach. Oblicz średni poziom wody w
24
tym zbiorniku w czasie doby.
13
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Twierdzenie 2.16. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi, to w tym obszarze istnieje
punkt c ∈ (a, b), taki że fśr = f (c) , tzn.
2.4
Zb
a
f (x)dx = (b − a)f (c).
Funkcja górnej granicy całkowania
Definicja 2.17. Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale ha, bi oraz niech c ∈ ha, bi.
Funkcję
F (x) =
Zx
f (t)dt ,
c
gdzie x ∈ ha, bi, nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Twierdzenie 2.18. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale ha, bi, to funkcja górnej granicy
całkowania F (x) =
Zx
c
2.4.1
f (t)dt, gdzie x ∈ ha, bi, jest ciągła na ha, bi.
Interpretacja geometryczna funkcji górnej granicy całkowania
y
y = f (x)
F (x) =
=pole
a
c
x
b
x
Uwaga 2.19. Zauważmy, że F (c) = 0.
Twierdzenie 2.20. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale ha, bi oraz jest ciągła w punkcie
x0 ∈ ha, bi, to funkcja górnej granicy całkowania F (x) =
właściwą w punkcie x0 oraz F ′ (x0 ) = f (x0 ) .
14
Zx
c
f (t)dt, gdzie x ∈ ha, bi, ma pochodną
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
2.5
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Zastosowania geometryczne całek oznaczonych
Pole trapezu krzywoliniowego
Niech funkcje f oraz g będą ciągłe na przedziale ha, bi oraz niech f (x) 6 g(x) dla każdego x ∈ ha, bi.
Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji f i g oraz prostymi
x = a, x = b wyraża sie wzorem:
|D| =
Zb
a
[g(x) − f (x)]dx .
y
y = g(x)
D = {(x, y) : a 6 x 6 b ∧ f (x) 6 y 6 g(x)}
|D|
a
y = f (x) b
x
Niech funkcje p oraz q będą ciągłe na przedziale hc, di oraz niech p(y) 6 q(y) dla każdego y ∈ hc, di.
Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji p i q oraz prostymi y = c,
y = d wyraża sie wzorem:
|D| =
Zd
c
[q(y) − p(y)]dy .
y
d
x = p(y)
x = q(y)
|D|
D = {(x, y) : c 6 y 6 d ∧ p(y) 6 x 6 q(y)}
c
x
Długość łuku krzywej
Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale ha, bi.
Wtedy długość łuku krzywej Γ = {(x, f (x)) : x ∈ ha, bi} wyraża sie wzorem: |Γ| =
15
Rb q
a
1 + [f ′ (x)]2 dx .
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
y
y = f (x)
Γ
Γ = {(x, f (x)) : x ∈ ha, bi}
a
Objętość bryły obrotowej
x
b
Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale ha, bi. Niech T oznacza trapez krzywoliniowy
ograniczony wykresem funkcji f , osią OX oraz prostymi x = a, x = b.
Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu T wokół osi OX wyraża sie wzorem:
|V | = π
Zb
[f (x)]2 dx .
a
y
y = f (x)
a
b
x
Pole powierzchni obrotowej
Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale ha, bi.
Wtedy pole powierzchni Σ powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi OX wyraża sie wzorem:
|Σ| = 2π
Zb
a
q
f (x) 1 + [f ′ (x)]2 dx .
y
y = f (x)
a
b
16
x
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
3
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Całki niewłaściwe
3.1
Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
Definicja 3.1. Niech funkcja f : ha, +∞) → R będzie całkowalna na przedziałach ha, T i dla
każdego T > a.
Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale ha, +∞i definiujemy wzorem:
+∞
Z
ZT
def
f (x)dx = lim
T →+∞
a
f (x)dx .
a
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa
Zb
−∞
f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że całka jest
rozbieżna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest
rozbieżna.
Definicja 3.2. Niech funkcja f : (−∞, bi → R będzie całkowalna na przedziałach hS, bi dla
każdego S < b.
Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale (−∞, bi definiujemy wzorem:
Zb
Zb
def
f (x)dx = lim
S→−∞
−∞
f (x)dx .
S
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa
+∞
Z
a
f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że całka jest
rozbieżna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest
rozbieżna.
Definicja 3.3. Niech funkcja f : R → R będzie całkowalna na przedziałach hS, T i dla S, T ,
takich że −∞ < S < T < +∞.
Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale (−∞, +∞i definiujemy
wzorem:
+∞
Z
def
f (x)dx =
−∞
Za
f (x)dx +
+∞
Z
a
−∞
f (x)dx , gdzie a ∈ R.
Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka
+∞
Z
f (x)dx
−∞
jest zbieżna. Jeżeli jedna z tych całek jest rozbieżna do −∞ lub +∞, a druga jest zbieżna albo
rozbieżna odpowiednio do −∞ lub +∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna do −∞ lub +∞. W
pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna.
17
Technika Rolnicza i Leśna – studia stacjonarne
sem I, 2010/2011
3.2
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Całki niewłaściwe drugiego rodzaju
Definicja 3.4. Niech funkcja f : (a, bi → R będzie nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie
punktu a oraz całkowalna na przedziałach ha + ε, bi dla każdego 0 < ε < b − a.
Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale (a, bi definiujemy wzorem:
Zb
def
f (x)dx = lim+
ε→0
a
Zb
f (x)dx .
a+ε
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa
Zb
a
f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że całka jest
rozbieżna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest
rozbieżna.
Definicja 3.5. Niech funkcja f : ha, b) → R będzie nieograniczona na lewostronnym sąsiedztwie
punktu b oraz całkowalna na przedziałach ha, b − εi dla każdego 0 < ε < b − a.
Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale ha, b) definiujemy wzorem:
Zb
def
f (x)dx = lim+
ε→0
a
b−ε
Z
f (x)dx .
a
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa
Zb
a
f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, że całka jest
rozbieżna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest
rozbieżna.
Definicja 3.6. Niech funkcja f : ha, bi \ {c} → R, gdzie c ∈ (a, b), będzie nieograniczona na obustronnych sąsiedztwach punktu c oraz całkowalna na przedziałach ha, c − εi, hc + ε, bi dla każdego 0 < ε < m
Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale ha, bi definiujemy wzorem:
Zb
a
def
f (x)dx =
Zc
f (x)dx +
a
Zb
f (x)dx .
c
Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka
Zb
a
f (x)dx jest
zbieżna. Jeżeli jedna z tych całek jest rozbieżna do −∞ lub +∞, a druga jest zbieżna albo
rozbieżna odpowiednio do −∞ lub +∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna do −∞ lub +∞. W
pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna.
18